山东省德州市德城区2025-2026学年九年级上学期10月份五校联考数学试题（解析版）

这是一份山东省德州市德城区2025-2026学年九年级上学期10月份五校联考数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 在下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可．
【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意；
B、当时，不是一元二次方程，不符合题意；
C、方程整理得，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：A．
2. 二次函数图象的对称轴是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把二次函数化成一般形式，利用对称轴为直线x=求解即可.
【详解】∵=，
∴二次函数图象的对称轴是x==；
故选D.
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴的计算，学会选择计算对称轴的基本方法是解题的关键.
3. 已知二次函数，则关于该函数的下列说法正确的是（ ）
A. 该函数图象与轴的交点坐标是
B. 当时，的值随值的增大而减小
C. 当取1和3时，所得到的的值相同
D. 将的图象先向左平移2个单位，再向上平移5个单位得到该函数图象
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题根据二次函数解析式可得开口向上，对称轴为直线，然后根据二次函数的性质及图象的平移可进行求解．
【详解】解：A、当时，则有，所以该函数图象与y轴的交点坐标为；故原说法错误；
B、由二次函数解析式可知：对称轴为直线，开口向上，所以当时，值随值的增大而增大；故原说法错误；
C、因为二次函数的对称轴为直线，且，所以当取1和3时，所得到的的值相同，故原说法正确；
D、该二次函数是由的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位得到该函数图象，故原说法错误；
故选C．
4. 根据下面表格中的对应值：
判断方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A. 3＜x＜3.23B. 3.23＜x＜3.24
C. 3.24＜x＜3.25D. 3.25＜x＜3.26
【答案】C
【解析】
【分析】根据表中数据得到x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，则x取3.24到3.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c＝0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
【详解】解：∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
故选：C．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
5. 抛物线 与直线在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象及一次函数的图象，根据二次函数的图象及一次函数的图象与系数的关系逐一判断即可求解，熟练掌握二次函数的图象及一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：A、由抛物线可得：，由一次函数图象得：，且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本选项正确，
B、由抛物线可得：，由一次函数图象得：，则a的取值矛盾，故本选项错误；
C、由抛物线可得：，由一次函数图象得：，则a的取值矛盾，故本选项错误；
D、由抛物线可得：，，由一次函数图象得：，，则的取值矛盾，故本选项错误；
故选A．
6. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的增减性成为解题的关键
先根据函数解析式确定抛物线的对称轴和开口方向，然后再根据二次函数的增减性即可解答．
【详解】解：∵二次函数
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线，
当时，随的增大而增大，
．
故选：．
7. 设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：∵函数的解析式是，如图，
∴抛物线的对称轴是，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∴点A关于对称轴的点A′是，
那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边随的增大而减小，
∴于是，
故选A．
8. 若a，b是的根，则的值是（ ）
A. 2022B. 2023C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：．
根据一元二次方程的解的定义得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，即可解答．
【详解】解：∵a，b是的根，
∴，
∴，
故选：B．
9. 著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥窖数语，把图形之妙趣说的淋漓尽致．如图是函数的图象，那么无论x为何值，函数值y永远为负的条件是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象在轴的下方，可得抛物线开口向下，与轴无交点，即可判断．
【详解】解：二次函教的图象在轴的下方，
抛物线开口向下，与轴无交点，
即，，
故选：D．
10. 如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，
其中正确的是（ ）
A. ①②③B. ①③④C. ①③⑤D. ②④⑤
【答案】C
【解析】
【详解】试题解析：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴抛物线的对称轴为直线x=-=1，
∴2a+b=0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b=-2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴x=1时，二次函数有最大值，
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），所以④错误；
∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）
∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．
故选C．
考点：1.二次函数图象与系数的关系；2.抛物线与x轴的交点．
二、填空题
11. 若函数是关于的二次函数．则常数的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的定义，列出关于的方程和不等式，是解题的关键．
根据二次函数的定义即可得出关于的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：∵是关于的二次函数，
∴，
解得：．
故答案为：
12. 已知抛物线与轴的一个交点坐标为，与轴的另一个交点坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数表达式可求出对称轴为，根据对称轴等于即可求解，本题主要考查二次函数对称轴，二次函数与轴交点的关系，掌握对称轴的计算方法是解题的关键．
【详解】解：已知抛物线，
∴对称轴为，
∵抛物线与轴的一个交点坐标为，设另一个交点坐标为，
∴，解得，，
∴另一个交点坐标为，
故答案为：．
13. 《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离与时间的函数关系式为，当遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车最远要滑行___________才能停下．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，即考查二次函数的最值问题，解答关键是弄懂题意，熟练对函数式变形，从而取得最值．由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即s的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答．
【详解】解：依题意，该函数关系式化简为，
当时，汽车停下来，滑行了16米，
汽车最远要滑行16米才能停下，
故答案为：16．
14. 某社区为解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，其余部分均为宽度为的道路．已知阴影面积为，则道路的宽_____m．
【答案】5
【解析】
【分析】依题意，其余部分均为宽度为的道路，利用平移的性质可得停车位部分组成一个边长为，宽为的矩形，再根据矩形的面积公式列出方程即可．本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键．
【详解】解：依题意，其余部分均为宽度为的道路，利用平移的性质可得停车位部分组成一个边长为，宽为的矩形，
∴．
∴，
则，
∴（故舍去），
∴道路的宽，
故答案为：5．
15. 平面直角坐标系中，将抛物线平移得到抛物线C，如图所示，且抛物线C经过点和，点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】求得抛物线C的解析式，设Q（x，0），则P（x，-x2+2x+3），即可得出OQ+PQ，根据二次函数的性质即可求得．
【详解】解：设平移后的解析式为y=-x2+bx+c，
∵抛物线C经过点A（-1，0）和B（0，3），
∴，解得，
∴抛物线C的解析式为y=-x2+2x+3，
设Q（x，0），则P（x，-x2+2x+3），
∵点P是抛物线C上第一象限内一动点，
∴OQ+PQ=x+（-x2+2x+3）
=-x2+3x+3
∴OQ+PQ的最大值为
故答案：
【点睛】本题考查了二次函数的性质，平移，二次函数图象与几何变换，根据题意得出OQ+PQ=-x2+3x+3是解题的关键．
三、解答题
16. 用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键；
（1）利用因式分解法解出方程；
（2）利用公式法解方程．
【小问1详解】
解：，
则，
，
，
或，
，；
【小问2详解】
解：，
，，，
，
，
，．
17. 已知二次函数．
（1）用配方法求函数的顶点坐标；
（2）补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象．
（3）根据图象回答下列问题：
①当x________时，y随x的增大而减小；
②当x________时，函数y有最________值，是________；
③当时，x的取值范围是________；
④当时，y的取值范围是________．
【答案】（1）
（2）见详解 （3）①；②，大，9；③；④
【解析】
【分析】本题考查了作二次函数的图象以及图象性质，运用数形结合思想是解题的关键．
（1）依题意，，即可作答；
（2）运用二次函数的对称性，并补齐表格以及作图，进行作答即可；
（3）结合（2）的图象，运用数形结合思想进行作答即可．
【小问1详解】
解：依题意，
∴函数的顶点坐标
【小问2详解】
解：依题意，
∵
∴函数的对称轴是
和关于对称轴直线对称
以及和关于对称轴直线对称
∴当，则；当，则
补全表格，
并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象．如图所示：
【小问3详解】
解：根据图象回答下列问题：
①当时，y随x的增大而减小；
②当时，函数y有最大值，是9；
③当时，x的取值范围是
④当时，，
当，则；当，则；
当时，y的取值范围是
18. 已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为，且满足，求实数m的值
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程．
（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合（1）的结论即可确定的值．
【小问1详解】
解：由题意得
当时，原方程有实数根，即 ；
【小问2详解】
解：根据题意得：，，
，
，
，
，
解得，（舍去），
实数的值是1．
19. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断方程否是“邻根方程”；
（2）已知关于的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值．
【答案】（1）是 （2）或
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．
（1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”；
（2）先解方程求得其根，再根据新定义列出关于的方程，注意有两种情况．
【小问1详解】
解：，
∴，
∴，
∵，
∴是“邻根方程”．
【小问2详解】
解：，
∴，
∴，
由题意得：或，
解得：或．
20. 如图，在某中学的一场篮球比赛中，小明在距离篮筐中心（水平距离）处跳起投篮，已知球出手时距离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度，此时高度为．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线的一部分，篮筐中心距离地面．

（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运行路线所在抛物线的函数表达式．
（2）场边看球的小丽认为：小明投出的此球不能命中篮筐中心，请通过计算说明小丽的判断是否正确．
（3）若小明将球出手的角度和力度都不变，请直接写出小明应该向前走或向后退多少米才能命中篮筐中心．
【答案】（1）
（2）小丽的判断是正确的，详见解析
（3）小明应该向前走米才能命中篮筐中心
【解析】
【分析】（1）根据题意设抛物线的函数解析式为，把代入解析式求出a的即可；
（2）把代入（1）解析式求出y与3比较即可；
（3）把代入（1）解析式，解方程求出x再求出即可．
【小问1详解】
解：由题意，可知抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的函数表达式为．把代入，解得．
篮球运行路线所在抛物线的函数表达式为．
【小问2详解】
解：把代入，得．
此球不能命中篮筐中心，小丽的判断是正确的．
【小问3详解】
解：当时，，解得或（舍去）．，
小明应该向前走米才能命中篮筐中心
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的顶点式，解一元二次方程，求出二次函数的解析式是解本题的关键．
21. 如何制定销售方案
【答案】任务一：；任务二：下调元
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程解应用题，找准等量关系列出方程求解是解决问题的关键．
（1）设第二、三个月收获的直播粉丝数量的月均增长率为，由等量关系类二元一次方程求解即可得到答案；
（2）设礼盒装茶叶平均一盒利润应下调元，则平均一盒茶叶的利润为元，每天的销量为盒，当销售礼盒装茶叶的月总利润为万元时，建立一元二次方程求解，根据题意取值即可得到答案．
【详解】解：（1）设第二、三个月收获的直播粉丝数量的月均增长率为，
根据题意，得，
则，
解得，不符合题意，舍去，
第二、三个月收获的直播粉丝数量的月均增长率为；
（2）设礼盒装茶叶平均一盒利润应下调元，则平均一盒茶叶的利润为元，每天的销量为盒，
当销售礼盒装茶叶的月总利润为万元时，则，
整理，得，
则，
解得，，
在让利于直播间粉丝的前提下，应取最大值，
，
若想要销售礼盒装茶叶的月总利润达到万元，且在让利于直播间粉丝的前提下，平均一盒茶叶利润应下调元．
22. “类二次函数”是在二次函数的一般式中把自变量x加上一个绝对值所形成的函数．小明对一个类二次函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请帮他补充完整．

（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
其中，_________，_________．
（2）根据表中数据，请画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，并写出该函数的两条性质；
（4）探究与应用：
①若关于x的方程有两个实数根，则t的取值范围是________；
②结合图象，直接写出关于x的不等式解集．
【答案】（1）1，
（2）见解析 （3）见解析
（4）①或；②或
【解析】
【分析】（1）将和代入解析式，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据列表，描点连线画出函数图象即可求解；
（3）根据函数图象即可求解；
（4）画出的图象，令，令，解方程，结合函数图象即可求解．
【小问1详解】
解：把和代入得：
，解得，
故答案为：1，；
【小问2详解】
描点画图象如下：
【小问3详解】
函数图象关于y轴对称；函数最小值为；当或时，函数y随x的增大而减小．
【小问4详解】
①由图象可知：关于x的方程有两个实数根，则t的取值范围为或；
故答案为：或；
②或
当时，令，解得，
当时，令，解得（舍去），．
∴直线与函数的图象交点横坐标为，0，5
如图：

可得当或时，，当且时，．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，画函数图象，待定系数法求解析式，根据函数图象求不等式的解集，掌握二次函数的性质．
23. 在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点，他们把这个点定义为点的“简朴”点．他们发现：二次函数所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“简朴曲线”．例如，二次函数的“简朴曲线”就是，请按照定义完成：
（1）点的“简朴”点是________；
（2）如果抛物线经过点，求该抛物线的“简朴曲线”；
（3）已知抛物线图象上的点的“简朴点”是，若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为，当时，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题目中给出的信息解答即可；
（2）先将点M坐标代入抛物线的解析式，求出a的值，得出抛物线解析式，然后根据题意写出抛物线的“简朴曲线”即可；
（3）先根据点，求出点B的坐标，把点B代入抛物线关系式得出b、c的关系式，然后把b、c的关系式代入抛物线的关系式，得出，写出其“简朴曲线”的关系式为：，并求出化为顶点式，得出，将n看作c的函数，求出当0≤c≤3时，n的取值范围即可．
【小问1详解】
解：根据题意可知，点A(x，y)的“简朴”点是，
∴点P（1，2）的“简朴”点的纵坐标为1+2=3，即．
故答案为：．
【小问2详解】
将点M（1，-3）代入抛物线得：，解得：，
即抛物线的解析式为，
∴抛物线的“简朴曲线”为，
即．
【小问3详解】
根据题意可知，点是点B（x，y）的“简朴”点，
∴，解得：，即，
将点代入抛物线得：，则，
∴抛物线为，
∴抛物线的“简朴曲线”为：
，
即
∵其顶点坐标为（m，n），
∴，
将n看作c的函数，
∵，
时，n有最大值，且最大值为1，
当0≤c≤3时，，n有最小值，且最小值为，
∴当0≤c≤3时，n的取值范围是．
【点睛】本题主要考查了新定义下的二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2＋bx＋c
－0.06
－0.02
0.03
0.09
x
……
0
1
……
y
……
0
5
9
……
x
……
0
1
……
y
……
0
5
9
5
0
……
如何制定销售方案
素材一
某村在加入乡村振兴助农直播间个月期间，直播间累计观看直播人次万，其中第一个月收获的直播粉丝约为人，第三个月收获的直播粉丝约为人．
素材二
销售礼盒装茶叶平均利润为元时，每天可销售盒，为了回馈粉丝，决定降价销售，已知礼盒装茶叶平均利润每下调元，每天可多售出盒．
素材三
每月直播间还会准备价值万元的奖品用于粉丝抽奖．
【问题解决】
任务一
计算增长率
（1）求第二、三月收获的直播粉丝数量的月均增长率；
任务二
拟定价格方案
（2）若想要销售礼盒装茶叶的月（按天算）总利润达到万元，则在让利于直播间粉丝的前提下，平均利润应下调多少元？
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
0
0
0
…