甘肃省天水市甘谷县九年级上学期期末考试数学试题（解析版）-A4

这是一份甘肃省天水市甘谷县九年级上学期期末考试数学试题（解析版）-A4，共23页。
1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．
【详解】
∴a的小数部分为，
∴b的小数部分为，
∴，
故选：B．
【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．
2. 用小立方块搭成的几何体，从正面看和从上面看的形状图如下，则组成这样的几何体需要的立方块个数为( )

A 最多需要8块，最少需要6块B. 最多需要9块，最少需要6块
C. 最多需要8块，最少需要7块D. 最多需要9块，最少需要7块
【答案】C
【解析】
【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可知第一层正方体的个数为4，由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，第三层只有一块，相加即可.
【详解】由主视图可得：这个几何体共有3层，
由俯视图可知第一层正方体的个数为4，
由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，
第三层只有一块，
故：最多为3+4+1=8个
最少为2+4+1=7个
故选C
【点睛】本题考查由三视图判断几何体，熟练掌握立体图形的三视图是解题关键.
3. 观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得出，再利用整体代入思想即可得出答案．
【详解】解：由题意得：这组数据的和为：
∵，
∴原式=,
故选：A．
【点睛】本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，整体代入思想，同底数幂的乘法的逆用，解题的关键是正确找到本题的规律：，学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
4. 已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在边长为2的大正六边形中，根据正六边形和圆的性质可求出ON和半径OD，进而得出小正六边形MF的长，再根据正六边形的性质求出半径GF，即边长FH即可．
【详解】解：如图，连接AD交PM于O，则点O是圆心，过点O作ON⊥DE于N，连接MF，取MF的中点G，连接GH，GQ，
由对称性可知，OM＝OP＝EN＝DN＝1，
由正六边形的性质可得ON＝2，
∴ODOF，
∴MF1，
由正六边形的性质可知，△GFH、△GHQ、△GQM都是正三角形，
∴FHMF，
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形和圆的性质是解决问题的关键．
5. 若实数、满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】将化为（a+3）（b+1）-3的形式，由求得（a+3）（b+1）≥0，进而解答即可；
【详解】解：由，可得a2≤1，b2≤1，
∴﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1，
=a（b+1）+3（b+1）-3=（a+3）（b+1）-3，
∵a+3＞0，b+1≥0，
∴（a+3）（b+1）≥0，
当b=-1时，有最小值﹣3，
故选：A；
【点睛】本题考查了等式的变形，不等式的性质；通过变形来判断代数式（a+3）（b+1）的取值范围是解题关键．
6. 如图，在正方形ABCD中，，M是AD边上的一点，．将沿BM对折至，连接DN，则DN的长是（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】延长MN与CD交于点E，连接BE，过点N作，根据折叠的正方形的性质得到，在中应用勾股定理求出DE的长度，通过证明，利用相似三角形的性质求出NF和DF的长度，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，延长MN与CD交于点E，连接BE，过点N作，
∵，M是AD边上的一点，，
∴，，
∵将沿BM对折至，四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴(HL)，
∴，
∴，
在中，设，则，
根据勾股定理可得，解得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用等内容，做出合适的辅助线是解题的关键．
7. 已知实数x，y，z满足++＝，且＝11，则x+y+z的值为（ ）
A. 12B. 14C. D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】把两边加上3，变形可得，两边除以得到，则，从而得到的值．
【详解】解：，
，
即，
，
而，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的加减法，解题的关键是掌握同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，同时解决问题的关键也是从后面的式子变形出．
8. 如图，在矩形中，，点是边的中点，连接交于点，过点作交于点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形性质，点是边的中点，判定，得到，确定B不符合题意；结合等腰直角三角形性质得到，再根据等腰直角三角形的判定确定为等腰直角三角形，得，求出，确定A不符合题意；求出，在中，利用勾股定理求出，确定C不符合题意；根据前面得出，， 求得，再根据，得出，确定答案．
【详解】解：在矩形中，，点是边的中点，
，，
，
，即，故B不符合题意；
，
，
在中，，，
，，则，
，
为等腰直角三角形，即，
，故A不符合题意；

在中，，，，
，
，故C不符合题意；
，，
，即，
，
，即，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查几何综合，涉及到矩形性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理求线段长、相似的性质与判定等知识点，根据题意求出各个线段，按照选项判定各个线段之间的关系是解决问题的关键．
二、填空题（本题共10小题，每小题5分，共50分．请将答案填写在答题卷上的相应位置）
9. 比较大小： _____（填“”、“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】根据即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了锐角三角函数值增减性：当角度在间变化时，
①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
也考查了不等式的传递性．
10. 已知，当分别取1，2，3，……，2020时，所对应值的总和是__________．
【答案】
【解析】
【分析】先化简二次根式求出y的表达式，再将x的取值依次代入，然后求和即可得．
【详解】
当时，
当时，
则所求的总和为
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键．
11. 若不等式有解，则实数a最小值是_____．
【答案】4
【解析】
【分析】分类讨论：当或或，分别去绝对值解x的不等式，然后根据x对应的取值范围得到a的不等式或不等式组，确定a的范围，最后确定a的最小值．
【详解】解：当，原不等式变为：，解得，
∴，解得；
当，原不等式变为：，解得，
∴，解得；
当，原不等式变为：，解得，
∴，解得；
综上所述，实数a最小值是4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了解含绝对值的一元一次不等式的解法：讨论x的取值范围，然后去绝对值．也考查了不等式和不等式组的解法以及分类讨论思想的运用．
12. 已知a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则3a2﹣b的值是_____．
【答案】8．
【解析】
【分析】由根与系数的关系及根的定义可知a+b＝﹣1，ab＝﹣1，a2+a＝1，据此对3a2﹣b进行变形计算可得结果.
【详解】解：由题意可知：a+b＝﹣1，ab＝﹣1，a2+a＝1，
∴原式＝3（1﹣a）﹣b+
＝3﹣3a﹣b+
＝3﹣2a﹣（a+b）+
＝3﹣2a+1+
＝4﹣2a+
＝4+
＝4+
＝4+4
＝8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及根的定义，利用性质对式子进行降次变形是解题关键.
13. 若除以的商是，余式是1．则的值__________．
【答案】16
【解析】
【分析】根据整式的运算得到，再展开得到a，b的值，故可求解．
【详解】解：依题意，得


．
【点睛】此题主要考查整式的乘法运算的应用，算术平方根，解题的关键是熟知多项式乘多项式的运算法则．
14. 若关于x的分式方程的解是正数，则k的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】根据题意，将分式方程的解用含的表达式进行表示，进而令，再因分式方程要有意义则，进而计算出的取值范围即可．
【详解】解：
根据题意且
∴
∴
∴k的取值范围是且．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解及分式方程有意义的条件、一元一次不等式组的求解，熟练掌握相关计算方法是解决本题的关键．
15. 已知实数a，b，定义运算：a*b＝，若(a﹣2)*(a+1)＝1，则a＝_____．
【答案】3或1或﹣1
【解析】
【分析】根据a+1＞a﹣2知(a﹣2)*(a+1)＝(a﹣2)-(a+1)＝1，据此可得a﹣2＝1或a﹣2＝﹣1或a+1＝0，从而得出答案．
【详解】∵a+1＞a﹣2，
∴(a﹣2)*(a+1)＝(a﹣2)-(a+1)＝1，即(a﹣2)a+1＝1，
则a﹣2＝1或a﹣2＝﹣1或a+1＝0，
解得，a＝3或a＝1或a＝﹣1，
故答案：3或1或﹣1．
【点睛】本题属于新定义题型，考查了幂的运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握1的任何次幂都等于1、-1的偶数次幂等于1、非零数的零指数幂等于1是解题的关键．
16. 如图，点C在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】设BC=a，则AC=2a，然后利用正方形的性质求得CE、CG的长、∠GCD=ECD=45°，进而说明△ECG为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答．
【详解】解：设BC=a，则AC=2a
∵正方形
∴EC=，∠ECD=
同理：CG=,∠GCD=
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了正方形的性质和正切的定义，根据正方形的性质说明△ECG是直角三角形是解答本题的关键．
17. 比较大小：___________；若正数满足，则___________．
【答案】 ①. ＞ ②. ＜
【解析】
【分析】利用分数指数幂把原数变形为再比较大小，利用幂的运算结合从而可得第二空的答案.
【详解】解：
而

，为正数，



故答案为：＞，＜
【点睛】本题考查的是分数指数幂的含义，幂的运算，代数式的值的比较，熟练的运用幂的运算法则是解本题的关键.
18. 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，以D为圆心，4为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF=90°，tan∠AEF=，则点F与点C的最小距离为________．
【答案】4
【解析】
【分析】如图，取AB的中点G，连接FG，FC，GC，由△FAG∽△EAD，推出FG：DE＝AF：AE＝1：3，因为DE＝4，可得FG＝，推出点F的运动轨迹是以G为圆心为半径的圆，再利用两点之间线段最短即可解决问题．
【详解】解：如图，取AB的中点G，连接FG．FC．GC．
∵∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，
∴＝，
∵AB＝8，AG＝GB，
∴AG＝GB＝4，
∵AD＝12，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠EAF＝90°，
∴∠FAG＝∠EAD，
∴△FAG∽△EAD，
∴FG：DE＝AF：AE＝1：3，
∵DE＝4，
∴FG＝，
∴点F的运动轨迹是以G为圆心为半径的圆，
∵GC＝，
∴FC≥GC−FG，
∴FC≥4，
∴CF的最小值为4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 完成下面两个小题．
（1）计算：．
（2）已知、满足条件，求的最大值．
【答案】（1）1 （2）1
【解析】
【分析】（1）依据题意，将被开方数提取公因式后计算即可得解．
（2）依据题意，，再结合，，从而可以得解．
【小问1详解】
解：原式


．
【小问2详解】
由题意得，，
又，，
，，
，当且仅当，中有一个为，另一个为时，等号成立，
的最大值为．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用及实数的运算，解题时要熟练掌握并灵活运用．
20. 已知=k，求k2-3k-4的值．
【答案】-或6．
【解析】
【分析】当a+b+c+d≠0时，依据等比性质可得=k，当a+b+c+d=0时，得b+c+d=﹣a，代入即可计算出k的值．
【详解】∵=k，
∴当a+b+c+d≠0时，由等比性质可得，=k，
k==；
当a+b+c+d=0时，b+c+d=﹣a，
∴k==-2；
当k=时，；
当时，．
【点睛】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质．
21. 如图，内接于，且为的直径，的平分线交于点，过点在左侧作交的延长线于点，过点作于点．

（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）若，，求线段的长．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析； （3）．
【解析】
【分析】（）由，，得，所以；
（）连接，由，且，，得，由，得，即可证明是切线；
（）由是的直径，得，所以，，由于点，得，所以，则，由，得，则，所以，由，，得，再证明，得，即可求得．
【小问1详解】
∵，，
∴，
∴，
【小问2详解】
证明：如图，连接，

∵的平分线交于点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，且，
∴是的切线．
【小问3详解】
解：∵是的直径，，，
∴，
∴，，
∵于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴线段的长是．
【点睛】此题考查了圆周角定理、平行线的判定、切线的判定定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
22. 已知函数．
（1）在直角坐标系中作出函数图象；
（2）已知关于的方程有三个解，求的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）分段求出函数解析式，再描点画出图象即可，
（2）数形结合求出临界点时的值，再观察得出的范围；
【小问1详解】
解：根据去绝对值的正负性得到的取值范围，时，去掉绝对值的值均为相反数，；时，去掉绝对值为自身的相反数，去掉绝对值为自身，；时，去掉绝对值的值为自身，掉绝对值的值为自身的相反数，；时，去掉绝对值均为自身，．
时，；
时，；
时，；
时，；
图象如下：
【小问2详解】
设，其图象经过，
当直线过时，如下图虚线，直线与的图象有两个交点，将代入得，即时，有两个解，
当时，如下图实线，此时直线与的图象有三个交点，即有三个解，
当当直线过时，如下图黑实线．直线与的图象有两个交点，将入得，即时，有两个解，
有三个解，的范围是，

故答案为：．
【点睛】本题考查分段去绝对值作函数图象及根据函数图象求方程解的个数，其中数形结合找临界点是关键．
23. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，点是直线上一点．

（1）求抛物线的表达式；
（2）求周长的最小值；
（3）将线段绕点旋转，得到线段，点的对应点为点，当点在抛物线上时，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）点的坐标为和
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）因为BC为定值，所以当最小时，PBC的周长最小．如图1所示，连接交l于点P，由轴对称性质可知，此点P即为所求；
（3）分点Q在直线l的左侧和右侧，构造全等三角形即可得出结论．
【小问1详解】
由题意可知：，
解得：，
抛物线的解析式为：．
【小问2详解】
，
．
的周长为：，是定值，
当最小时，的周长最小．

如图所示，点、关于对称轴对称，连接交于点，则点为所求的点．
，
周长的最小值是：．
，，，
，．
周长的最小值是：；
【小问3详解】
如图，当点在直线左侧时，

抛物线与轴交于，两点，
对称轴为直线，
将线段绕点旋转，得到线段，
，，
与关于直线对称，
，
，
，
；
如图，当点在直线的右侧时，

过点作于，于，
由旋转知，，，
，
，
，
，
，，
设，则，
点的坐标为，
代入中，
解得，或舍，
的坐标为，
综上，点的坐标为和．
【点睛】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、图形周长计算、轴对称最短路线等知识点，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解本题的关键．