河南省开封市祥符区实验中学2025-2026学年九年级（上）第三次月考数学试题（含答案）

这是一份河南省开封市祥符区实验中学2025-2026学年九年级（上）第三次月考数学试题（含答案），共20页。试卷主要包含了本试卷共4页，答题前请将密封线内的项目写清楚，如图，给出下列条件等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷共4页．三大题，满分120分，考试时间100分钟．请用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．
2．答题前请将密封线内的项目写清楚．
一、单选题（共30分）
1．如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的主视图为（ ）
A．B．C．D．
2．小聪在解方程时，只得到一个根，则被漏掉的一个根是（ ）
A．B．
C．D．
3．关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点B．图象分别位于第一、三象限
C．图象关于原点对称D．随的增大而增大
4．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小刚现将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
6．如图所示，有一台笔记本电脑，屏幕与键盘所成夹角为，若屏幕的长度为，则上方边界C处到桌面的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，给出下列条件：①；②；③；④．其中不能够判定的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示的蓝丝带，若．重叠部分图形的面积是，则丝带的宽为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，以为边在第一象限内构造矩形，且．将五边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第26次旋转结束时，点C的对应点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
10．如图1，点从等边三角形的顶点出发，沿折线运动到顶点．设点运动的路程为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题（共15分）
11．请写出在每一个象限内y随x的增大而增大的反比例函数表达式： ．
12．如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴于点B，的面积为3，则k的值为 ．
13．如图所示，一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为，秋千摆至最高位置时与竖直方向的夹角为，且两边的摆动角度相同，那么秋千摆至最高位置与摆至最低位置时的高度差为 米．（结果保留根号）
14．已知，，在反比例函数的图象上，、、的大小关系是 ．
15．如图所示，在矩形中，，，两只小虫和同时分别从，出发沿、向终点，方向前进，小虫每秒走，小虫每秒走，它们同时出发秒时，使，则 秒
三、解答题（共75分）
16．解方程（1）；
计算（2）
17．DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的模具设计活动．随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：．
下面给出了部分信息：其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89．
根据以上信息解决下列问题：
(1)本次共抽取了________名，学生的模具设计成绩，成绩的中位数是________分，并补全频数分布直方图；
(2)请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数；
(3)学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率．
18．已知反比例函数的关系式为．
(1)完成表格，并在平面直角坐标系中画出其函数图象；
(2)根据图象回答：当时，y的取值范围是 ．
(3)根据图象回答：当时，x的取值范围是 ．
19．2025年，“拉布布”凭借诡异又可爱的独特设计和北欧神话背景，成为全球潮玩市场的现象级产品．在“浪浪山小妖怪”电影热映后，“问童子．奋斗兔”玩偶也深受年轻人的喜欢．某潮玩店同时销售“拉布布森林系列”盲盒和“问童子．奋斗兔”玩偶，已知拉布布的销售单价是奋斗兔销售单价的倍，某顾客用1000元购买拉布布的数量比用600元购买奋斗兔的数量多2个．
(1)拉布布和奋斗兔的销售单价分别是多少元？
(2)已知拉布布每个进价为60元，经统计，该店每月能够卖出拉布布80个，为了尽快减少库存，该店决定采用适当的降价措施．调查发现，拉布布销售单价每降低2元，平均每月能够多售出10个．该店老板希望每月拉布布的利润达到3600元，那么拉布布销售单价应降低多少元？
20．如图，在中，是的角平分线，E是上一点，连接．
(1)请用无刻度的直尺和圆规，在上找到一点F使得；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，求证：．
21．随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为为支杆，它可绕点B旋转，其中长为为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：）
(1)如图2，当B、C、D三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点D距离地面的高度；
(2)调节支杆，悬杆，使得，如图3所示，且点D到地面的距离为，求的长．（结果精确到）
22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）．
(1)求的面积．
(2)将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？
(3)若双曲线上存在一点P，使得和的面积相等，请直接写出点P坐标．
23．课本再现
（1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是通过截取线段，
构造出 ，进而得到．
类比迁移
（2）如图2，四边形是矩形，，点是边的中点，，且交矩形的外角平分线于点，请判断与的数量关系，并说明理由．
拓展探究
（3）如图3，四边形是边长为3的菱形，，点为射线上一动点，连接，作，且与菱形外角的平分线交于点．当时，请直接写出的长．
参考答案
1．C
解：∵该几何体为放倒的三棱柱，
∴根据主视图的画法，从前往后看，看到的是一个长方形，
故选：C．
2．B
解：∵，
∴，
∴，
∴或，
即或．
小聪只得到，故被漏掉的根是．
故选：B．
3．D
解：∵反比例函数 中，，
∴ 当时，，图象经过点 ，故A正确；
∴ 图象分别位于第一、三象限，故B正确；
∴ 图象关于原点对称，故C正确；
∴ 在每个象限内，y随x的增大而减小，故D错误；
故选：D.
4．D
解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
据此可以估计黑色部分的面积为．
故选：D．
5．B
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 二次项系数 ，即 ，
且判别式 ，
，
∴ ，
，
∴ 的取值范围是 且 ，
故选 B
6．B
解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
7．A
解：和中，，
添加后，满足两组对应角相等，可以判定；
添加后，满足两组对应角相等，可以判定；
添加后，不能满足两边对应成比例且夹角相等，不能判定；
添加，即后，满足两边对应成比例且夹角相等，可以判定，
故选：A．
8．A
解：由题意知，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
如图，作于，于，连接，则，
设，
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
则，
∴重合部分四边形的面积为：
，
解得（负值已舍去），
∴丝带的宽为，
故选：A．
9．D
解：∵点，点，
∴，
∴，，
∵以为边在第一象限内构造矩形，且．
∴，
∴
过点C作于点E，
∴，,
∴，，
∴，
∴，
∵五边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，
∴，，，，以后开始循环，
循环周期为，
∵，
故点的坐标与相同，
故选：D．
10．A
解：如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．

结合图象可知，当点在上运动时，，
，，
又为等边三角形，
，，
，
，
当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，
，即，
，
过点作，
，则，
， 即：等边三角形的边长为，
故选：A．
11．（答案不唯一）
解：∵反比例函数在每一个象限内函数值y随x的增大而增大，
∴，
选取，则，
故答案为：（答案不唯一）．
12．
解：由题意得：，
∴，
∵反比例函数的图象在第二象限，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
解：在中，，，，则，
秋千摆至最高位置与摆至最低位置时的高度差为，
故答案为：．
14．
解：∵，
∴反比例函数图象分布在二、四象限，当时，；当时，，且在每一象限内，的值随着的增大而增大，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
15．2或
解：由题意，设经秒后，，
由于，，，
①当时，
．
解得．
故经过秒时，．
②当时，
．
解得．
故经过秒时，．
故答案为：或．
16．（1）, ; （2）
（1），
则，
配方得，
，
解得，
, ；
（2）原式
．
17．(1)50，，见解析
(2)720人
(3)
（1）解：，
∴本次共抽取了50名学生的模具设计成绩，
组学生人数为人，
∵成绩由低到高排列，中位数为第25和第26个数据的平均数，
∴中位数分，
补全频数分布直方图如下：
故答案为：50，；
（2）解：，
答：估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为720人；
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有12种结果，所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种，
∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为．
18．(1)见解析
(2)
(3)或
（1）解：表格完成如下：
画出函数图象如图所示：
（2）解：如图所示：
由图象可得：当时，y的取值范围是，
故答案为：.
（3）解：如图所示：
（3）由图象可得：当时，x的取值范围是或，
故答案为：或．
19．(1)奋斗兔的销售单价是 75 元，拉布布的销售单价是100元
(2)拉布布销售单价应降价20元
（1）解：设奋斗兔的销售单价为x元，则拉布布的销售单价为元，
根据题意得
解得：，
经检验，是原方程的根，
则，
答：奋斗兔的销售单价是75元，拉布布的销售单价是100元；
（2）解：设拉布布销售单价应降价a元，根据题意得，
解得:
为了尽快减少库存，
，
拉布布销售单价应降价20元．
20．(1)见解析
(2)见解析
（1）解：如图，点F即为所求作（作法不唯一）；
（2）证明：平分，
，
，
，
，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵
∴四边形是菱形，
．
21．(1)
(2)
（1）解：如图所示，过点D作，过点B作于点E，则，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴端点D距离地面的高度为；
（2）解：如图所示，过点D作，过点C作，交于点K，H，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
22．(1)
(2)1或9个单位长度
(3)或
（1）解：把代入，
得，
把代入，得；
，
把，代入得，
，
解得，．
一次函数的解析式为，
把代入，得，
．
；
（2）解：设直线向下平移个单位长度，则直线，
根据题意列出方程：，
整理，得．
由于直线与反比例函数图象只有一个交点，
所以．
解得，．
所以将直线向下平移1或9个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点；
（3）解：，，
，
当点在的平分线上时，，如图，
，
，
．
，平分，
，
把代入，可得，
，
，
如图，过点作，
，
点横纵坐标相等，
设，
即，
，
，
故点坐标为，使得和的面积相等．
根据反比例函数图象的对称性可得或．
23．（1），；（2），理由见解析（3）的长为2或3
解：（1）如图，取的中点，连接，
四边形是正方形，
，
、分别是和的中点，
，
，
，
交正方形外角的平分线于点，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；；
（2）．
理由：在上取点，使，连接，
由（1）同理可得，
，
，
，
，
设，
则，，
，
；
即．
（3）如图所示，过点作，交于点，
四边形是菱形，，
，，，，，，
，，，
是角平分线，
，，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
可得，
解得，，
当时，点在上，；
当时，点在延长线上，
如图所示，
；
综上所述，的长为2或3．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
…
y
…
…
如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接）
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
…
y
…
﹣1
﹣2
﹣4
4
2
1
…