数学选择性必修 第一册椭圆教案设计

这是一份数学选择性必修 第一册椭圆教案设计，共5页。教案主要包含了典例解析，课堂小结，课后作业等内容，欢迎下载使用。
教学目标
让学生认识椭圆的定义，体会从具体情境中抽象出椭圆的过程
学会建立适当坐标系，利用定义求椭圆的标准方程。
3.让学生体会椭圆标准方程的简单运用，能根据简单的信息求椭圆的标准方程。
教学重点：
1. 椭圆的定义和椭圆的标准方程。
2. 会用定义法、待定系数法求椭圆的标准方程。
教学难点：
1. 椭圆标准方程的推导。
2. 用椭圆的定义求椭圆的标准方程。
教学过程
一．引入
我们今天学习《圆锥曲线与方程》。早在公元前4世纪，古希腊的数学家便发现用平面去截圆锥面，可以得到不同的曲线：用不经过点的平面截圆锥面，设平面与轴所成角为，轴与母线所成角为.当时,截线为圆；当时，截线为椭圆；当时，截线为抛物线；当时，截线为双曲线。古希腊先贤们将它们统称为圆锥曲线。这节课，让我们从椭圆开始，翻开这一数学世界中的宏伟篇章。
二．椭圆的定义.
我们先回顾一下圆的形成过程。我们知道，将一根定长的细绳一端固定，则另一端可以画出一个圆。类比圆的形成方式，我们能否用类似的方法来形成一个椭圆呢？
取一条定长的细绳，用两个图钉把细绳两端分别固定在图板的两点处，用铅笔绷紧细绳，也即是视频中蓝色的线，然后我们移动笔尖。我们发现，笔尖的移动过程中，画出了一条光滑的闭合曲线。这种曲线就叫椭圆。
问题1：在笔尖的移动过程中，有什么量保持不变呢？
自答：我们不难发现，笔尖到两个定点的距离之和始终等于绳长，保持不变。
问题2：改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
自答：此时细绳被完全拉直，形成线段.
问题3：绳长能小于两图钉之间的距离吗？
自答：此时无法使得细绳一端固定到定点时另一端达到.
综合问题1-3，我们不难总结出，要想画出椭圆，细绳的长度需要大于两个定点之间的距离.
下面，我们可以给出椭圆的完整定义：
平面上到两个定点的距离之和为常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距.
过渡语言：我们知道，椭圆可以通过用平面截圆锥面得到，它是一种圆锥曲线。下面我们根据椭圆的几何特征，选择适当的直角坐标系来求椭圆的方程。
问题4：如何建立坐标系？
自答：考虑到，在椭圆定义中为定点，所以我们以所在直线为轴，又考虑到两点具有明显的对称性，以的中垂线为轴，建立平面直角坐标系.
设椭圆的焦距，则的坐标分别为.
我们知道，求曲线的方程即是寻求曲线上点的横、纵坐标所满足的数量关系，所以我们设点为椭圆上任意一点.下面来寻找等量关系。
根据椭圆的定义，点在椭圆上的充要条件为.
利用两点之间的距离坐标公式代入，即
问题4：如何化简这个方程？
自答：由于式子中局部含有根式，我们势必要通过平方来消除根号。
如果直接平方，得到式子
整理难度仍然很大。
而如果我们先通过移项得到式子，再将它平方
则会得到
展开观察：
此时方程中有若干项都可消掉，整理得
对式子再平方，整理后可得到
这就是椭圆的方程。不难发现，椭圆的方程是一个二元二次方程。
我们希望将方程写成更简单的形式，关注到椭圆的定义，我们有，即，所以，设，则，再把式子两边同时除以，得，这个方程称为椭圆的标准方程，它所表示的椭圆焦点在轴上。焦点的坐标为：
问题5：根据椭圆的标准方程，能否得到椭圆上的特殊点的坐标？
由该式，我们很容易得出时，，时.这说明椭圆与轴的交点为以及，与轴的交点为以及.
问题6：类比焦点在轴上的情况，若椭圆的两个焦点落在轴上且关于原点对称，我们能否得到它的方程？
自答：此时焦点的坐标分别为，设，由，
可得，对该式我们可以直接化简，但考虑到我们已经化简了焦点在轴上的情形，我直接将两种情形进行类比，则此方程可化简为，这就是焦点在轴上的椭圆的标准方程，其中.现在我们已经认识了椭圆的标准方程，那么
问题7：对于一个确定的椭圆方程，我们能否判断其焦点是在轴还是轴呢？
自答：注意到，焦点在轴时，所对应的分母为，而焦点在轴时，所对应的分母为。也就是说，只需比较和所对应的分母，谁的分母更大，焦点就在其对应的坐标轴上。
也就是说：对于椭圆，时，其焦点在轴上，时，其焦点在轴上.
过渡语：现在，我们已经掌握了椭圆的标准方程的知识，下面让我们小试牛刀，用两个例题来巩固我们对知识的理解。
三、典例解析
例1：求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上任一点到两个焦点的距离之和：
（1）； （2） （3）
（1）已知方程是椭圆的标准方程，由 可知,这个椭圆的焦点在轴上，且 ，所以.因此，椭圆的焦点坐标为，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为.
（2）已知方程是椭圆的标准方程，由可知，这个椭圆的焦点在轴上，且，所以.因此，椭圆的焦点坐标为，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为.注意到方程不是椭圆的标准方程，
（3）先化为标准方程：.由可知，该椭圆的焦点在轴上，且，所以.因此，椭圆的焦点坐标为，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为.
四、课堂小结
这节课，我们认识了椭圆的定义：平面上到两个定点的距离之和为常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。我们建立了坐标系，通过推导得到椭圆的标准方程焦点在轴与焦点在轴情形下的两种形式。我们还尝试运用所学知识，解决了与椭圆的标准方程相关的简单问题。
五、课后作业
求适合下列条件的椭圆的标准方程.
（1）焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10.
（2）焦点坐标为和，且经过点.
解析：
（1）关注到椭圆的焦点在轴上, 故可设其标准方程为
由椭圆的定义知,所以.又因为,所以.
因此,所求椭圆的标准方程为
（2）关注到椭圆的焦点在轴上, 故可设它的标准方程为
已知焦点坐标及椭圆上一点,由椭圆的定义可知因此.又因为, 所以.
因此, 所求椭圆的标准方程为
也可以利用方程思想解决本问题：故可设椭圆方程为，将代入即可解得，故所求方程为