2.7.2余角和补角-课件2025-2026学年2024冀教版数学七年级上册教学课件

幻灯片 1：封面标题：余角和补角副标题：探索角的 “特殊搭档” 关系年级：四年级上册教师姓名：[你的姓名]幻灯片 2：学习目标理解余角和补角的定义，能准确判断两个角是否为互余或互补关系。掌握余角和补角的性质（同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等），并能运用性质解决简单问题。通过观察、推理和动手验证，提升逻辑思维能力，感受数学中 “特殊关系” 的规律性。幻灯片 3：旧知回顾与情境引入旧知回顾：展示两个角（∠1=30°，∠2=60°），提问 “之前我们学过角的和与差，这两个角的和是多少度？”（引导学生计算 30°+60°=90°）；再展示∠3=110°，∠4=70°，提问 “这两个角的和又是多少度？”（110°+70°=180°），为新知铺垫。情境引入：呈现生活场景图（如直角三角板中两个锐角拼合为直角、平角广告牌被分割为两个角），提问 “生活中经常出现两个角的和是 90° 或 180° 的情况，这样的角之间有特殊名称吗？它们又有什么特别的性质呢？”，激发探究兴趣，引出本节课主题 —— 余角和补角。幻灯片 4：余角的定义与判断定义讲解：如果两个角的和等于 90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。例如∠1=30°，∠2=60°，因为 30°+60°=90°，所以∠1 与∠2 互为余角，也可以说∠1 是∠2 的余角，∠2 是∠1 的余角。图形演示：用动画展示直角（90°）被一条射线分割为两个角（∠A=45°，∠B=45°），标注 “∠A+∠B=90°，∠A 与∠B 互为余角”；再展示另一个直角分割图（∠C=20°，∠D=70°），强化 “和为 90° 则互余” 的认知。判断练习：给出三组角（①40° 和 50°；②35° 和 65°；③10° 和 85°），让学生判断哪组角互为余角，同桌互相核对答案，教师讲解易错点（如③中 10°+85°=95°≠90°，不互余）。幻灯片 5：补角的定义与判断定义讲解：如果两个角的和等于 180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。例如∠3=110°，∠4=70°，因为 110°+70°=180°，所以∠3 与∠4 互为补角，也可以说∠3 是∠4 的补角，∠4 是∠3 的补角。图形演示：用动画展示平角（180°）被一条射线分割为两个角（∠E=100°，∠F=80°），标注 “∠E+∠F=180°，∠E 与∠F 互为补角”；再展示另一个平角分割图（∠G=130°，∠H=50°），加深 “和为 180° 则互补” 的理解。判断练习：给出三组角（①120° 和 60°；②50° 和 130°；③80° 和 90°），让学生判断哪组角互为补角，教师请学生上台讲解判断过程，强调 “互补的两个角和必须是 180°”。幻灯片 6：余角和补角的性质（推导与验证）余角的性质：问题引导：已知∠1 与∠2 互余，∠1 与∠3 互余，那么∠2 和∠3 的关系是什么？推理过程：因为∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，所以∠2=90°-∠1，∠3=90°-∠1，因此∠2=∠3。性质总结：同角的余角相等。同理可推导 “等角的余角相等”（若∠1=∠4，∠1 与∠2 互余，∠4 与∠5 互余，则∠2=∠5）。动手验证：让学生用三角板画出两个相等的角（如均为 40°），再分别画出它们的余角，用量角器测量余角的度数，验证是否相等。补角的性质：问题引导：已知∠A 与∠B 互补，∠A 与∠C 互补，那么∠B 和∠C 的关系是什么？推理过程：因为∠A+∠B=180°，∠A+∠C=180°，所以∠B=180°-∠A，∠C=180°-∠A，因此∠B=∠C。性质总结：同角的补角相等。同理可推导 “等角的补角相等”（若∠A=∠D，∠A 与∠B 互补，∠D 与∠E 互补，则∠B=∠E）。动画演示：用动态课件展示 “同角的补角相等” 的过程，直观呈现∠B 和∠C 度数相同的结果。幻灯片 7：典型例题（性质应用）例题 1：已知∠1=35°，求∠1 的余角和补角的度数。解答过程：余角 = 90°-35°=55°；补角 = 180°-35°=145°。例题 2：已知∠α 与∠β 互为余角，∠β 与∠γ 互为余角，且∠α=40°，求∠γ 的度数。解答过程：因为∠α 与∠β 互余，∠β 与∠γ 互余，根据 “同角的余角相等”，所以∠α=∠γ，又因为∠α=40°，所以∠γ=40°。例题 3：已知∠A 与∠B 互补，∠C 与∠D 互补，且∠A=∠C，求证∠B=∠D。解答过程：因为∠A 与∠B 互补，所以∠B=180°-∠A；因为∠C 与∠D 互补，所以∠D=180°-∠C；又因为∠A=∠C，所以 180°-∠A=180°-∠C，即∠B=∠D（等角的补角相等）。幻灯片 8：易错点辨析误区 1：认为 “互余或互补的两个角一定有公共顶点”。纠正演示：展示两组角（①∠1=20°，∠2=70°，无公共顶点；②∠3=100°，∠4=80°，无公共顶点），计算得出∠1+∠2=90°，∠3+∠4=180°，说明 “互余或互补只与角的度数和有关，与位置无关”。误区 2：混淆 “余角” 和 “补角” 的定义（如将和为 180° 的角称为互余）。对比总结：用表格对比余角和补角的区别（和为 90° vs 和为 180°，简称互余 vs 简称互补），并给出判断题（如 “和为 180° 的两个角互为余角”，引导学生判断错误并说明理由）。幻灯片 9：巩固练习（分层训练）基础题：已知∠1=50°，求∠1 的余角和补角各是多少度？判断下列说法是否正确：①30° 的角的余角是 60°；②120° 的角的补角是 50°；③互余的两个角的和是 90°。提升题：已知∠A 的补角是∠A 的 3 倍，求∠A 的度数。（提示：设∠A=x°，则补角为 (180-x)°，列方程 180-x=3x）已知∠1 与∠2 互余，∠2 与∠3 互补，且∠3=130°，求∠1 的度数。（提示：先求∠2=180°-130°=50°，再求∠1=90°-50°=40°）幻灯片 10：课堂小结知识梳理：与学生一起回顾本节课重点：余角：和为 90° 的两个角，互为余角；补角：和为 180° 的两个角，互为补角。性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等。关键：判断互余或互补看度数和，与位置无关；运用性质可快速推导角的关系。口诀记忆：引导学生总结口诀：“余角和为九十度，补角和为一百八；位置无关看度数，同角等角余补等”。幻灯片 11：课堂作业完成教材对应练习题（如第 XX 页第 7、8 题），写出详细的解题步骤。回家后，观察家中的直角或平角物体（如书桌的角、墙上的画框），找出 3 组互余或互补的角，记录角的度数并验证，下次课分享。幻灯片 12：拓展延伸趣味探究：展示 “一个角的余角和补角的关系”，提问 “已知∠α，它的补角比余角大多少度？”（引导学生计算：(180°-∠α)-(90°-∠α)=90°，得出 “任意角的补角都比它的余角大 90°” 的结论）。生活应用：介绍余角和补角在生活中的应用（如钟表上，3 点时，时针和分针互余；6 点时，时针和分针互补；工程师设计楼梯倾斜角时，需考虑倾斜角与水平角的互余关系），让学生感受数学的实用性。幻灯片 13：感谢语结束语：今天我们认识了角的 “特殊搭档”—— 余角和补角，还发现了它们 “同角等角余补相等” 的有趣性质！希望大家今后能灵活运用这些知识，解决更多几何问题，继续探索数学的奇妙，下课！2024冀教版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.了解两角互余和两角互补的定义.2.通过探究了解“同角(或等角)的余角相等”“同角(或等角)的补角相等”并能利用这些性质进行角的计算，发展推理能力.学习目标 要测量两堵墙所成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量?你能帮他解决这个问题吗？课堂导入两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余.如果∠1+∠2=90°，那么∠1与∠2互为余角.1几何语言：因为∠1＋∠2＝90°,所以∠1与∠2互余.反过来，如果∠1与∠2互为余角，那么∠1+∠2=90°.几何语言：所以∠1＋∠2＝90°.因为∠1与∠2互余,知识点1 余角与余角的性质例1 图中给出的各角，哪些互为余角？15o24o66o75o46.2o43.8o知识点1 余角与余角的性质 例2 画出∠COB的余角.知识点1 余角与余角的性质（2）量一量: 用量角器量一下这两个角的度数； 根据图形回答下列问题:（1）猜一猜: ∠1 与∠2相等吗？ 问题1 ∠1与∠COB互余，∠ 2与∠COB互余.（3）议一议：把结论归纳一下.（4）试一试：你还能用什么方法来说明这个结论？相等同角的余角相等12知识点1 余角与余角的性质解： ∠1与∠2相等.理由如下： 因为 ∠1+∠BOC = 90°， ∠2+∠BOC = 90°， 所以 ∠1= 90°-∠BOC， ∠2= 90°-∠BOC ， 所以 ∠1 =∠2.如图，∠1与∠COB互余， ∠ 2与∠COB互余，则∠1与∠2相等吗？AOBDC12 同角的余角相等知识点1 余角与余角的性质 问题2 如图，∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？解： ∠2与∠4相等.理由如下： 因为∠1﹢∠2 = 90°， ∠3﹢∠4 = 90°， 所以∠2 = 90°-∠1，∠4 = 90°-∠3. 因为∠1 =∠3, 所以∠2 =∠4. 等角的余角相等知识点1 余角与余角的性质 两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补.如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2互为补角.几何语言：因为∠1＋∠2＝180°，所以∠1与∠2互补.知识点2 补角与补角的性质反过来，如果∠1与∠2互为补角，那么∠1+∠2=180°.几何语言：因为∠1与∠2互补,所以∠1＋∠2＝180°.例3 图中给出的各角，哪些互为补角？知识点2 补角与补角的性质问题3 如图，∠1是∠BOC 的补角， ∠2是∠BOC 的补角.∠1与∠2相等吗?解： ∠1与∠2相等.理由如下： 因为∠1+ ∠BOC = 180°， ∠2+ ∠BOC = 180°， 所以∠1=180°- ∠BOC ， ∠2=180°- ∠BOC， 所以∠1=∠2.AOBDC12 同角的补角相等知识点2 补角与补角的性质问题4 如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？ 解：∠2与∠4相等.理由如下： 因为 ∠1﹢∠2 = 180°，∠3﹢∠4 = 180°， 所以 ∠2 = 180°-∠1， ∠4 = 180°-∠3. 因为 ∠1 =∠3， 所以 ∠2 =∠4.等角的补角相等1243知识点2 补角与补角的性质例4 如图，点A，O，B在同一直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？ 解：因为点A，O，B在同一直线上， 所以 ∠AOC 和∠BOC互为补角.所以∠COD和∠COE互为余角.同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.知识点2 补角与补角的性质例5 如图，直线AB与∠COD的两边OC，OD分别相交于点E，F，∠1＋∠2＝180°.找出图中与∠2相等的角，并说明理由．分析：已知∠1＋∠2＝180°，说明∠2是∠1的补角．根据同角(或等角)的补角相等，找出图中∠1的其他补角和∠2的其他补角的补角，便可确定与∠2相等的角．知识点2 补角与补角的性质解：如图，因为∠1＋∠3＝180°，∠1＋∠2＝180°， 所以∠3＝∠2. 因为∠1＋∠4＝180°，∠1＋∠2＝180°， 所以∠4＝∠2. 因为∠2＋∠5＝180°， ∠6＋∠5＝180°， 所以∠2＝∠6. 所以图中与∠2相等的角有∠3，∠4，∠6.知识点2 补角与补角的性质例5 如图，直线AB与∠COD的两边OC，OD分别相交于点E，F，∠1＋∠2＝180°.找出图中与∠2相等的角，并说明理由．1.一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（　）A．30°B．45°C．60°D．75°A2.下列说法正确的是（　　）A．一个角的补角一定大于它本身B．一个角的余角一定小于它本身C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角D．一个角的余角一定小于其补角D3. 如图，直线AB，CD交于点O，因为∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠2的依据是(　　)A．同角的余角相等 B．等角的余角相等C．同角的补角相等 D．等角的补角相等C4. ∠1 与 ∠2 互余，∠1 = (6x + 8)°，∠2 = (4x－8)°， 则∠1= ，∠2= .62°28°5. 如图，D是直线EF上一点，∠CDE＝90°，∠1＝∠2，哪些角互为余角？哪些角互为补角？解：∠1与∠ADC，∠1与∠BDC，∠2与∠BDC，∠2与∠ADC互为余角；∠1与∠ADF，∠2与∠ADF，∠2与∠BDE，∠1与∠BDE，∠EDC与∠FDC互为补角．6.如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．（1）∠AOD的余角是______________，∠COD的余角是_______________;（2 ）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．∠COE、∠BOE∠COE、∠BOE解：OE平分∠BOC.理由如下：因为∠DOE=90°，所以∠AOD+∠BOE=90°,∠COD+∠COE=90°，所以∠AOD+∠BOE=∠COD+∠COE.因为OD平分∠AOC，所以∠AOD=∠COD，所以∠COE=∠BOE，所以OE平分∠BOC．解：因为∠AOC＝∠BOD＝90°，所以∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC＝90°，所以∠AOB，∠COD都是∠BOC的余角，所以∠AOB＝∠COD.因为∠AOB＝40°，所以∠COD＝40°. 知识点1 余角和补角的定义 A  返回 A  返回3.［2025邯郸期末］依据下列各角所标数据，其中没有余角的是( )DA. B. C. D. 返回 CA.相等B.互余C.互补D.以上都不对 返回 A  返回   返回 135 返回   返回知识点2 余角和补角的性质 CA.互余B.互补C.相等D.不能确定 返回 DA.同角的余角相等B.等角的余角相等C.同角的补角相等D.等角的补角相等 返回  AA.Ⅰ和Ⅱ都对B.Ⅰ和Ⅱ都不对C.Ⅰ不对，Ⅱ对D.Ⅰ对，Ⅱ不对 返回       返回 C  返回 CA. B. C. D. 返回（第15题） D  返回（第16题） 47 返回        返回            返回同角或等角的补角相等同角或等角的余角相等必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！