河北省邢台市卓越联盟2025-2026学年高二上学期12月期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份河北省邢台市卓越联盟2025-2026学年高二上学期12月期中考试数学试题（Word版附解析），共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，椭圆：的长轴长是短轴长的倍，则（ ）
A．2B．C．4D．
4．点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．圆与圆公切线的条数为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知圆与圆关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点．直线与交于另一点，若，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆：上，则（ ）
A．面积的最大值是B．面积的最小值是
C．当最小时，D．当最大时，
10．以下四个命题是真命题的是（ ）
A．直线恒过定点
B．若直线：与：互相垂直，则
C．已知直线：与：平行，则
D．过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为或
11．已知为坐标原点，是抛物线：的准线上的一点，过的焦点的直线与交于，两点，为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为钝角三角形
C．直线的斜率的最大值为
D．若，则直线的斜率为2
三、填空题
12．圆与圆的公共弦长为 ．
13．已知点及抛物线上一动点，则的最小值是 ．
14．著名物理学家、数学家阿基米德利用“逼近法”，得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知平面内，曲线的方程为，则曲线所围成的封闭图形的面积为 ．
四、解答题
15．已知圆经过，两点，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)已知直线经过点，与圆相交于，两点，，求的一般式方程．
16．已知椭圆：的焦距为，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若斜率为的直线与椭圆有交点，求在轴上的截距的取值范围．
17．设圆：，圆：，已知动圆与其中一个圆内切，与另一个圆外切．
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)若，是上的两点且线段的中点为，求所在直线的方程．
18．已知抛物线：的焦点到直线：的距离为．
(1)求的值；
(2)倾斜角为的直线过，与交于，两点，求；
(3)是直线上一动点，过点作的两条切线，切点分别为，，证明：直线过定点．
19．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．古希腊数学家帕普斯完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数（离心率）的点的轨迹叫作圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为双曲线．已知曲线：．
(1)分别求出曲线表示椭圆、双曲线时的取值范围．
(2)已知曲线的离心率为，曲线向右平移.个单位长度得到曲线．
（i）求曲线的方程；
（ii）已知为坐标原点，，，是曲线上3个不同的点，，求的面积．
1．B
求出直线的斜率，进而求出其倾斜角.
【详解】直线的斜率为，所以该直线的倾斜角为.
故选：B
2．A
根据点与圆的位置关系，代入求解，即可得答案.
【详解】由在圆内，得，解得．
故选：A
3．B
根据椭圆方程求得长轴长和短轴长，由题意列方程求解即可.
【详解】椭圆：的长轴长为，短轴长为，
由题意，平方化简得，又，解得．
故选：B
4．D
先求得双曲线的渐近线方程，再根据点到直线距离公式计算，即可求解.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为，即，
因为点在轴上，结合对称性，点到双曲线的两条渐近线距离相等，
取其中一条渐近线，
则点到直线的距离．
故选：D
5．B
根据两圆圆心距离与半径的关系可判断两圆位置关系，进而可得公切线条数.
【详解】圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
所以两圆的圆心距为，所以，
因此两圆的位置关系为内切，所以公切线的条数为，
故选：B.
6．A
根据双曲线的焦点三角形的面积公式列式求解即可.
【详解】下面证明双曲线的焦点三角形的面积公式，.
由题意，，，
则中，
由余弦定理可得:
，
则，
所以
.
由双曲线的焦点三角形的面积公式可知，解得，
即．
故选：A.
7．A
根据两圆对称可知，两圆圆心关于直线对称，则直线与直线垂直，且的中点在直线上，列方程可得与，再由两圆半径相等可得.
【详解】圆，圆心为，半径，
圆的标准方程为，
圆心为，半径，
由题可知与关于直线对称，
所以解得，
又，所以，故，
故选：A.
8．B
设，表达出其他各边长，并得到，由勾股定理得到方程，求出，进而得到，求出答案.
【详解】由题可知，．由，得，
由椭圆的定义可得，，
设，则，，
所以，．
因为，所以，又，所以，
又，故，
即为直角三角形，，
在Rt中，由勾股定理得，
，解得或（舍去），
在Rt中，由勾股定理得，
又，代入，整理得，所以离心率．
故选：B
9．ACD
根据题意得出，，则，然后求出到直线AB距离的最值即可判断选项AB；结合图像判断出最小和最大时的状态，即可得出答案.
【详解】对于AB：因为直线分别与轴、轴交于，两点，
所以，，则．
因为点在圆：上，圆心为，半径为1，
所以圆心到直线的距离，
则点到直线的距离的范围为，
则，所以面积的最大值是，
最小值为，A正确，B错误．
当最大或最小时，与圆相切，连接，
可知，，，
由勾股定理可得，CD均正确．
故选：ACD.
10．BD
选项A：分离参数求定点，得.选项B：用一般式垂直的条件算得.选项C：用一般式平行条件，并且检验直线重合的情况.选项 D：分截距为0和不为0两种情况推导.
【详解】对于A，可化为，
令 ，解得定点为，
直线恒过定点，所以A错误．
对于B，若，则，解得，所以B正确．
对于C，若，则，解得或，
当时，：，：，所以符合题意，
当时，：，：，所以符合题意，所以C错误．
对于D，当直线过原点时，方程为，即；
当直线不过原点时，设直线方程为，
又因为过点，所以，解得，
所以直线方程为，故D正确．
故选：BD
11．BCD
对于A，由题设易得，进而得到抛物线：，，进而求解判断即可；对于B，设，，：，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及向量运算可得为钝角，进而判断即可；对于C，表示出直线的斜率为，进而分析判断即可；对于D，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，，结合抛物线的定义可得为的中点，可得平行于轴，进而求解判断即可.
【详解】对于A，由题可知，则，则抛物线：，，
故，故A错误；
对于B，显然直线的斜率不为0，设，，：，
联立，得，
则，
且，，则，
所以，
所以，因为，
所以一定为钝角，故为钝角三角形，故B正确；
对于C，由B知，的中点的纵坐标为，
横坐标为，
所以直线的斜率为，
当时，，
当时，，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以直线的斜率的最大值为，故C正确；
对于D，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，，
因为，所以，
因为为的中点，所以平行于轴，
因为，所以，则，即，
故直线的斜率为2，故D正确．
故选：BCD
12．
将两圆方程作差，可得其公共弦所在直线的方程，根据点到直线距离公式，可得圆心到公共弦所在直线的距离d，根据圆的半径为，代入弦长公式，即可求得答案.
【详解】已知圆，圆，
圆的圆心的坐标为，半径，
圆的圆心的坐标为，半径，
因为，所以，所以两圆相交，
两圆方程作差，得到其公共弦所在直线的方程为，
而圆心到公共弦所在直线的距离，
又圆的半径为，
所以公共弦长为．
故答案为：
13．1
利用抛物线的定义，得，即可求解.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
由抛物线的定义，可知点到焦点的距离等于点到准线的距离，即，
所以，当且仅当，，三点共线时，取等号，
所以，
则的最小值是．
故答案为：.
14．
按绝对值内表达式的符号分类，拆分原方程为椭圆和圆的方程；分析曲线所围成的封闭图形；分别计算圆的部分面积、椭圆的部分面积、三角形面积，求和得到总面积即可．
【详解】当时，，则曲线的方程为，
当时，，则曲线的方程为，即．
如图所示，为圆心角且，
故曲线所围成的封闭图形可分为三部分，
其面积为．
故答案为：．
15．(1)；
(2)或．
（1）线段的中点为，，可得线段的垂直平分线方程，与圆心所在直线联立，即可求得圆心，再结合两点间距离可求得半径，即可得到圆的方程；
（2）根据直线与圆相交的弦长公式，先求得圆心到直线的距离，再分直线斜率存在和不存在两种情况，结合点到直线距离公式，即可求解.
【详解】（1）由题可知，的中点坐标为，
所以线段的中垂线方程为，即，
所以圆心在直线上，
又圆心在直线上，所以由，解得，即．
又点在圆上，所以，
所以圆的方程为．
（2）由，得圆心到直线的距离．
当的斜率不存在时，点到直线的距离为1，此时的方程为；
当的斜率存在时，设的方程为，即，
则，解得，所以的方程为．
故直线的一般式方程为或．
16．(1)
(2)
（1）根据条件，直接求出，即可求解；
（2）设在轴上的截距为，的方程为，结合条件，利用直线与椭圆位置关系，联立方程即可求解.
【详解】（1）由题意知，解得，，
所以的标准方程为．
（2）设在轴上的截距为，则的方程为，
由，消去得
因为直线与椭圆有交点，所以，解得，
所以的取值范围为．
17．(1)
(2)．
（1）求出圆的圆心和半径，然后分两圆外切和内切两种情况得，然后利用双曲线的定义求解轨迹方程即可．
（2）利用点差法求得直线的斜率，进而求解直线的方程.
【详解】（1）可化为，圆的圆心为，半径；
可化为，圆的圆心为，半径．
设动圆的半径为．若动圆与圆内切，与圆外切，则，，
可得；
若动圆与圆内切，与圆外切，则，，可得．
故．可知点的轨迹是以，为焦点的双曲线，且，，
则，故动圆圆心的轨迹的方程为．
（2）设，，易得，则 ，
两式作差得，整理得到，
因为线段的中点为，且在双曲线内部，所以，
则直线的斜率，
故所求直线方程为，即．
18．(1)2
(2)16
(3)证明见解析
（1）根据抛物线方程求出焦点坐标，利用点到直线的距离公式列出关于的方程，求解即可．
（2）求出直线的方程，联立抛物线方程，利用韦达定理，代入弦长公式求解即可．
（3）设出点、、的坐标及直线及切线，的方程，联立抛物线方程，根据得到切线方程，从而得到切点弦所在直线方程，即可得到所过定点．
【详解】（1）解：抛物线的焦点，
由题意可得：，即，，
解得或，又因为，所以．
（2）解：由（1）可得抛物线方程为，，
所以直线的方程为，设，，
联立，得，
，
所以，，
（3）证明：设，，的方程为．
由，得，
所以，，．
易知直线，的斜率存在，
设直线的方程为，
由，得．
由，解得，
所以直线的方程为，即．
同理可得，直线的方程为．
设，代入直线、中，，，
即，，
所以，可看作方程的两根，
所以，又，所以．
所以直线的方程为，故直线过定点．
19．(1)；
(2)（i）；（ii）
（1）把已知等式进行变形，根据题中定义分类讨论进行求解即可；
（2）（i）根据题中定义，结合平移的性质进行求解即可；
（ii）根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数的关系、三角形面积公式、点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
表示点到原点的距离，表示点到直线的距离．
若曲线表示椭圆，则，解得，即的取值范围为；
若曲线表示双曲线，则，解得，即的取值范围为．
（2）（i）因为曲线的离心率为，所以，即，
即曲线的方程为，
曲线向右平移个单位长度得到曲线，
故曲线的方程为，化简可得．
（ii）设，，．
因为，所以，
解得，，则，
若直线的斜率为0，则由双曲线的对称性可知，此时在轴上，
所以不可能在双曲线上，舍去．
设直线的方程为，由得，
则且，即，
又，，
所以，故，
代入双曲线的方程得，
化简得，又，所以，
点到直线的距离，
．
故的面积．