湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高一上学期12月质量检测四数学试题（含答案）

这是一份湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高一上学期12月质量检测四数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知函数则（ ）
A. B. eC. D. 2
2. 已知命题：，，则为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 已知幂函数在上单调递减，设，则大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列结论正确的是（ ）
A. 若角，则角是第一象限角
B. 若角，则角与角的终边相同
C. 若角为锐角，则角为钝角
D. 若角的终边上有一点，则
5. 已知函数（）的图象过函数图象的定点，则的最小值为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 9
6. 已知函数，曲线和恰有一个交点，则（ ）
A. 1B. -1C. D. 0
7. 已知函数，若仅存在一个整数，使得方程有4个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知实数是函数的两个零点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 若是第二象限角，则在第二象限
C. 已知扇形的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为
D. 若角的终边过点，则
10. 设函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A. B. 在上单调递减
C. 为奇函数D. 方程仅有10个不同实数解
11. 已知，下列说法正确的是（ ）
A. 的解集为
B. 存在实数，使函数有三个零点
C. 对任意，存在实数，使方程恒有两解且为定值
D. 若，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 计算：_____．
13. 设方程的根为，方程的根为，则的值为_________．
14. 已知函数，若关于x的方程有2个不同的实根，则实数a的取值范围为________；若关于x的方程有4个不同的实根，则实数a的取值范围为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）求值：；
（2）已知角 终边上的一点，求的值.
16. 已知函数
（1）求函数在区间上的最大值；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
17. 为积极响应上级号召，坚定“四个自信”中的文化自信，某市电视台于2021年年初开通了“优秀传统文化”视频号，并组织专业团队运营，由于内容丰富多彩，该视频号受到广大群众的喜爱，关注度也逐年增加，以2021年作为第1年，运营团队在每年年底利用数据监测系统对该视频号本年度的观看人次统计如下表：
为了描述年数与第年该视频号观看人次（单位：十万）的关系，现有以下三种模型供选择：①；②；③.
（1）由于视频号初创，监测系统对2021年的数据统计不准确，导致该组数据不宜使用，请从①②③中选出一个合适的模型，并求相应的函数解析式，并根据这个模型预测2028年的观看人次能否超过80（单位：十万）；
（2）为更好的运营视频号，吸引更多的观看者，2025年年初，运营团队加大投入，引进了最新数据监测系统，经该系统分析，2021年的观看人次修正为28（单位：十万），2024年的观看人次修正为85（单位：十万）
（i）根据修正后的数据，请从①②③中选择合适的模型，并求相应的函数解析式；
（ii）按上级规定，“优秀传统文化”类视频号当年观看人次超过200（单位：十万），其运营团队可被评为“优秀文化传播集体”荣誉称号，根据（i）中所求函数模型，试估计该视频号运营团队最快到哪一年就能被评为“优秀文化传播集体”？（参考数据：，，.）
18. 已知.
（1）证明：；
（2）若函数，当定义域为时，值域为，求实数的取值范围.
19. 对于定义域为的函数，如果同时满足以下三个条件：①任意的，总有；②；③若，，，总有成立,则称函数为理想函数.
（1）证明：若函数为理想函数，则；
（2）证明：函数，是理想函数；
（3）证明：若函数为理想函数，假定存在，使得且，则.
数学参考答案
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. D. 2. A． 3. C. 4. B 5. D. 6. C. 7. A 8. B.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. AC 10. ACD. 11. ACD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 3．
13. 7
14. ，.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）原式；
（2）因为点在角终边上，所以，
化简：.
16. （1）函数，令，则，
当时，则，函数在上单调递减，在上单调递增，
而，所以函数在上的最大值为33.
（2）由（1）知，函数，函数在上单调递增，
函数在上单调递增，因此函数在上单调递增，
由，得，则由，得，
依题意，对恒成立，则在上恒成立，
，
当时，，则当，即时，取得最大值1，
因此，解得，所以实数的取值范围为.
17. （1）由题意，选择模型①，
将，分别代入①式可得：
，解得，，
所以，也满足该式.
当时，，
即按该模型预测，该视频号2028年的观看人次达到80.5（单位：十万人），
所以2028年该视频号观看人次能超过80（单位：十万人）.
（2）（i）由题意，选择模型②，
将，分别代入②式可得：，解得，，
所以，，均满足该式.
（ii）该视频号观看人次超过200（单位：十万人），
即不等式，所以，
不等式两边同时取常用对数得，，
所以，
即按（i）中求得的函数模型变化，估计最快到2027年，
该视频号运营团队能被评为“优秀文化传播集体”.
18. （1）
设，设，
易得在上为增函数，
则为增函数，
而，即.
（2）由题意知：,
，，解得或
设，，
因为反比例函数在和上单调递增，
通过向左平移4个单位，再向上平移1个单位即可得到，
则函数在和上单调递增，
根据复合函数单调性知在和的范围内各自单调递减，
而，且，故，
因为定义域为，故，
根据在上单调递减，
，
是方程上两个大于4的根，
上有两个大于4的根，
则有，
.
19. (1)令,代入可得：即：,
又由条件①得：,故：；
(2)对于函数,易得其值域,满足①要求；其中.满足②要求,若,,,
故满足③,综上所述：函数是理想函数；
(3)取,则：,因此：假设：,若,则；若,则,都与题设矛盾,所以假设不成立,则.
第年
1
2
3
4
观看人次（十万）
35
40
58
67