电磁感应中“电感+导体棒”典型问题分析练习含答案--2026届高考物理一轮专题

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关键词：电磁感应；电感线圈；简谐运动；模型建构
电磁感应与动力学相结合的综合问题因涉及物理模型多、涵盖高中物理知识面广，对学生模型建构、理解物理过程、综合分析、科学推理能力要求高而备受高考青睐，其中电磁感应中“电阻+导体棒”、“电源+导体棒”和“电容+导体棒”模型都考查过，[1-4]但“电感+导体棒”模型却还未被考查过，[5-7]当然切割磁感线的导体棒所受的安培力仍是两部分知识之间的“桥梁”和纽带，因电感线圈要阻碍导体棒上感应电流的变化，而感应电流又直接影响着导体棒在磁场中所受的安培力，安培力和外力的合力决定了加速度，加速度决定了速度的变化，速度决定着感应电流，这种双制约在“电感+导体棒”模型依然存在．
模型建构
2 模型应用
2.1无外力作用的“电感+导体棒”
例1 如图1所示，间距为d，相互平行的金属导轨EG、FH与PG、OH，在GH处用一小段绝缘圆弧相连，其中PG、OH水平，EG、FH是倾角为的斜轨．EF之间接一个阻值为R的电阻，PO之间接有阻值不计，自感系数为L的自感线圈．MNGH和CDPO区域存在大小为B，方向如图1所示垂直于轨道平面的匀强磁场． 质量为m，电阻r的导体棒a从AB处由静止开始沿导轨下滑，其在斜轨上运动过程中的图象如图2所示，导体棒a滑过GH后与另一根放在CD右侧位置相同质量，电阻不计的导体棒b相碰，碰后两棒粘在一起运动．不计导轨的电阻及GH处的机械能损失，导体棒运动过程中与导轨保持垂直且接触良好，轨道足够长．已知，，，，，．取，，．
（1）求导体棒a刚进磁场时A、B两点间的电势差；
（2）求导体棒a与导轨间的动摩擦因数以及导体棒在磁场中能够达到的最大速率；
（3）已知导体棒a从进入磁场到速度达到4m/s时所用时间为2.1s，求此过程中电阻R产生的焦耳热；
（4）求a、b棒碰撞后，向左运动的最大距离（提示：自感电动势的大小为）．
图1 示意图
图2 v-t图
解析：（1）导体棒a刚进磁场时产生的感应电动势为，导体棒a刚进磁场时A、B两点间的电势差为；
（2）导体棒a在磁场区域外的加速度为，根据牛顿第二定律有，导体棒a与导轨间的动摩擦因数，导体棒a在磁场区域中速度最大时有，导体棒a中的电流为，解得导体棒在磁场中能够达到的最大速率；
（3）导体棒a从进入磁场到速度达到4m/s时，根据动量定理有，电量为，解得，根据动能定理有，解得产生的总热量为，此过程中电阻R产生的焦耳热为；
（4）a、b棒碰撞后两棒粘在一起运动，根据动量守恒有，产生的电动势为，整理得，则，导体棒中的电流为，即 与成正比关系，图象为坐标原点的一条直线，结合图象以及动能定理有，则向左运动的最大距离．
点评：（4）考查无外力做用的“电感+导体棒”模型，此模型与水平弹簧振子的运动规律类似，将粘在一起的两棒等效为单棒，其动能全部用来克服安培力做功，但写出功的表达式成了难点，因为克服安培力做功属变力作用，好在导体棒上的电流与位移是一次线性关系，安培力与位移也成一次线性关系，直接转化为平均力做功，使问题简化．
2.2有外力作用的“电感+导体棒”
图3 示意图
例2 如图3所示，两平行轨道MN和PQ倾斜放置，倾角，间距为，其中EG和FH为两段绝缘轨道，其余均为金属轨道，轨道末端NQ间连接一个自感系数为L=0.5H的线圈，其直流电阻可以忽略．在ABCD、CDEF、GHIJ区域内分别存在垂直轨道平面向里、向外、向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B=1T，磁场区域的宽度相同，均为d=0.5m．两导体棒a、b通过绝缘轻质杆连接，间距也为d=0.5m，a、b的质量之和为m=0.1kg，b棒电阻R=10Ω，a电阻不计，a、b棒与金属轨道、绝缘轨道间的动摩擦因数均为．现将a棒从距离AB边（未知）处由静止释放，a棒刚好匀速穿过ABCD区域，并且a棒从CD边运动到EF边的过程中回路产生的总焦耳热为0.268J．导体棒与金属轨道接触良好，已知线圈上的自感电动势为．
（1）求；
（2）求a棒从进入AB边到穿出EF边的总时间t；
图4 运动状态图
（3）已知a棒到达GH瞬间的速度为，之后进入GHIJ区域运动． 试求在GHIJ区域内运动时a棒的最大加速度，以及当加速度变为时，a棒到GH边的距离x．（提示：图象下的“面积”代表力F所做的功．）
解析：（1）方法一：如图4所示，a、b棒从 = 1 \* GB3 ①到 = 2 \* GB3 ②位置，到达 = 2 \* GB3 ②位置时速度为，由得a棒受的安培力为，能匀速运动穿过ABCD区域，即a、b棒沿导轨方向受力平衡，即，解得，再根据牛顿第二定律有，解得，又，所以；
方法二：a、b棒从 = 1 \* GB3 ①到 = 2 \* GB3 ②位置根据动能定理可得（1），从 = 2 \* GB3 ②到 = 3 \* GB3 ③位置，，而，得，代入（1）可得；
（2）从 = 2 \* GB3 ②到 = 3 \* GB3 ③位置a棒做匀速直线运动，时间，从 = 3 \* GB3 ③到 = 4 \* GB3 ④位置，a、b棒都在做切割磁感线运动且磁场方向相反，故受到安培力方向都沿导轨向上．首先由动能定理可得（此过程安培力做的功等于b棒产生的焦耳热），解得，在由动量定理得（2），而电荷量（3），规定垂直导轨平面向上的磁场方向为正方向，则，将值代入 = 3 \* GB2 ⑶得，将其代入（2）可得，所以总时间；
图6 斜面弹簧振子
图5 F安-x图
（3）a棒从 = 5 \* GB3 ⑤位置进入GHIJ区域后，a与b断路，a棒切割磁感线产生的动生电动势等于电感产生的自感电动势，即，则，对求积分得，安培力，图像如图5所示，图形与轴围成三角形的面积表示安培力做的功，即，从安培力的表达式可看出随着a、b棒下滑位移的增大，两棒做加速度增大的减速运动，当速度减为0时位移有最大值，加速度有最大值，由牛顿第二定律可得（4），当两棒的加速度为时由牛顿第二定律可得（5），a棒以速度进入GHIJ区域后到速度减为0，根据动能定理可得，解得或（舍），将代入 = 4 \* GB2 ⑷可得，将其代入（5）可得．
点评：（2）分两个阶段，尤其是第二阶段a棒进入CD边到穿出EF边过程，两棒都要受到安培力，所以将两棒看作一个整体根据动能定理和动量定理列等式时容易出错，这就要求对题设复杂物理过程要分段处理．（3）从题设情景看似“电感+双导体棒”，实为有外力作用的“电感+导体棒”模型，若能将此模型与如图6所示模型结合起来，对求解过程大有裨益．
3 教学建议
通过构建无外力作用和恒力作用两种“电感+导体棒”模型，发现在“含感不含阻”的条件下，即导体棒、电感和导轨构成的回路没有电阻，因导体棒切割磁感线产生的动生电动势等于电感产生的自感电动势，导体棒都“巧合”地沿导轨做简谐运动．举例对两种模型的详细解析，得出其运动规律类似于弹簧振子的简谐运动，可利用牛顿第二定律、动能定理和动量定理求解．
模型
无外力作用的“电感+导体棒”
有外力作用的“电感+导体棒”
模型
描述
质量为m、电阻不计的导体棒静止在光滑水平、间距为d、电阻不计的轨道上，导体棒与导轨接触良好，左端连一个电感为L的线圈，以水平向右为正方向
条件
给导体棒一个平行于导轨向右的初速度
给导体棒施加一个平行于导轨向右的恒力
示意图
动力学方程
任意内，因回路电阻为0，动生电动势和自感电动势大小相等，，，积分得，由，得，变形得（满足简谐运动条件），其中，
任意内，因回路电阻为0，动生电动势和自感电动势大小相等，，
，积分得，
由，得，
当时，于是，变形可得
（满足简谐运动条件），其中，平衡位置为
动态
分析
导体棒以突然运动做切割磁感线运动，产生了很大的动生电动势，但是电感线圈也会产生一个等大的感生电动势来阻碍电流的增大，故刚开始的，，之后导体棒以初始位置为平衡位置做简谐运动，根据简谐运动的规律可知随按正弦函数规律变化． 当时，变化最快，速度最大为，自感电动势最大；当增大到最大值时，变化最慢，自感电动势为，导体棒的速度为，即导体棒的速度与随变化规律之间存在的相位差
导体棒所受外力的作用，由静止开始运动，当时，最大，，在作用下其速度逐渐增大，感应电动势逐渐增大，也逐渐增大，安培力增大，当 时，，最大，；振幅，之后，导体棒做减速运动减到，和又达到最大，之后从最远点折返回来经过平衡位置回到出发点
状态分析
运动形式
导体棒做简谐运动，周期，则角速度，所以导体棒的速度，
位移
导体棒做简谐运动，周期，角速度，导体棒的位移为
速度
力学特征
导体棒的回复力为
导体棒的回复力为
电学特征
按正弦函数规律周期性变化
按余弦规律周期性变化
能量
观点
此模型和水平弹簧振子模型相类似，[8]安培力相当于弹簧弹力．导体棒做切割磁感线运动，通过所受的安培力做功实现其动能与电感储存的磁场能的相互转化，，即 （为电感储存能量）
此模型和竖直弹簧振子模型相类似，恒力和安培力分别相当于重力和弹簧弹力，通过和做的总功（做正（负）功，对应做负（正）功）转化为电感线圈储存的磁场能和自身的动能， ，即
动量
观点
对导体棒受力分析由动量定理得，又因，，联立可得
对导体棒受力分析由动量定理得，其中，即，化简得