重难点培优11 圆锥曲线中的定值问题全归纳（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测（原卷版）-A4

这是一份重难点培优11 圆锥曲线中的定值问题全归纳（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测（原卷版）-A4，共13页。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc26889" 01 知识重构・重难梳理固根基 PAGEREF _Tc26889 \h 1
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 2
\l "_Tc16555" 题型一 面积定值（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 2
\l "_Tc7141" 题型二 斜率和差定值（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 3
\l "_Tc26803" 题型三 斜率积商定值（★★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 4
\l "_Tc13512" 题型四 向量的数量积定值（★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 5
\l "_Tc3897" 题型五 线段定值（★★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 5
\l "_Tc326" 题型六 角度定值（★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 7
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 8
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 8
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 12
1、定值问题
解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：
（1）变量----选择适当的量为变量．
（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数．
（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．
2、求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．
常用消参方法：
①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数．
②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．
③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．
④参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如：
，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用．


题型一 面积定值
1．（2025·湖南长沙·三模）已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，
(1)求动点的轨迹；
(2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于、两点，证明：三角形的面积是定值．
2．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 为垂足．
(1)当点 在圆上运动时，求线段 的中点 的轨迹方程． (当点 经过圆与 轴的交点时，规定点 与点 重合)
(2)根据（1）中所得的点 的轨迹方程，若直线 与点 的轨迹相交于 ， 两点，且 ，试判断的面积是否为定值． 若是，求出该定值；若不是， 请说明理由．
3．已知椭圆的图像经过点

(1)若椭圆的焦距为，求椭圆的方程；
(2)为椭圆的右焦点，过点作轴的垂线与椭圆在第一象限交于点，点与点关于原点对称，连接，当取得最大值时，求椭圆的离心率；
(3)若椭圆经过点，点是椭圆上的动点，直线与椭圆交于两点，为的中点，且满足，则的面积是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由.
4．（2025·陕西·三模）已知双曲线的离心率为，直线与双曲线相交于，两点．
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若以为直径的圆过双曲线的左顶点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由；
(3)设点是满足（2）的双曲线上的一个动点，过分别作的渐近线的两条垂线，垂足分别为，，判断的面积是否为定值；若是，求出该定值并证明；若不是，请说明理由．

题型二 斜率和差定值
1．已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，过点F的动直线m与C交于M，N两点．
(1)若准线l的方程为，求C的方程；
(2)设直线AM，AN的斜率分别为，，证明：．
2．（25-26高三上·四川南充·月考）已知椭圆：的两个焦点与短轴的一个端点是等腰直角三角形的三个顶点，且椭圆过，直线：与椭圆交于、.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线、的斜率分别为、，求两直线斜率的值.
3．设，过点的直线与椭圆交于两点（点在点左侧），直线与直线交于点，设直线的斜率分别为，求．

题型三 斜率积商定值
1．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，其中一条渐近线方程为，焦距为．
(1)求双曲线E的方程；
(2)设过的直线与双曲线交于C，D两点（C、D与A、B不重合），记直线AC，BD的斜率为，，证明：为定值．
2．已知，，为坐标原点，动点满足.
(1)求点的轨迹方程；
(2)，是点轨迹上的点，且.记直线，的斜率分别为，，证明：为定值，并求出该定值.
3．（2025·陕西安康·三模）给定椭圆，将圆心为坐标原点，为半径的圆称为椭圆的“内切圆”．已知椭圆的两个顶点为，离心率为．
(1)求椭圆的方程．
(2)直线过椭圆的右焦点，并与椭圆相交于两点，且，求直线的方程．
(3)是椭圆的“内切圆”上一点（与不重合），直线与椭圆的另一个交点为．记直线的斜率分别为，证明：为定值．
4．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知双曲线的虚轴长为2，一条渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知是上的三个不同点.
①若，点在双曲线的同一支上，且是等边三角形，求；
②若（异于原点）是外接圆的圆心，直线的斜率均存在，并分别记为，求的值.

题型四 向量的数量积定值
1．已知椭圆，直线过点交椭圆于两点，是否存在一定点，使得为定值？
2．已知为双曲线的右焦点，其渐近线被抛物线截得的弦长为2，且点在上．
(1)求的方程；
(2)若过点的直线与交于两点，则轴上是否存在一点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2025·天津宁河·模拟预测）已知椭圆过点，长轴长为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点、．
(1)求椭圆的方程；
(2)若线段中点的横坐标是，求直线的斜率；
(3)在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2．
(1)求双曲线C的方程；
(2)O为坐标原点，过点且斜率不为0的直线l交双曲线C于P，Q两点（点P在第一象限，点Q在第二象限），直线OQ交双曲线C于点，求．

题型五 线段定值
1．（2025·重庆·一模）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于、两点，在轴上方，，均垂直于的准线，垂足分别为，．
(1)当时，求直线的方程；
(2)已知为坐标原点，证明：．
2．如图，已知过椭圆的右焦点的弦为，点关于轴的对称点为，直线交轴于点．
(1)求的值；
(2)若是对称轴上任一定点，动弦所在直线过点，端点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定值，其定值与椭圆的几何量有什么关系？
3．（2025·湖南湘潭·一模）已知椭圆（）的离心率为 且经过点，．过点，斜率为（）的直线与椭圆交于， 两点，直线， 分别与直线交于点，．
(1)求椭圆的方程；
(2)求的值．
4．已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，为的右支上一点，且．
(1)求双曲线的方程；
(2)若双曲线上任意一点关于直线的对称点为，过分别作双曲线的两条渐近线的平行线，与双曲线分别交于点，求证：为定值．
5．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知椭圆过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率为1的直线与椭圆交于两点，点P坐标为，直线与椭圆的另一个交点为点M，直线PD与椭圆的另一个交点为点N.
①已知点M坐标为，求点横坐标（用表示）；
②过点作于点G，是否存在定点Q，使得为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

题型六 角度定值
1．（2025·四川南充·模拟预测）已知，分别是椭圆：的左右焦点，点在椭圆上，且的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与线段相交与，与椭圆交于两点，证明：.
2．（2025·陕西西安·二模）已知平面上动点到的距离比到直线的距离小1，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设点的坐标为，过点作曲线的切线，切点为（在第一象限），若过点的直线与曲线交于M，N两点，证明：．
3．已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点.

(1)求双曲线的标准方程；
(2)若双曲线上的点到其两条渐近线的距离分别为，求的值；
(3)已知点，求证：.
4．（24-25高三下·湖南·开学考试）已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，是上异于的一点.
(1)已知点到的距离比到轴的距离大1.
（i）求抛物线的方程；
（ii）经过点的直线与抛物线相交于，两点，若，求的方程.
(2)过点作抛物线的切线，与轴交于点，证明：平分.
5．（2025·山东烟台·三模）定义：矩阵乘法运算的几何意义为平面上的点在二阶矩阵作用下变换成点．
(1)若平面上的点A在二阶矩阵作用下变换成点，求点A的坐标；
(2)在平面直角坐标系中，求双曲线在二阶矩阵作用下变换后得到的双曲线的方程；
(3)设（2）中双曲线的右顶点为P，过的直线与的左上半支和右上半支（不含顶点）分别交于点M，N，若，的倾斜角分别为，，求证：为定值．

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，在椭圆上，且面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆相交于P，Q两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值.
2．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是的上顶点，，的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知，若直线与椭圆相交于两点（异于点），求证：直线的斜率之和为0．
3．已知点，动点到直线的距离等于，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
4．（24-25高三下·甘肃白银·月考）在平面直角坐标系中，已知是曲线上的一个动点，且.
(1)求的轨迹的方程；
(2)已知，经过的直线与交于点，，求证：.
5．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知椭圆：的左焦点为，离心率为．
(1)求椭圆的方程．
(2)如图，已知点，（其中，），满足以线段为直径的圆过点，且交椭圆的第一象限于点．
①若，求点的纵坐标；
②若线段交轴于点，求的值．
6．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）已知双曲线C：（，）的一个焦点为，点在C上.
(1)求C的方程；
(2)已知点，，B为线段PQ上一点，且直线AB交C于D，E两点，证明：.
7．（2025·福建三明·模拟预测）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率为，的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线（存在且不等于0）与椭圆交于，两点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断是否为定值并证明．
8．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知直线与双曲线及其渐近线分别交于点，和点，.
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：；
(3)若，过双曲线上一点向双曲线作切线，，其斜率分别为，，问是否存在这样的，使得为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，请说明理由.
9．（2025·江西新余·模拟预测）已知等轴双曲线的焦点分别在轴上，经过，的焦距为．
(1)求的方程；
(2)为直线上一点，相互垂直且斜率均存在的直线交于点，与交于两点，与交于两点．设直线与关于直线对称，证明：
①直线与关于直线对称；
②．
10．已知椭圆的离心率为分别为椭圆C的左，右顶点和坐标原点，点P为椭圆C上异于A，B的一动点，面积的最大值为．
(1)求C的方程；
(2)过椭圆C的右焦点F的直线l与C交于D，E两点，记的面积为S，过线段的中点G作直线的垂线，垂足为N，设直线的斜率分别为．
①求S的取值范围；
②求证：为定值
11．在平面直角坐标系 中，对于任意一点 ，总存在一个点， 满足关系式 ，则称为平面直角坐标系中的伸缩变换.
(1)在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换，使得圆 变换为椭圆；
(2)已知曲线经过平面直角坐标系中的伸缩变换 得到的曲线是 ，且与轴有两个交点 (在的左侧)，过点且斜率为 的直线与在轴右侧有两个交点.
（i）求的取值范围；
（ii） 若直线的斜率分别为，证明：为定值.
12．（2025·四川绵阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，，抛物线的焦点为，，的面积为1.
(1)求椭圆、抛物线的标准方程；
(2)过点的直线分别与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点，设直线的斜率分别是，，，.证明：为定值.
13．（24-25高三上·河南·期末）已知双曲线的渐近线与圆相切，圆心是的一个焦点.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与的右支交于两点，分别为的左，右顶点，直线与交于点.
（i）证明：在定直线上；
（ii）若直线与交于点，求的值.
14．（2025·山西·二模）在坐标平面xOy中，，分别是椭圆的左右顶点，且C的短轴长为2，离心率为.过的中点B的直线l（不与x轴重合）与C交于D，E两点.
(1)求C的方程；
(2)证明：；
(3)直线和的斜率比值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，且．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)点P、Q在椭圆上，O为坐标原点，且直线OP、OQ的斜率之积为，求证：为定值；
(3)直线l过点且与椭圆交于A、B两点，问在x轴上是否存在定点M，使得为常数？若存在，求出点M坐标以及此常数的值；若不存在，请说明理由．
2．（2025·陕西安康·模拟预测）“如果两个椭圆的离心率相同，我们称这两个椭圆相似”.已知椭圆与椭圆相似，的短轴长为2，离心率为.
(1)求的标准方程.
(2)设为坐标原点，为上的动点，过点且斜率为的直线与相切，与交于，两点，射线交于点，试问：的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，请说明理由.
3．已知椭圆的左顶点为，左焦点为，离心率为，过点的直线交于两点，当的斜率为1时，点到的距离为.
(1)求的方程；
(2)若直线分别交直线于点，证明：.
4．（24-25高三下·湖南·月考）已知抛物线的焦点为，过点作直线与交于两点．
(1)若经过点，且，求的值；
(2)若，过点分别作直线与相切于两点，求直线的斜率；
(3)若不经过点，证明：直线是的外角平分线．
5．（25-26高三上·天津南开·自主招生）已知椭圆，是椭圆的左右焦点，为椭圆上的一点.以为圆心，半径为2的圆与轴相切于，并与轴交于两点，为等边三角形．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知圆，为圆上的一点，过点的切线交椭圆于两点，请问是否为定值，并给出理由.
6．已知点，的坐标分别为，，将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线.
(1)求曲线方程；
(2)上关于原点对称的两点，，射线，分别与圆交于，两点，记直线和直线的斜率分别为，.
①求与的斜率的乘积；
②问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.
7．（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知双曲线C：．的离心率为，点在双曲线C上，过C的左焦点F的直线l与C的左支相交于A，B两点，且l分别交C的两条渐近线于M，N两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若O是坐标原点，，求的面积；
(3)已知点，直线AP交直线于点Q，设直线QA，QB的斜率分别，，求证：为定值．
8．（2025·山东聊城·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线与抛物线对称轴的交点为为抛物线上的动点，当的纵坐标为时，取得最小值.
(1)求抛物线的方程；
(2)设点为坐标原点，过点作直线与曲线交于两点，作直线与曲线交于两点，分别为的中点，直线与的斜率满足.试判断与的面积之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.
9．（2025·浙江·三模）已知双曲线（，）的焦距为，右顶点为A，直线l与双曲线E相交于P，Q两点，且与E的一条渐近线相交于点．
(1)求双曲线E的方程；
(2)是否存在直线l，使得与的面积相等？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由；
(3)若直线AP，AQ分别与y轴相交于M，N两点，证明：为定值．
10．（25-26高三上·辽宁·月考）已知双曲线的焦距为4，左右焦点分别为，若点P为双曲线C上一点，过点P分别作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于点，四边形的面积为．设点分别为双曲线的左右顶点，过点的直线与双曲线交于点（不同于点．设直线与交于点G，直线与交于点H，双曲线在点处的切线交于点R．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)试探究是否是定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由．