安徽省合肥市庐江县2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷

这是一份安徽省合肥市庐江县2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
数学试卷满分150分，考试时间为120分钟。
本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页。请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效。
考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1. 剪纸是我国优秀的民间传统文化艺术之一，传承了中华民族深邃的传统思想和古老文化，具有独特的美术价值和人文价值.下面的剪纸图案是中心对称图形的是 （ ）
2. 若⊙O的直径为8，OP的长为4，则点P与⊙O的位置关系是 （ ）
A. 在⊙O上B. 在⊙O内C. 在⊙O外D. 无法确定
3. 下列事件是必然事件的是 （ ）
A. 射击运动员射击一次，命中十环
B. 抛掷一枚硬币，正面朝上
C. 向空中抛出的篮球会落地
D. 太阳西升东落
4. 如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是 （ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定
5. 若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为 （ ）
A.4B.−4C.−1D.1
6. 如图1是博物馆屋顶的图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，弧AB是以点O为圆心，15 cm为半径的弧，弦AB的长为15 cm，则弧AB的长是 （ ）
A. 4π cmB. 15π cm
C. 10π cmD. 5π cm
7. 如图，在电路图上有A，B，C 3个开关和L1，L2 2个小灯泡，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是 （ ）
A. 13B. 12
C. 23D.1

8. 如图，将菱形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转得到菱形 AEFG，若 AE 经过点 C，CD 与 EF 相交于点 H，∠B=α，∠CHE=β，则 β= （ ）
A. 45°−12αB. 90°−32α
C. 90°−2αD. 180°−3α
9. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=10，BC=12，E 是矩形内部的一个动点，且 AE⊥BE，则线段 CE 的最小值为 （ ）
A.8B.10C.12D.6
10. 如图所示，二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a≠0）的图象与 x 轴交于点 A(−3,0)，B(1,0). 则以下结论错误的是 （ ）
A. 4a+c>0
B. 5a−b+c=0
C. 若点 (0,y1) 和 (−1.5,y2) 均在抛物线上，则 y10) 个单位长度后，恰好落在该二次函数的图象上，则 m 的值为 ______ ；
（2） 已知该函数图象经过 A(x1,y1)，B(x2,y2) 两个不同的点. 当 x1=2n+3，x2=2n−1，且 y1>y2 时，n 的取值范围是 ______ .
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简，再求值： 4−a2a+1÷a2−4a+4a+1，其中 a 是一元二次方程 a2−2a−3=0 的解.
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知 ∆ABC 的三个顶点都在格点上，坐标分别为 A(2,4)，B(1,2)，C(5,3).
（1） 画出 ∆ABC 关于原点 O 对称的 ∆A1B1C1；
（2） 将 ∆ABC 绕原点 O 顺时针旋转 90°，得到 ∆A2B2C2，画出 ∆A2B2C2，并写出点 B2 的坐标.
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. “圆”是中国文化的重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞. 如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5 m，地面入口宽为1 m，求该门洞的半径.
18. 在一个不透明的口袋里装有 m 个相同的红球，为了估计口袋中红球的数量，九（1）班的学生在数学实验课上分组做摸球试验：将14个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是汇总各小组数据后所制作的班级统计总表：
（1）表中的 a= ______，b= ______；
（2）请估计：当次数 s 很大时，摸到白球的频率将会接近 ______；（精确到0.1）
（3）估计在这个不透明的口袋中，红球数量 m 的值.
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 观察下列一元二次方程，并回答问题：
第1个方程：x2−3x+2=0，方程的两个根分别是 x1=1，x2=2；
第2个方程：x2−5x+6=0，方程的两个根分别是 x1=2，x2=3；
第3个方程：x2−7x+12=0，方程的两个根分别是 x1=3，x2=4；
第4个方程：x2−9x+20=0，方程的两个根分别是 x1=4，x2=5；
…
（1）请按照此规律写出两个根分别是 x1=5，x2=6 的一元二次方程 ______；
（2）如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”。上述各方程都是“邻根方程”。请通过计算，判断方程 x2−5x+1=0 是否是“邻根方程”。
20. 某初中举行硬笔书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如图两幅不完整的统计图。请结合图中相关信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 ______ 名同学；请将条形统计图补全；
（2）扇形统计图中三等奖所在扇形的圆心角的度数是 ______ °；
（3）获得一等奖的同学中有 14 来自七年级，有 12 来自九年级，其他同学来自八年级。现准备从获得一等奖的同学中任选2人参加市级硬笔书法大赛。请通过列表或画树状图的方法求所选出的2人中既有七年级同学又有九年级同学的概率。
六、（本题满分12分）
21.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于点D，延长AB至点F，使得∠BCF=∠BCD.
（1）求证：CF与⊙O相切；
(2)若∠F=30°，AB=4，求阴影部分的周长.(结果保留π)
七、（本题满分12分）
22.如图1，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在AC边上，点E在BC的延长线上，且CD=CE，连接DE，将△DCE绕点C逆时针旋转，连接BD，AE，直线BD与直线AE交于点F.
(1)如图2，求证：AE=BD；
(2)如图2，连接CF，求证：BF−AF=2CF；
(3)当点F与点D重合时，如图3，若AC=32，CD=22，直接写出△ACD的面积.
八、（本题满分14分）
23.如图1，抛物线y=ax²+h(a>；0，h|−1.5−(−1)|，ay2，
∴4n2+16n+15>4n2−1，解得n>−1，∴n的取值范围是n>−1。
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解：原式=4−a2a+1·a+1(a−2)2=(2+a)(2−a)(2−a)2=2+a2−a ………………………………（4分）
解方程a2−2a−3=0，得a1=−1，a2=3， …………………………………………（6分）
当a1=−1时，a+1=0，舍去， ……………………………………………………（7分）
当a2=3时，原式=2+32−3=−5。 ……………………………………………………（8分）
16. 解：（1）如图，∆A1B1C1即为所求。 ……………………………………………………（3分）
（2）如图，∆A2B2C2即为所求。 ……………………………………………………（6分）
B2(2,−1) ………………………………………………………………………………（8分）
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17.解：如图，过点O作EF⊥AB于点F，交⊙O于点E，连接OA，OB.
由题意可知，BF=12AB=0.5 m，EF=2.5 m，OB=OE.
在Rt∆OFB中，OB2=OF2+BF2.
∴OB2=(2.5−OB)2+0.52. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (5分)
解得OB=1.3.
即该门洞的半径是1.3 m. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （8分）
18.解:(1)136 0.71 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (2分)
(2)0.7 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (4分)
（3）∵摸到白球的概率为0.7，∴球的总个数为：14÷0.7=20（个）， ⋯⋯⋯⋯⋯ （6分）
∴红球个数为：20−14=6（个）.
即红球数量m的值为6. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （8分）
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19.解:(1)x2−11x+30=0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (4分)
（2）解x2−5x+1=0，得x1=5+12，x2=5−12. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （6分）
∵x1−x2=5+12−5−12=1， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （8分）
∴方程x2−5x+1=0是“邻根方程”. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （10分）
20.解:(1)40 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (2分)
补全条形统计图如图所示. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （4分）
（2）108 ………………………………………………………………………………………………（6分）
（3）由题意得，获得一等奖的同学中七年级的人数为4×14=1（人），九年级的人数为4×12=2（人），∴获得一等奖的同学中八年级的人数为4−1−2=1（人）.
将七年级的1人记为A，八年级的1人记为B，九年级的2人分别记为C，D，列表如下：
共有12种等可能的结果，其中所选出的2人中既有七年级同学又有九年级同学的结果有：（A，C），（A，D），（C，A），（D，A），共4种.
∴所选出的2人中既有七年级同学又有九年级同学的概率为412=13. …………（10分）
六、（本题满分12分）
21.（1）证明：如图，连接OC.
∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°.
∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∴∠BCD+∠ABC=90°，
∴∠A=∠BCD，∵∠BCD=∠BCF，∴∠ACO=∠BCF.
∵∠ACO+∠OCB=90°，∴∠BCF+∠OCB=∠OCF=90°，∴OC⊥CF.
又∵OC是⊙O的半径，∴CF与⊙O相切.…………………………………………(6分)
(2)解：∵∠F=30°，∠OCF=90°，∴∠COF=90°−30°=60°.
∵OC=OB，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OB=12AB=2.
∵lBC^=60π×2180=23π，∴阴影部分的周长为2+23π. ………………………………（12分）
七、（本题满分12分）
22.（1）证明：∵∠ACB=90°，∠DCE=180°−∠ACB=90°，
∴∠DCE+∠ACD=∠ACB+∠ACD，即∠ACE=∠BCD，
又∵AC=BC，CE=CD，
∴∆ACE≅∆BCD(SAS)，∴AE=BD. ………………………………………… （4分）
（2）证明：如图1，在BF上截取BG=AF，连接CG.
由(1)得∆ACE≅∆BCD,∴∠CAE=∠CBD.
又∵AC=BC，∴∆ACF≅∆BCG(SAS)，
∴CF=CG，∠ACF=∠BCG，
∴∠ACF+∠ACG=∠BCG+∠ACG=∠ACB=90°，
即∠FCG=90°，
∴∆FCG是等腰直角三角形.
根据勾股定理得FG=CF2+CG2=2CF2=2CF，
∵BF=BG+FG，∴BF=AF+2CF，∴BF−AF=2CF. …………………… （10分）
（3）14−2 ………………………………………………………………………… （12分）
【解析】由（1）得∆ACE≅∆BCD，∴∠E=∠BDC，∵CD=CE，∠DCE=90°，∴∠E=∠CDE=45°，∴∠BDC=45°，∴∠BDE=∠BDC+∠CDE=45°+45°=90°，∴∠ADB=90°.∵AC=BC=32，∴在Rt∆ABC中，根据勾股定理得AB=AC2+BC2=2AC=6，同理可得DE=2CD=4.设AD=x，则AE=AD+DE=x+4.由（1）得AE=BD，
∴BD=x+4.在Rt∆ADB中，AB2=AD2+BD2，即62=x2+(x+4)2，解得x1=14−2，x2=−14−2（舍去），∴AD=14−2.如图2，过点C作CH⊥DE于点H.∵CD=CE，∠DCE=90°，∴CH=12DE=12×4=2，∴S∆ACD=12AD·CH=12×(14−2)×2=14−2.
八、（本题满分14分）
23. 解：（1）∵“锅盖高”为1，“锅深”为3，∴CO=1，OD=3，∴C(0,1)，D(0,−3).
将点D(0,−3)代入y=ax2+h，得h=−3.
∵∆ADB是等腰直角三角形，∴AO=OB=OD=3，∴A(−3,0)，B(3,0)，
将B(3,0)代入y=ax2−3，得a=13。
∴抛物线的解析式为y=13x2−3。 ……………………………………………………（4分）
（2）设圆心为R，连接AR，如图1。
在Rt∆ARO中，AO2+OR2=AR2，即9+(AR−1)2=AR2，解得AR=5，
∴CR=5=OC+OR，∴OR=4，∴R(0,−4)，
∴弧AB所在圆的圆心坐标为(0,−4)。 ……………………………………………………（8分）
（3）存在点M，使得∠CAM=45°。
如图2，连接AC，过点C作CN⊥AC交AM于点N，过点A作x轴的垂线，过点N作x轴的垂线，过点C作y轴的垂线，这三条线的交点分别为Q，P。
∵∠ACN=90°，∴∠ACQ+∠NCP=90°。
∵∠ACQ+∠CAQ=90°，∴∠NCP=∠CAQ，
∵∠CAN=45°，∴∆ACN是等腰直角三角形，∴AC=CN，
又∵∠Q=∠P=90°，∴∆ACQ≅∆CNP(AAS)。
∴CQ=PN=3，AQ=CP=1，∴N(1,−2)。
设直线AN的解析式为y=kx+b。
把A(−3,0)，N(1,−2)代入，得{−3k+b=0,k+b=−2,解得{k=−12,b=−32.
∴直线AN的解析式为y=−12x−32。 …………………………………………（12分）
当−12x−32=13x2−3时，解得x=−3（舍去）或x=32，
把x=32代入y=−12x−32，得y=−94，
∴M32,−94。 ………………………………………………………………（14分）
摸球的次数 s
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的频数 n
65
111
a
345
568
700
摸到白球的频率 ns
0.65
0.74
0.68
0.69
b
0.70
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）