江苏省南通市海安市实验中学2025-2026学年高三上学期12月学情检测数学试卷含详细解析（word版）

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1. 已知集合 A=x∣x2−7x−80 的解集为 1e,+∞
B. 函数 gx 在 0,e 单调递增,在 e,+∞ 单调递减
C. 当 x∈1e,1 时,总有 fxb>0 ，点 P 在直线 x=a2c 上，直线 OP 交椭圆于点 A ， B ，且 B 为线段 PA 的中点，则椭圆的离心率的取值范围是_____.
14. 在 △ABC 中， AB=3 ， AD=2DB ， ∠ACD=π3 ，则 BC 的最大值为_____.
四、解答题
15. 已知各项均为正数的等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 2a2+a3=a4,S4+2=a5 ; 数列 bn 满足 b1=1,1b1+2b2+⋯+nbn=n2bnn∈N∗ .
(1)求 an 和 bn ；
(2)求数列 1bn+2lg2an 的前 n 项和 Tn .
16. 已知函数 fx=2csx+π6sin5π6−x−23cs2x+π6+3
(1)若 fx=2 ，求 x 的取值集合；
(2)若 afx+fx−π4≤6 对任意的 x∈π4,π3 恒成立，求实数 a 的取值范围.
17. 如图, △ABC 为正三角形, AE⊥ 平面 ABC,CD⊥ 平面 ABC,AC=CD,AE=2CD ,点 F,P 分别为 AB,BD 的中点，点 Q 在线段 BE 上，且 BE=4BQ .

(1)证明:直线 CP 与直线 FQ 相交；
(2)求平面 CPF 与平面 BDE 夹角的余弦值.
18. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与抛物线 W:x2=2y 相切于点 P ,且与椭圆 C:x22+y2=1 交于 A,B 两点.
(1)当 P 的坐标为 2,2 时，求 AB ；
(2)若点 G 满足 GO+GA+GB=0 ，求 △GAB 面积的最大值.
19. 已知函数 fx=csxx,gx=1x−ax .
(1)若函数 fx 在点 Aπ2,0 处的切线与函数 gx 的图象有公共点,求实数 a 的取值范围；
( 2 )若函数 fx 和函数 gx 的图象没有公共点，求实数 a 的取值范围.
【参考答案】
1. A
【详解】由 A=x x2−7x−80 ,解得 x>1e ,所以选项 A 正确;
对于 B : 由 g′x=−lnxx2,x∈0,+∞ ,
令 g′x>0 ,解得 00 的图象有两个不同的交点时, 0