湖北省部分重点高中2025-2026学年高二上学期12月考试试卷 数学（含答案）

这是一份湖北省部分重点高中2025-2026学年高二上学期12月考试试卷 数学（含答案），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知空间向量，若，其中，则实数（ ）
A．B．C．D．
3．已知直线，直线，则直线与间的距离为（ ）
A．B．C．D．
4．与圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
6．从队20人､队30人中，按照分层随机抽样的方法从两队共抽取5人.进行一轮答题竞赛.相关统计情况如下：队答对题目数的平均数为2，方差为1.04；队答对题目数的平均数为1，方差为2.04，则这5人答对题目数的方差为（ ）
A．0.95B．1.06C．1.33D．1.88
7．若双曲线不存在以点为中点的弦，则正实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，椭圆的左右焦点分别为，抛物线，且与椭圆在第一象限交于点，其中.直线与抛物线，椭圆依次交于点.若，且的面积为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知事件与事件相互独立，且，则下列各式中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
10．在棱长为2的正方体中，已知分别为线段的中点，点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，四棱锥外接球半径为
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．若，则点的轨迹长为
D．周长的最小值为
11．已知双曲线的左､右焦点分别为，直线过点，且与双曲线的右支交于两点，与双曲线的两条渐近线分别交于两点，其中两点位于第一象限，下列说法正确的是（ ）
A．若，则的周长为
B．若，则实数的值可以为
C．点到两条渐近线的距离之积为定值
D．若的内切圆的半径分别为，则恒成立
三、填空题
12．若一组数的众数为，平均数为，则 .
13．实数满足：，则的最大值为 .
14．已知点为椭圆与双曲线的公共顶点，点为双曲线第一象限内一点，直线分别与椭圆交于两点，若直线过点，且，则椭圆的离心率为 .
四、解答题
15．已知圆过点且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程.
16．某校对高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：
(1)计算频率分布直方图中的值，并且估计该校高一期中数学考试成绩的中位数；
(2)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率.
17．如图，四棱锥的底面是正方形，平面.已知，分别为的中点，平面与棱交于点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的正弦值；
(3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由.
18．已知椭圆过，不与轴垂直的直线交椭圆于两点，且为线段中点，设直线的斜率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若坐标原点关于点的对称点在椭圆上，
（i）求的取值范围；
（ii）证明：的面积为定值.
19．已知双曲线的离心率为2，点是双曲线上的点，是双曲线的左､右顶点，为双曲线的左､右焦点，点是双曲线右支上不同于点的一个动点，直线分别交直线于点，点为线段中点.
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：直线与以线段为直径的圆相切于点；
(3)在（2）的结论下，过点作圆的另一条切线且与圆相切于点，其中点不与点重合，求证：是定值.
1．C
根据椭圆的标准方程的类型列式可得结果.
【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆，
则,解得：,
所以实数的取值范围是，
故选：C
2．B
根据空间向量垂直的坐标表示公式，结合空间向量线性运算坐标表示公式进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
又因为，
所以，
故选：B
3．D
先将直线方程化为与方程形式相同的方程，再利用两平行直线间的距离公式计算.
【详解】直线的方程可化为，，
故直线与间的距离.
故选：D.
4．B
利用配方法，结合点关于直线对称的性质进行求解即可.
【详解】，
因此圆的圆心坐标为，半径为，设圆的圆心坐标为，
因为圆心和圆心关于直线对称，
所以有，即圆的圆心坐标为，
因为圆和圆关于直线对称，
所以两个圆的半径相等，
所以圆的方程为，
故选：B
5．A
根据空间向量点到线的距离公式进行求解即可.
【详解】因为，直线的方向向量，
所以，
因为，
所以点到直线的距离为，
故选：A
6．D
根据分层抽样的性质，结合样本方差的公式进行求解即可.
【详解】抽到5人中，队的人数为，队的人数为，
因为队答对题目数的平均数为2，方差为1.04；队答对题目数的平均数为1，方差为2.04，
这5人答对题目数的平均数为.
所以这5人答对题目数的方差为，
故选：D
7．C
由点差法求得中点弦的斜率，依题意需使，推得取值范围.
【详解】假设以为中点的弦存在且与双曲线交于，则,
由，两式作差得:,
即，
因为双曲线的渐近线方程为，
所以过点的直线斜率或时，直线与双曲线只有一个交点或无交点，
因为不存在该中点弦，所以，得；
故选：C
8．B
根据题意设直线的方程及相应交点的坐标，分别联立直线与抛物线方程和椭圆方程计算得到和，由的面积计算得到，由得到；从而得到，化简后得到，进一步计算即可求得椭圆的离心率.
【详解】设直线的方程为，，联立直线与抛物线方程得，即，所以，判别式，；
联立直线与椭圆方程得，整理得，即，所以，判别式，
；
因为的面积为，所以，所以；
因为，所以，所以，即，所以；
综上，，即，
即，解得，，化简得，即，即，即，即，即，即，解得，或（舍去）；所以椭圆的离心率为.
故选：B.
9．ACD
根据独立事件的乘法公式，结合并事件、积事件的概率公式逐一判断即可.
【详解】A：因为事件与事件相互独立，
所以，所以本选项正确；
B：因为,
所以本选项不正确;
C：因为，所以，
因为事件与事件相互独立，
所以事件与事件相互独立，
于是，所以本选项正确；
D： 因为，
所以本选项正确，
故选：ACD
10．ABD
A选项，点在线段的中点，作出辅助线，找到外接球球心，从而得到外接球半径，判断A；B选项，先得到，故点在线段上，连接，证明出，结合锥体体积公式求三棱锥体积，判断B；C选项，由，可得点的轨迹为点为圆心，半径为的圆的一部分，由此可求轨迹长度；D选项，取线段的中点，由对称性知，数形结合得到，从而得到周长的最小值.
【详解】对于A选项，当时，，
故，即，
所以点在线段的中点，连接相交于点，则为中点，
所以，由正方体性质可得平面，则平面，
设正四棱锥的外接球的球心为，则三点共线，
其中，所以球心在的延长线上，
设，则，
由勾股定理得，即，解得，故A正确；
对于B选项，当时，，
故，即，故点在线段上，
连接，与相交于点，则为的中点，连接，
因为为的中点，所以，又平面，平面，
所以平面，所以三棱锥的体积，
所以，又，
所以，故三棱锥的体积为，故B正确；
对于C选项，因为，又点在矩形及其内部，
点的轨迹为点为球心，半径长为的球面，点到矩形及其内部的点的最大距离为，
故不存在点的轨迹，故C错误；
对于D选项，点在矩形及其内部，取线段的中点，
由对称性知，
此时三点共线，
又，所以，故D正确；
故选：ABD.
11．ACD
A：根据双曲线的定义计算的周长；B：根据条件判断出的中点为同一点，然后可判断出结果；C：设出点坐标，然后表示出点到两条渐近线的距离，结合双曲线方程可计算出结果；D：先确定出内切圆的圆心在上，然后由直线的倾斜角表示出，结合对勾函数的性质可求解出的取值范围，则结果可知.
【详解】对于A：因为，
所以的周长为，故正确；
对于B：由条件可知，渐近线方程，设，
联立，可得，
且，所以，
由可得，由可得，
所以，所以，
所以，所以的中点重合，记的中点为，
所以，
所以，所以，所以，故错误；
对于C：设，到的距离为，
到的距离为，
所以点到两条渐近线的距离之积为，
又因为在双曲线上，所以，所以，
所以，故正确；
对于D：设直线的倾斜角为，因为渐近线的倾斜角分别为，所以，
设的内切圆的圆心分别为，
的内切圆与各边切于，的内切圆与切于，设，
因为，
所以，所以，所以，
所以在直线上，同理可得也在直线上，且，
由几何关系可得，
所以，
因为，所以，所以，令，
由对勾函数性质可知在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，所以，故正确；
故选：ACD.
12．
先根据众数的定义确定的值，再根据平均数公式计算的值，最后求.
【详解】依题意可得众数，平均数，
故.
故答案为：.
13．6
数形结合，取，则表示线段的长度，结合圆的性质求解.
【详解】如图：
点为圆：上一点，,
则表示线段的长度.
所以，当共线且在点两侧时取等号.
故答案为：6
14．
根据直线斜率公式，结合两角和的正切公式、椭圆的离心率公式、椭圆的对称性进行求解即可.
【详解】 ，设.
则，
又点P在双曲线上，则.
，
又点M在椭圆上，则.
注意到，则.
即直线MB与直线NB关于x轴对称，又椭圆为轴对称图形，
则M，N两点关于x轴对称，故.
因直线MN过，则，将其代入椭圆方程可得，
，
因为，
所以有
，或，舍去，
解得，
故答案为：
15．(1)
(2)，或.
（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）利用待定系数法，结合圆的弦长公式进行求解即可.
【详解】（1）设圆的标准方程为，
因为圆过点且圆心在直线上，
所以，
所以圆的方程；
（2）由圆的方程可知，圆心的坐标为，半径为，
当直线不存在斜率时，直线的方程为，
把代入中，得，
此时直线被圆截得的弦长为，符合题意；
当直线存在斜率时，直线的方程设为，
圆心到直线的距离为，
因为直线过点，且被圆截得的弦长为，
所以有，
此时直线方程为，
综上所述：直线的方程为，或.
16．(1)，中位数为
(2)
（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为，结合中位数的定义进行求解即可；
（2）根据分层抽样的性质，结合古典概型运算公式进行求解即可.
【详解】（1）因为频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为，
所以，
设中位数为，
这一小组的频率为，
这一小组的频率为，
这一小组的频率为，
这一小组的频率为，
显然，，
所以中位数落到这一小组，设中位数为x，
则有，
所以估计中位数为；
（2）随机抽取5名学生中，来自这一小组的人数为，
这两人记为
来自这一小组的人数为，
这三人记为，
从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，
这两人组合有以下情形：，共种，
其中抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的情形如下：
，共种，
所以抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率为.
17．(1)证明见解析
(2)
(3)存在，或
（1）先由条件证明平面，再由平面得，由等腰三角形三线合一证得，最后利用线面垂直的判定定理即可证得结论；
（2）结合图形利用线面垂直的判定定理和性质定理证明平面，得到，再证，求得，从而可得，依题建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量的坐标，利用空间向量夹角公式计算即得；
（3）假设线段上存在一点，满足，表示出的坐标，结合平面的法向量，利用点到平面的距离坐标公式列方程，求解即得的值，从而得到点H的坐标.
【详解】（1）因为平面，平面，则，
在正方形中，，因平面，
则平面，因平面，则，
又，点是的中点，则，
因平面，故平面.
（2）由（1）平面，因平面，则，
因平面，平面，则，
又，平面，平面，
因平面，则，
因点是的中点，.，则，
因平面，则平面，
因平面，则，
因平面，则平面，
因平面，则，即.
由（1）平面，因平面，则，即，
又，则，则，
因为，， ，
则，即，即.
以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以， ，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
而平面的法向量可取为，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以
即平面与平面的夹角的正弦值为.
（3）由（2）可得，则，
假设线段上存在一点，满足，
则，
所以，则，即，则，
由（2）已得平面的一个法向量为，
则点H到平面的距离，解得或，
则得或.
故在线段上是否存在一点或，使得点到平面的距离为.
18．(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析
【详解】（1）设椭圆的标准方程为：,
由椭圆经过点，可得，解得，
故椭圆的标准方程为；
（2）（i）依题意，设直线的方程为，
由，消去，可得，
则
设，且，，
则
因为线段中点，则得,
又点关于点的对称点是，则得，即，
因点在椭圆上，则有，即，则有，
因
.
由，可得，则，故.
即的取值范围为；
（ii）设到直线的距离为，则，
，
故为定值.
19．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意得.
所以双曲线的方程为.
（2）如图：
由题意，，，设（），则.
则直线方程为：，令，则，故；
直线方程为：，令，则，故.
所以点坐标为，
因为.
所以.
所以.
又.
所以，所以在以为直径的圆上.
，，,
所以.
所以直线与以线段为直径的圆相切于点.
（3）连接，则直线的方程为即，
因为点到直线的距离为：
.
所以直线与圆相切，设切点为.
根据双曲线的定义，，又，
所以为定值.