人教版（2024）八年级下册二次根式的乘除习题

这是一份人教版（2024）八年级下册二次根式的乘除习题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列计算正确的是（★）
A
B
C
D
2. 化简 的结果是（★）
A
B
C
D
3. 若 成立，则 a、b 满足的条件是（★★）
A ，
B ，
C ，
D ，
4. 计算 的结果是（★）
A 6
B 12
C 3
D 2
5. 已知 ，则 x + y 的值为（★★）
A -5
B -1
C 1
D 5
6. 若一个正方形的面积为 12，则这个正方形的边长是（★★）
A
B
C
D
二、填空题（每题3分，共12分）
1. （★）计算： ___.
2. （★）若 有意义，则 a 的取值范围是 ___.
3. （★★）化简： ___.
4. （★★）已知直角三角形的两条直角边长分别为 和 ，则这个直角三角形的面积为 ___.
三、解答题（共70分）
1. （每题 5 分，共 20 分）计算：
- （★）
- （★）
- （★）
- （★）
2. （10 分）（★★）已知 ，，求 的值。
3. （12 分）（★★）如图，在一个长方形的草坪中，有两条互相垂直的小路，小路的宽度都是 米，长方形草坪的长为 米，宽为 米，求除去小路后草坪的面积。
4. （14 分）（★★★）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ，善于思考的小明进行了以下探索：设 （其中 a、b、m、n 均为正整数），则有 ，所以 ，b = 2mn。这样小明就找到了一种把部分 的式子化为平方式的方法。请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
- 当 a、b、m、n 均为正整数时，若 ，用含 m、n 的式子分别表示 a、b，得 a = __ ，b = __ ；
- 利用所探索的结论，找一组正整数 a、b、m、n 填空：__ + __（__ + __）；
- 若 ，且 a、m、n 均为正整数，求 a 的值。
5. （14 分）（★★★）已知 a、b 为实数，且 ，求 的值。
参考答案
1. A 2. C 3. B 4. A 5. B 6. A
1. 2. 3. 4.
1.
- 6
-
-
- 3
2.
3. 84 平方米
4.
- ，2mn
- 4，2，1，1（答案不唯一）
- 7 或 13
5. 0
参考答案及解析
选择题
1. 【考点】二次根式的乘法、加法、除法及算术平方根的性质；
【解题思路】根据二次根式的运算法则逐一分析选项。A选项，根据二次根式乘法法则 ，，所以A正确；B选项， 与 不是同类二次根式，不能合并，所以B错误；C选项，，所以C错误；D选项，，所以D错误。
【易错点】混淆二次根式的加法和乘法法则，以及算术平方根的结果是非负数。
2. 【考点】二次根式的化简；
【解题思路】将 进行化简，可先将 18 分解因数，18 = 2\times9，再根据二次根式乘法法则化简，。
【易错点】分解因数时出现错误导致化简错误。
3. 【考点】二次根式除法法则及二次根式有意义的条件；
【解题思路】根据二次根式除法法则 （，），因为分母不能为 0，且根号下的数须是非负数，所以 ，。
【易错点】忽略分母不能为 0 的条件。
4. 【考点】二次根式的乘法；
【解题思路】根据二次根式乘法法则 ，。
【易错点】计算时出现错误。
5. 【考点】非负数的性质及二次根式有意义的条件；
【解题思路】因为 ，，且 ，根据非负数的性质，几个非负数的和为 0，则每个非负数都为 0，所以 x + 3 = 0，y - 2 = 0，解得 x = -3，y = 2，则 。
【易错点】不理解非负数的性质导致无法求解。
6. 【考点】正方形面积公式及二次根式的化简；
【解题思路】设正方形的边长为 x，根据正方形面积公式 （S 为面积），已知面积为 12，则 ，因为边长不能为负，所以 。
【易错点】开方时忽略边长为正数的条件。
填空题
1. 【考点】二次根式的化简；
【解题思路】将 27 分解因数，27 = 3\times9，则 。
【易错点】分解因数错误导致化简错误。
2. 【考点】二次根式有意义的条件；
【解题思路】根据二次根式有意义的条件，被开方数须是非负数，所以 ，解得 。
【易错点】忽略被开方数非负的条件。
3. 【考点】二次根式的化简；
【解题思路】根据二次根式的性质 （，），。
【易错点】化简时出现错误。
4. 【考点】直角三角形面积公式及二次根式的乘法；
【解题思路】根据直角三角形面积公式 （a、b 为直角边），已知两条直角边分别为 和 ，则面积 。
【易错点】计算面积时忘记乘以 。
解答题
1.
- 【考点】二次根式的乘法；
【解题思路】根据二次根式乘法法则 ，。
【易错点】计算时出现错误。
- 【考点】二次根式的除法；
【解题思路】根据二次根式除法法则 ，。
【易错点】化简结果不是最简二次根式。
- 【考点】二次根式的乘法；
【解题思路】先将系数相乘，再根据二次根式乘法法则计算，。
【易错点】计算系数与根式乘积时出现错误。
- 【考点】二次根式的除法；
【解题思路】根据二次根式除法法则 ，。
【易错点】除法变乘法时出现错误。
2. 【考点】平方差公式及二次根式的运算；
【解题思路】先根据平方差公式 ，将 ， 代入可得：，，则 。
【易错点】使用平方差公式错误或计算 x + y、x - y 时出现错误。
3. 【考点】二次根式的乘法及长方形面积公式；
【解题思路】先计算长方形草坪的总面积为 平方米，两条小路的面积分别为 平方米和 平方米，两条小路交叉部分的面积为 平方米，所以除去小路后草坪的面积为 平方米。
【易错点】计算小路面积时忽略交叉部分面积的重复计算。
4.
- 【考点】完全平方公式的展开及类比推理；
【解题思路】将 展开，根据完全平方公式 ，可得 ，所以 ，b = 2mn。
【易错点】展开完全平方公式时出现错误。
- 【考点】根据规律填写数值；
【解题思路】令 m = 1，n = 1，则 ，，所以 。
【易错点】取值时不符合正整数的要求。
- 【考点】方程求解及正整数解的讨论；
【解题思路】因为 ，所以 b = 2mn = 4，则 mn = 2，因为 m、n 均为正整数，所以有两种情况：当 m = 1，n = 2 时，；当 m = 2，n = 1 时，，所以 a 的值为 7 或 13。
【易错点】讨论正整数解时不全面。
5. 【考点】二次根式有意义的条件及非负数的性质；
【解题思路】因为 有意义，所以 ，