2024年中考数学（四川成都）第一次模拟考试（含答案）

这是一份2024年中考数学（四川成都）第一次模拟考试（含答案），共45页。试卷主要包含了关于x的方程，下列做法正确的是等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）.
1．年央视春晚主题、主标识近日正式发布，本次龙年春晚主题为“龙行龖龖（dá），欣欣家国”，请问的相反数是（ ）
A．B．C．D．
2．杭州亚运会已闭幕，中国代表团共收获201金、111银、71铜，总计383枚奖牌，创历史．图①是2023年10月2日乒乓球男单颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台主视图是（ ）
A．B． C． D．
3．俄罗斯和乌克兰的战争从去年2月24日开始到现在还在持续，战争持续的主要原因是：以美国为首的北约在不断拱火，据不完全统计仅美国就先后向乌克兰提供军火价值275.8亿美元，275.8亿用科学记数法如何表示（ ）
A．B．C．D．
4．若关于的方程的一个根是，则另一个根及的值分别是（ ）
A．B．C．D．
5．关于x的方程，下列做法正确的是（ ）
A．方程两边都乘以得：B．是方程的解
C．方程两边都乘以得：D．是方程的增根
6．如图，矩形与矩形是位似图形，点是位似中心．若点，点E的横坐标为，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．每次监测考试完后，老师要对每道试题难度作分析．已知：题目难度系数该题参考人数得分的平均分该题的满分．上期全市八年级期末质量监测，有11623名学生参考．数学选择题共设置了12道单选题，每题5分．最后一道单选题的难度系数约为，学生答题情况统计如表：
根据数据分析，可以判断本次监测数学最后一道单选题的正确答案应为（ ）
A．B．C．D．
8．对于抛物线，y与x的部分对应值如下表所示：
下列说法中正确的是（ ）
A．开口向下 B．当时，y随x的增大而增大
C．对称轴为直线 D．函数的最小值是
第Ⅱ卷（共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
9．《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的 倍．
10．若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的值可以是 ．（写出一个即可）
11．如图所示是地球截面图，其中，分别表示南回归线和北回归线，表示赤道，点表示太原市的位置．现已知地球南回归线的纬度是南纬，太原市的纬度是北纬，而冬至正午时，太阳光直射南回归线（光线的延长线经过地心），则太原市冬至正午时，太阳光线与地面水平线的夹角的度数是 ．
12．已知，两点都在反比例函数的图象上，且，则 （填“”“”或“”）．
13．如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交和于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点：分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线交边于点，连接，交于点．若，则的值为 ．
三、解答题 （本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
14．（满分12分）（1）计算：；
（2）解一元一次不等式组：．
15．（满分8分）中国城市基础设施的现代化程度显著提高，新技术、新手段得到广泛应用，基础设施的功能日益增加，承载能力、系统性和效率都有了显著的提升．城市经济发展了，居民生活条件改善了，如5G基础进设、新能源汽车充电桩、人工智能等，其中，随着人们对新能源汽车的认可，公共充电桩的需求量逐渐增大．根据巾商情报网信息：某月“特来电”“星星充电”“国家电网”“云快充”等企业投放公共充电桩的数量及市场份额的统计图如图所示
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)①将统计图中“国家电网”的公共充电桩数量和市场份额补充完整；
②统计图中所涉及的十一种企业投放公共充电桩数量的中位数是 万台．
(2)小辉收集到下列四个企业的图标，并将其制成编号分别为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余部分完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀，放在桌面上，从中任意抽取一张，不放回，再抽取一张．请你用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D“的概率．
16．（满分8分）“日照间距系数”反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数，其中为楼间水平距离，为南侧楼房高度，为北侧楼房底层窗台至地面高度，如图②，山坡朝北，长为15m，其坡度为，山坡顶部平地上有一高为24.3m的楼房，底部到点的距离为5m．欲在楼正北侧山脚的平地上建一楼房，已知该楼底层窗台处至地面处的高度为1.1m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部距处至少多远?
17．（满分10分）如图1，是的一条弦，是的切线．是的直径．是上一动点，过点作直线于点，交于点．
(1)求证．(2)如图2，若是的中点．，，求的长．
18．（满分10分）如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，反比例函数（）在第一象限内的图象经过点、，(1)点为对角线上一点，满足，点在边上，且，求反比例函数解析式；(2)在（）的条件下，反比例函数上是否存在点，满足，若存在，求点的横坐标；(3)我们把有一个内角为的三角形称为“美好三角形”，这个的内角称为“美好角”，这个角的两边称为“美好边”，如图，若点B的坐标为，则当为“美好三角形”时，直接写出反比例函数表达式中的值．
B卷（共50分）
一、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
19．如果，那么代数式的值为 ．
20．我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图1，．接下来，观察图2，通过类比思考，因式分解 = ．

21．在如图所示的图形中随机撒一把豆子，计算落在A，B，C三个区域中的豆子数，若落在这三个区域中的豆子数依次为m，n，，则估计图中a的值为
22．如图，抛物线与轴交于两点，抛物线上点的横坐标为，点坐标为，连接，点为平面内任意一点，将绕点旋转得到对应的（点的对应点分别为，，），若中恰有两个点落在抛物线上，则此时点的坐标为 （点不与点重合）
23．在边长为4的正方形中，E是边上一动点(不与端点重合)，将沿翻折，点A落在点H处，直线交于点F，连接，，分别与AC交于点P、Q，连接，．则以下结论中正确的有________ (写出所有正确结论的序号)．①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若连接，则的最小值为．
二、解答题 （本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
24．（满分8分）（1）【阅读理解】倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某垃圾处理厂计划向机器人公司采购一批包含、两款不同型号的垃圾分拣机器人．已知1台型机器人和1台型机器人同时工作10小时，可处理垃圾5吨；若1台型机器人先工作5小时后，再加入1台型机器人同时工作，则还需工作8小时才能处理完5吨垃圾．问1台型机器人和1台型机器人每小时各处理垃圾多少吨？
分析 可以用线段图（如图）来分析本题中的数量关系．
由图可得如下的数量关系：
①1台型10小时的垃圾处理量台型10小时的垃圾处理量吨；
②________________吨．
（2）【问题解决】请你通过列方程（组）解答（1）中的问题．
（3）【拓展提升】据市场调研，机器人公司对、两款机器人的报价如下表：
若垃圾处理厂采购的这批机器人（、两款机器人的总台数不超过80台）每小时共能处理垃圾20吨，请利用（2）中的数据回答：如何采购才能使总费用最省？最少费用是多少万元？
25．（满分10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点（在的左边），交轴正半轴于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在抛物线上，在抛物线的对称轴上，以为顶点的四边形是平行四边形，且是此平行四边形的一条边，求点的坐标；
(3)抛物线的对称轴交轴于点在对称轴上，且在第二象限，，不平行于轴的直线分别交线段（不含端点）于两点，直线与抛物线只有一个公共点，求证：的值是个定值．
26．（满分12分）已知，，，于点，．

(1)如图1，若，取的中点F，连接，，求的长度；
(2)如图2，连接，点在线段上，且，连接、，若，为中点，证明：；
(3)如图3，在（2）的条件下，将绕点逆时针旋转得，连接，点是中点，连接，若，在旋转过程中，当最大时，直线与直线交于点，请直接写出的面积．
2024年中考第一次模拟考试（成都卷）
数学·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）.
1．年央视春晚主题、主标识近日正式发布，本次龙年春晚主题为“龙行龖龖（dá），欣欣家国”，请问的相反数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：的相反数是，故选：B．
2．杭州亚运会已闭幕，中国代表团共收获201金、111银、71铜，总计383枚奖牌，创历史．图①是2023年10月2日乒乓球男单颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台主视图是（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了组合体的主视图．熟练掌握从正面看到的是主视图是解题的关键．根据从正面看到的是主视图进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，是主视图，故选：B．
3．俄罗斯和乌克兰的战争从去年2月24日开始到现在还在持续，战争持续的主要原因是：以美国为首的北约在不断拱火，据不完全统计仅美国就先后向乌克兰提供军火价值275.8亿美元，275.8亿用科学记数法如何表示（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】解：275.8亿用科学记数法表示为．故选：C．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
4．若关于的方程的一个根是，则另一个根及的值分别是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程先求出的值，从而确定出方程，再解方程即可求出，理解方程的解并准确计算是解题的关键．
【详解】解：∵是方程的一个根，∴,∴，
∴方程为，解得，，∴另一个根为，的值为，故选：．
5．关于x的方程，下列做法正确的是（ ）
A．方程两边都乘以得：B．是方程的解
C．方程两边都乘以得：D．是方程的增根
【答案】D
【分析】分式方程两边乘以最简公分母，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：A、方程两边同乘以，得：，故本选项不符合题意；
B、解方程得，当时分母，是方程的增根，故本选项不符合题意；
C、方程两边同乘以，得：，故本选项不符合题意；
D、解方程得，当时分母，是方程的增根，故本选项符合题意；故选：D．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
6．如图，矩形与矩形是位似图形，点是位似中心．若点，点E的横坐标为，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出，是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，进而证明，根据相似三角形的性质求出，得到答案．
【详解】解：∵四边形为矩形，，∴，
∵矩形与矩形是位似图形，∴，，
∴∴，
∴，解得：，∴点P的坐标为，故选：A．
7．每次监测考试完后，老师要对每道试题难度作分析．已知：题目难度系数该题参考人数得分的平均分该题的满分．上期全市八年级期末质量监测，有11623名学生参考．数学选择题共设置了12道单选题，每题5分．最后一道单选题的难度系数约为，学生答题情况统计如表：
根据数据分析，可以判断本次监测数学最后一道单选题的正确答案应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先计算出最后一道单选题参考人数得分的平均分，再分别测算，进行比较即可．
【详解】解：题目难度系数该题参考人数得分的平均分该题的满分，
最后一道单选题参考人数得分的平均分题目难度系数该题的满分，
如果正确答案应为，则参考人数得分的平均分为：，
如果正确答案应为，则参考人数得分的平均分为：，
如果正确答案应为，则参考人数得分的平均分为：，
如果正确答案应为，则参考人数得分的平均分为：，故选：B．
【点睛】本题考查了统计表、新概念“题目难度系数”等知识，熟练掌握新概念“题目难度系数”，由统计表的数据计算出参考人数得分的平均分是解题的关键．
8．对于抛物线，y与x的部分对应值如下表所示：
下列说法中正确的是（ ）
A．开口向下 B．当时，y随x的增大而增大
C．对称轴为直线 D．函数的最小值是
【答案】C
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式以及二次函数的性质，把二次函数化简成顶点式即可解题．
【详解】解：把，，代入，
得：，解得∶，∴，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，即当时，函数取最小值，
当时，y随x的增大而增大， 故A，B，D错误，C正确，故选：C．
第Ⅱ卷（共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
9．《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的 倍．
【答案】1.2
【分析】设被称物的重量为，砝码的重量为，根据图中可图列出方程即可求解．
【详解】解：设被称物的重量为，砝码的重量为，依题意得，
，解得，故答案为：1.2．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握杠杆的原理是解题的关键．
10．若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的值可以是 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了一元二次方程根的情况求参数．根据题意得，进行计算即可得．
【详解】解：∵一元二次方程没有实数根，
∴，∴，∴k的值可能是（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
11．如图所示是地球截面图，其中，分别表示南回归线和北回归线，表示赤道，点表示太原市的位置．现已知地球南回归线的纬度是南纬，太原市的纬度是北纬，而冬至正午时，太阳光直射南回归线（光线的延长线经过地心），则太原市冬至正午时，太阳光线与地面水平线的夹角的度数是 ．
【答案】
【分析】设与交于点K，先由三角形内角和定理求出．，再根据平行线的性质求解即可．
【详解】如图，设与交于点K，
∵，，∴，
在中，，，∴，
∵，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．
12．已知，两点都在反比例函数的图象上，且，则 （填“”“”或“”）．
【答案】
【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．
【详解】∵，两点都在反比例函数的图象上，，且，
∴该图象在第二、四象限上，且每个分支上y随x的增大而增大，，∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的增减性，正确记忆反比例函数的性质是解题的关键．
13．如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交和于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点：分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线交边于点，连接，交于点．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了基本作图，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．先根据作图得出平分，垂直平分，再根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，，
由作图得：平分，垂直平分，
，，，
，，，
，，，故答案为：．
三、解答题 （本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
14．（满分12分）（1）计算：；
（2）解一元一次不等式组：．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先代入三角函数值、计算负整数指数幂、化简二次根式，再去绝对值符号、计算乘法，最后计算加减即可；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找大大小小找不到确定不等式组的解集；
【详解】（1）
（4分）
（5分）
；（6分）
（2）将
去括号得：（7分）
解得：；（8分）
将
去分母得：（9分）
去括号得：（10分）
解得：；（11分）
故方程组的解集为：．（12分）
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组、实数的运算，特殊角三角函数，解题的关键是掌握实数的混合运算顺序和运算法则．
15．（满分8分）中国城市基础设施的现代化程度显著提高，新技术、新手段得到广泛应用，基础设施的功能日益增加，承载能力、系统性和效率都有了显著的提升．城市经济发展了，居民生活条件改善了，如5G基础进设、新能源汽车充电桩、人工智能等，其中，随着人们对新能源汽车的认可，公共充电桩的需求量逐渐增大．根据巾商情报网信息：某月“特来电”“星星充电”“国家电网”“云快充”等企业投放公共充电桩的数量及市场份额的统计图如图所示
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)①将统计图中“国家电网”的公共充电桩数量和市场份额补充完整；
②统计图中所涉及的十一种企业投放公共充电桩数量的中位数是 万台．
(2)小辉收集到下列四个企业的图标，并将其制成编号分别为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余部分完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀，放在桌面上，从中任意抽取一张，不放回，再抽取一张．请你用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D“的概率．
【答案】(1)①见解析；②2 (2)
【分析】本题考查的是从统计图中获取信息，求解中位数，利用画树状图求解随机事件的概率，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键；
（1）①由星星充电10万台充电桩占比求解总的充电桩的数量，再求解国家电网的充电桩的数量与占比即可；②根据11家企业的充电桩是数量按照从大到小顺序排列后，排在第6的数据是中位数，从而可得答案；（2）先画树状图得到所有的等可能的结果数，再得到符合条件的结果数，结合概率公式可得答案．
【详解】（1）解：①公共充电桩的总数为（万台），
∴“国家电网”的公共充电桩数量为（万台），
“国家电网”的公共充电桩的市场份额为；
如图，
（2分）
②统计图中所涉及的十一种企业投放公共充电桩数量的中位数是2万台．（4分）
（2）画树状图为：
（6分）
共有12种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D“的结果数为2，（7分）
所以抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D“的概率．（8分）
16．（满分8分）“日照间距系数”反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数，其中为楼间水平距离，为南侧楼房高度，为北侧楼房底层窗台至地面高度，如图②，山坡朝北，长为15m，其坡度为，山坡顶部平地上有一高为24.3m的楼房，底部到点的距离为5m．欲在楼正北侧山脚的平地上建一楼房，已知该楼底层窗台处至地面处的高度为1.1m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部距处至少多远?
【答案】要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部距处至少30m远
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，过点作，垂足为点，根据的坡度为，设，则，求得，进而求得的长，根据该楼的日照间距系数不低于，列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：过点作，垂足为点（1分）
，在中，的坡度为，，（2分）
设，则，，（3分）
，，，，．（4分）
，（5分）
，，（6分）
由题意得： 解得：（7分）
答：要使该楼的日照间距系数不低于，底部距处至少远 （8分）
17．（满分10分）如图1，是的一条弦，是的切线．是的直径．是上一动点，过点作直线于点，交于点．
(1)求证．(2)如图2，若是的中点．，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）本题考查等腰三角形的性质和判定和切线的性质，连接，利用切线性质和等角的余角相等，再结合题干的条件证明，即可解题．（2）本题考查等腰三角形性质、勾股定理和相似三角形的性质和判定，作于点，利用等腰三角形性质、勾股定理和题干的条件，求得、、、，再证明，利用相似比，即可解题．
【详解】（1）解：连接，如图所示：
是的切线．，，（1分）
直线于点，有，（2分）
，，（3分）
，，，．（4分）
（2）解：作于点，如图所示：，（5分）
，，（6分）
是的中点，，，，（7分）
，，（8分）
，则，，（9分）
，有，解得．（10分）
18．（满分10分）如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，反比例函数（）在第一象限内的图象经过点、，(1)点为对角线上一点，满足，点在边上，且，求反比例函数解析式；(2)在（）的条件下，反比例函数上是否存在点，满足，若存在，求点的横坐标；(3)我们把有一个内角为的三角形称为“美好三角形”，这个的内角称为“美好角”，这个角的两边称为“美好边”，如图，若点B的坐标为，则当为“美好三角形”时，直接写出反比例函数表达式中的值．
【答案】(1)；(2)存在，点Q的横坐标为或，理由见解析；(3)或．
【分析】（）过作轴于，由矩形的性质得，根据相似三角形的判定和性质得，根据三角函数的定义得到，求得，代入即可；
（）分情况当在下方时，当在上方时讨论即可得解；（）分和两种情况讨论，构造全等三角形，然后根据交点坐标及直线解析式求出的值即可．
【详解】（1）如图，过作轴于，
∵四边形是矩形，∴，∴，
∴，∴，（1分）
∵，点，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，∴反比例函数解析式为；（2分）
（2）存在，理由：
当在下方时，满足，则需平行且过中点的直线，
找中点，过交反比例函数图象于点，
由（1）得：，∴直线解析式为：，
∵，∴，则点，∴设直线为，
∴，解得：，∴直线为，（3分）
联立，解得或（舍去）∴点的横坐标为；（4分）
当在上方时，满足，则需平行且过中点的直线，
找中点，过交反比例函数图象于点，
同（）理：直线解析式为：，
∵，∴，∴点，∴，则直线为，（5分）
联立，解得或（舍去）∴点的横坐标为，
综上可知：点Q的横坐标为或；（6分）
（3）∵，，，
如图，当时，作，交延长线于点，作，交延长线于
∴是等腰直角三角形，∴，
∵，，∴，
又∵∴，∴，，（7分）
∴，设直线的解析式为，∴，解得：，
∴直线的解析式为，∴，
解得：或（负值舍去），（8分）
当，作，交延长线于点，过点作轴于点，
同理可证：，∴，，∴，（9分）
设直线的解析式为，
∴，解得：或（不合题意，舍去）
综上，符合条件的的值为或．（10分）
【点睛】本题主要考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键.
B卷（共50分）
一、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
19．如果，那么代数式的值为 ．
【答案】/0.5
【分析】先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：，
，，原式，故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
20．我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图1，．接下来，观察图2，通过类比思考，因式分解 = ．
【答案】
【分析】把图2可有两种计算方法：①三个长方体相加；②大正方体减去小正方体，按要求列出式子，即可解答．
【详解】解：将图2看作三个长方体相加时，可得式子：
；
原式两边提取，可得原式．
故答案为：；．
【点睛】本题考查了整式的乘法，因式分解，观察图形的体积如何计算是解题的关键．
21．在如图所示的图形中随机撒一把豆子，计算落在A，B，C三个区域中的豆子数，若落在这三个区域中的豆子数依次为m，n，，则估计图中a的值为
【答案】1
【分析】本题考查了几何概率及频率估计概率，根据落在三个区域的豆子数比等于各部分面积比，用各个区域面积比估计概率计算即可．
【详解】解：区域面积为，区域面积为，
区域面积为，
又落在这三个区域中的豆子数依次为m，n，，
，即，，
解得：（不合题意，舍去），故答案为：1．
22．如图，抛物线与轴交于两点，抛物线上点的横坐标为，点坐标为，连接，点为平面内任意一点，将绕点旋转得到对应的（点的对应点分别为，，），若中恰有两个点落在抛物线上，则此时点的坐标为 （点不与点重合）
【答案】或
【分析】根据题意，分别求出点的坐标，设，根据旋转的性质，可用含的式子表示出对应点的坐标，分类讨论，①当点在抛物线上时；②当点在抛物线上时；③当点在抛物线上时；列二元一次方程组并求解即可．
【详解】解：抛物线与轴交于两点，令，
∴，解得，，，∴，，
∵点的横坐标为，∴，即，
∵将绕点旋转得到对应的（点的对应点分别为，，），且，，，∴设，根据旋转的性质，则点与点关于点中心对称，点与点关于点中心对称，点与点关于点中心对称，
∴，，，
①当点在抛物线上时，如图所示，
，解方程组得，，
∴点，则的坐标为，与点重合，不符合题意；
②当点在抛物线上时，如图所示，
，解方程组得，，
∴点，则的坐标为，符合题意；
③当点在抛物线上时，如图所示，
，解方程组得，，
∴点，则的坐标为，符合题意；
综上所示，点的坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查二次函数图形与几何图形的综合，掌握二次函数图像的性质，旋转的性质求点坐标，解二元方程组是解题的关键．
23．在边长为4的正方形中，E是边上一动点(不与端点重合)，将沿翻折，点A落在点H处，直线交于点F，连接，，分别与AC交于点P、Q，连接，．则以下结论中正确的有________ (写出所有正确结论的序号)．①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若连接，则的最小值为．
【答案】①②④⑤
【分析】①正确．由正方形的性质可证明，可得结论；②正确．证明，推出，推出，由，可得结论；③错误．可以证明；④正确．利用相似三角形的性质证明，可得结论；⑤正确．求出，，根据，可得结论．
【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，
在和中∴，∴，故①正确；
∵沿翻折，点A落在点H处，直线交于点F，
∴，则，，
∵，∴，则，
∵，∴，
∵，，
∴，则，，∴，
∵，∴，则，
∵，∴，
∴，∴，则为等腰直角三角形，故④正确；
∵，∴，
∵，∴P，E，D，F四点共圆，∴，∵，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，故②正确，
将绕点B顺时针旋转得到，连接，
∴，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴，故③错误，连接，，
∵，，∴，
∴的最小值为，故⑤正确．故答案为：①②④⑤．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会添加常用辅助线吗，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
二、解答题 （本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
24．（满分8分）（1）【阅读理解】倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某垃圾处理厂计划向机器人公司采购一批包含、两款不同型号的垃圾分拣机器人．已知1台型机器人和1台型机器人同时工作10小时，可处理垃圾5吨；若1台型机器人先工作5小时后，再加入1台型机器人同时工作，则还需工作8小时才能处理完5吨垃圾．问1台型机器人和1台型机器人每小时各处理垃圾多少吨？
分析 可以用线段图（如图）来分析本题中的数量关系．
由图可得如下的数量关系：
①1台型10小时的垃圾处理量台型10小时的垃圾处理量吨；
②________________吨．
（2）【问题解决】请你通过列方程（组）解答（1）中的问题．
（3）【拓展提升】据市场调研，机器人公司对、两款机器人的报价如下表：
若垃圾处理厂采购的这批机器人（、两款机器人的总台数不超过80台）每小时共能处理垃圾20吨，请利用（2）中的数据回答：如何采购才能使总费用最省？最少费用是多少万元？
【答案】（1）1台型8小时的垃圾处理量，1台型13小时的垃圾处理量
（2）1台型机器人和1台型机器人每小时分别处理垃圾0.3吨和0.2吨
（3）当采购型机器人66台，型机器人1台时，采购费用最低，为1334万元
【分析】（1）根据第二个线段图可以得到解答；
（2）设1台型机器人和1台型机器人每小时分别处理垃圾吨和吨，由题意得到关于、的二元一次方程组并解方程组即可；
（3）设采购型机器人台，由题意可以用表示型机器人的台数，并求得的取值范围．然后用表示出采购费用，根据一次函数的增减性即可得解．
【详解】解：（1）根据第二个线段图可得：
1台型8小时的垃圾处理量台型13小时的垃圾处理量吨；
故答案为：1台型8小时的垃圾处理量，1台型13小时的垃圾处理量；（2分）
（2）设1台型机器人和1台型机器人每小时分别处理垃圾吨和吨，
则：，解之可得：，（3分）
经检验，是原方程组的解，且符合题意，
答：1台型机器人和1台型机器人每小时分别处理垃圾0.3吨和0.2吨；（4分）
（3）设采购型机器人t台，则采购型机器人（台），
则：，解之可得：（为整数），（5分）
由题意可知，采购费用为：，（6分）
∵，∴随的增大而减小，
∴当时，采购费用最低，为（万元），（7分）
此时台，即采购型机器人66台，型机器人1台，
答：当采购型机器人66台，型机器人1台时，采购费用最低，为1334万元．（8分）
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的增减性是解题关键．
25．（满分10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点（在的左边），交轴正半轴于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在抛物线上，在抛物线的对称轴上，以为顶点的四边形是平行四边形，且是此平行四边形的一条边，求点的坐标；
(3)抛物线的对称轴交轴于点在对称轴上，且在第二象限，，不平行于轴的直线分别交线段（不含端点）于两点，直线与抛物线只有一个公共点，求证：的值是个定值．
【答案】(1)(2)D的坐标为或；(3)证明见解析
【分析】（1）先求解A的坐标，再求解B，C的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可；
（2）设，，而，分两种情况讨论： 当平行四边形为平行四边形 ，当平行四边形为平行四边形，再结合平行四边形的性质可得答案；
（3）先求解，直线为，直线为，设直线为，由有两个相等的实数根，可得，求解直线为，再求解M，N的坐标，结合勾股定理进行计算即可．
【详解】（1）解：∵抛物线，
当时，，即，，
∵，∴，，∴，，（1分）
∴，解得：，∴抛物线为：；（2分）
（2）∵抛物线，∴对称轴为直线，
设，，而，，，（3分）
由平行四边形的性质可得：
，解得：，∴，（4分）
由平行四边形的性质可得：
，解得：，∴；
综上：D的坐标为或；（5分）
（3）∵抛物线，∴对称轴为直线，
∵，，∴，即，
设直线为，∴，解得：，∴直线为，（6分）
同理可得：直线为，设直线为，
∴，∴结合题意可得：即有两个相等的实数根，
∴，∴直线为，（7分）
∴，解得：，即，同理可得：，
∴，，（8分）
当直线从左往右上升时，，
∴，，∴，（9分）
当直线从左往右下降时，，
，，∴，∴为定值．（10分）
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与二次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点坐标问题，一次函数的交点坐标，勾股定理的应用，平行四边形的性质，本题难度大，计算量大，属于中考压轴题．
26．（满分12分）已知，，，于点，．

(1)如图1，若，取的中点F，连接，，求的长度；
(2)如图2，连接，点在线段上，且，连接、，若，为中点，证明：；
(3)如图3，在（2）的条件下，将绕点逆时针旋转得，连接，点是中点，连接，若，在旋转过程中，当最大时，直线与直线交于点，请直接写出的面积．
【答案】(1)(2)见详解(3)
【分析】（1）解，进而求得结果；
（2）连接，作于，不妨设，可证得，从而，进而得出点、、、共圆，从而，从而求得的值，进而得出，从而得出是等边三角形，进一步得出结论；
（3）取的中点，连接，在上截取，可推出点在以为圆心，为半径的圆上运动，可证得，从而得出，进而推出，从而当、、共线时，最大；作于，作于，解求得，根据求得，解求得，从而得出，根据求得，进一步得出结果．
【详解】（1）解：如图1，作于，
（1分）
∵是的中点，（2分）
在中，，
（3分）

（2）证明：如图2，连接，作于，不妨设，
（4分）
四点共圆，
（5分）
（6分）
是中点，
是等边三角形，（7分）
（3）解：如图3，取的中点，连接，在上截取，
∵是的中点，
∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，
∴，（8分）
∴当、、共线时，最大，（9分）
作于，作于，在中，
由得，（10分）
在中，（11分）
由得，
（12分）
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是较强的计算能力．
选项
留空
多选
人数
11
22
4209
3934
2057
1390
占参考人数比（%）
x
…
0
3
4
…
y
…
10
3
…
型号
型
型
报价（万元／台）
20
14
选项
留空
多选
人数
11
22
4209
3934
2057
1390
占参考人数比（%）
x
…
0
3
4
…
y
…
10
3
…
型号
型
型
报价（万元／台）
20
14