2024年中考数学（山东济南）第一次模拟考试（含答案）

这是一份2024年中考数学（山东济南）第一次模拟考试（含答案），共47页。试卷主要包含了若点都在反比例函数等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．图1所示的正五棱柱，其俯视图是（ ）
A． B．C． D．
2．2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．国家主席习近平在主旨演讲中声明：“本届高峰论坛期间举行的企业家大会达成了972亿美元的项目合作协议．”将972亿美元用科学记数法表示成元，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C． D．
5．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
6．三张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到三张上部图片和三张下部图片，把三张上部图片放入一个布袋，把三张下部图片放入另一个布袋，再分别从两个布袋中各随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．若点都在反比例函数（k为常数）的图象上，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），如图1表示的是的计算过程，则图2表示的过程是在计算（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在中，，，点为边上一动点不与点、重合，垂直交于点，垂足为点，连接并延长交于点，下面结论正确的个数是（ ）
①若是边上的中线，则；②若平分，则；③若，则；④的最小值为．
A．B．C．D．
10．直线和抛物线（a，b是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论：
①抛物线的对称轴是直线
②抛物线与x轴一定有两个交点
③关于x的方程有两个根，
④若，当或时，
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③D．①④
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．因式分解： ．
12．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．则布袋里红球有 个.
13．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ．
14．如图，在半径为，圆心角等于的扇形内部作一个正方形，使点在上，点在上，点在上，则阴影部分的面积为 ．
15．如图，在菱形中，边长为，，E，F分别是边上的点，且，若将沿着折叠，使得点B恰好落在边上的点处，，折痕为，则的长为 ．
16．如图，点的坐标为，点从原点出发，以每秒个单位的速度沿轴向上移动，同时过点的直线也随之上下平移，且直线与直线平行，如果点关于直线的对称点落在坐标轴上，如果点的移动时间为秒，那么的值为
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
18．（6分）解不等式组：在数轴上表示出它的解集，并求出它的正整数解．
19．（6分）如图，平行四边形中，的平分线交于E，的平分线交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
20．（8分）某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角．
(1)如图2，求遮阳棚前端B到墙面的距离；
(2)如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长（结果精确到）．（参考数据：）
21．（8分）近年来，网约车给人们的出行带来了便利，林林和数学兴趣小组的同学对“美团”和“滴滴”两家网约车公司司机月收入进行了一项抽样调查，收集了两家公司各10名司机月收入情况（单位：千元）：
滴滴司机：4 5 9 10 4 5 5 5 4 9
美团司机：4 5 7 8 6 7 6 5 6 6
整理数据：画出统计表和统计图，如图所示：
“滴滴”网约车司机收入频数分布表：
根据以上信息，分析数据如表：
(1)请求出a的值；
(2)b＝ ；m＝ ；圆心角n＝ °；
(3)林林的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是林林，请从平均数、中位数，众数，方差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并建议他的叔叔选择哪家公司？
22．（8分）如图，是的直径，是上的两点，且，交于点，点在的延长线上，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，．
①求的长；
②求的半径．
23．（10分）某文具店准备购甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如下表：
已知花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等．
(1)求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元．
(2)若该文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元．
(3)文具店为了吸引客源．准备下次再购进一种进价为12（元/支）的丙水笔，预算用1500元购进这三种水笔若干支（三种笔都需购买），其中甲水笔与乙水笔的数量之比为1∶2，则该文具店至多可以购进这三种水笔共多少支．
24．（10分）阅读材料：“三等分角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，如图1，步骤如下：
①建立直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点O重合，角的一边与x轴正方向重合；
②在直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P；
③以P为圆心、以为半径作弧，交函数的图象于点R；
④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点M，点Q；
⑤连接，得到．则．
思考问题：
(1)设，，求直线的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线上；
(2)证明：．
(3)如图2，若直线与反比例函数交于点C，D为反比例函数第一象限上的一个动点，使得．求用材料中的方法求出满足条件D点坐标．
25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．
(1)求c的值及顶点M的坐标，
(2)如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G．
①当时，求的长；
②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
26．（12分）用四根一样长的木棍搭成菱形，是线段上的动点（点不与点和点 重合），在射线上取一点，连接，，使．
操作探究一
(1)如图1，调整菱形，使，当点在菱形外时，在射线上取一点，使，连接，则 ，
操作探究二
(2)如图2，调整菱形，使，当点在菱形外时，在射线上取一点，使，连接，探索与的数量关系，并说明理由；
拓展迁移
在菱形中，，．若点在直线上，点在射线上，且当时，请直接写出的长．
2024年中考第一次模拟考试（山东济南卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．图1所示的正五棱柱，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
【详解】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线，两条纵向的虚线．
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
2．2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．国家主席习近平在主旨演讲中声明：“本届高峰论坛期间举行的企业家大会达成了972亿美元的项目合作协议．”将972亿美元用科学记数法表示成元，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法：把一个绝对值大于等于10的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．根据科学记数法的定义，即可求解．
【详解】解：972亿，
故选：C．
3．如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质和垂线的定义，熟知：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据两直线平行，同旁内角互补得出，结合已知条件即可求出的度数．
【详解】解：如图所示，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的减法、完全平方公式、同底数幂的除法、负整数指数幂以及幂的乘方的运算法则逐一分析即可．
【详解】解：∵，
∴选项A不符合题意；
∵，
∴选项B不符合题意；
∵，
∴选项C符合题意；
∵，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的减法、完全平方公式、同底数幂的除法、负整数指数幂以及幂的乘方，掌握以上法则是解题的关键．
5．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意；
故选：B．
6．三张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到三张上部图片和三张下部图片，把三张上部图片放入一个布袋，把三张下部图片放入另一个布袋，再分别从两个布袋中各随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将上部三张图片分别记作、、，下部三张图片记作、、，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：将上部三张图片分别记作、、，下部三张图片记作、、，
列表如下：
由表知，共有9种等可能结果，其中这两张小图片恰好合成一张完整图片的有3种结果，
所以这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率为，
故选：B．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
7．若点都在反比例函数（k为常数）的图象上，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的特征．由可知，此函数图象在第一、三象限，根据反比例函数的性质即可判定．
【详解】解：∵，
∴反比函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴在第三象限内，在第一象限内，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
8．《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），如图1表示的是的计算过程，则图2表示的过程是在计算（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的加减运算．
由白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，即可列式计算．
【详解】解：由题意得白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，
∴图中表示的计算过程为．
故选：A．
9．如图，在中，，，点为边上一动点不与点、重合，垂直交于点，垂足为点，连接并延长交于点，下面结论正确的个数是（ ）
①若是边上的中线，则；②若平分，则；③若，则；④的最小值为．

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，得，据此判断符合题意；过点作交于点，根据题意推出是的中位线，则，根据直角三角形的性质及平行线的性质推出，，，根据相似三角形的性质即可判断不符合题意；
当时，设，则，，过点作交的延长线于点，结合题意及直角三角形的性质利用推出，根据全等三角形的性质得到，根据，判断，进而推出，根据相似三角形的性质即可判断不符合题意；根据当最短时，点为的中点，求解即可判断符合题意；
【详解】解：是边上的中线，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故正确，符合题意；
如图，过点作交的延长线于点，

，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
故正确，符合题意；
当时，设，则，
，
过点作交的延长线于点，

，
，
垂直，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
，
，
故正确，符合题意；
，
点在以为直径的圆上，
当最短时，点为的中点，
，
，
的最小值为，
故错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题是三角形综合题，考查了勾股定理、三角形面积公式、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
10．直线和抛物线（a，b是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论：
①抛物线的对称轴是直线
②抛物线与x轴一定有两个交点
③关于x的方程有两个根，
④若，当或时，
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③D．①④
【答案】B
【分析】①可得，从而可求，即可求解；②可得，由，可得，即可求解；③可判断抛物线也过，从而可得方程的一个根为，可求抛物线的对称轴为直线，从而可得抛物线与轴的另一个交点为，即可求解；④当，当时，，即可求解．
【详解】解：①直线经过点，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
故①正确；
②，
由①得，
，
，
，
抛物线与x轴一定有两个交点，
故②正确；
③当时，
，
抛物线也过，
由得
方程，
方程的一个根为，
抛物线，
，
抛物线的对称轴为直线，
与轴的一个交点为，
，
解得：，
抛物线与轴的另一个交点为，
关于x的方程有两个根，，
故③正确；
④当，当时，，
故④错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的基本性质，二次函数与一次函数交点，二次函数与不等式等，理解性质，掌握解法是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解．先提公因式，再用平方差公式法因式分解即可．
【详解】解：，
，
．
故答案为：．
12．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．则布袋里红球有 个.
【答案】1
【分析】设布袋里红球有x个，根据白球的概率列方程求解可得．
【详解】解：设布袋里红球有x个，
由题意得：，解得：，
经检验是原方程的解．
∴布袋里红球有1个，
故答案为：1．
【点睛】本题考查根据概率求球的个数，认真读懂题意是关键．
13．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程的二次项系数不为0，以及方程有两个实数根，判别式大于等于0，列出不等式进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：且，
故答案为：且．
14．如图，在半径为，圆心角等于的扇形内部作一个正方形，使点在上，点在上，点在上，则阴影部分的面积为 ．

【答案】
【分析】连接，由勾股定理可计算得正方形的边长为，则正方形的面积为，等腰直角三角形的面积为，扇形的面积为，所以阴影部分的面积为．
【详解】解：连接，则,
∵,
∴.
∴.
∴.
∴.
中，
,
∴，解得
∴
∴．
故答案为：

【点睛】本题考查扇形面积的计算，勾股定理，正方形的性质；构造直角三角形运用勾股定理是解题的关键．
15．如图，在菱形中，边长为，，E，F分别是边上的点，且，若将沿着折叠，使得点B恰好落在边上的点处，，折痕为，则的长为 ．
【答案】2
【分析】过点作，交的延长线于点G，先求出，再证明，设，则，，在中，由勾股定理得，解方程求出，则．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点G，则，
∵，
∴，
由折叠的性质得，，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴或（舍去），
∴，
故答案为：2．
【点睛】此题考查了折叠的性质、菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质、菱形的性质是解题的关键．
16．如图，点的坐标为，点从原点出发，以每秒个单位的速度沿轴向上移动，同时过点的直线也随之上下平移，且直线与直线平行，如果点关于直线的对称点落在坐标轴上，如果点的移动时间为秒，那么的值为

【答案】或/3或2
【分析】过点作直线，交轴于点，交轴于点，与直线相交于点，则点、为点在坐标轴上的对称点，过点作轴于点，设直线的解析式为，由直线与直线平行可得，即可证明与均为等腰直角三角形，进而可求出点、的坐标，根据中点坐标公式可求出和的中点坐标，代入可求出值，即可得点坐标，即可求解．
【详解】如图，过点作直线，交轴于点，交轴于点，与直线相交于点，则点、为点在坐标轴上的对称点．

直线与直线平行，
设直线解析式为，
过点作轴于点，则，，
直线的解析式为，
，
，
与均为等腰直角三角形，
，，
，，，．
，，，，
线段中点坐标为，．
直线过点，，
，
解得：，
点坐标为，，
．
，，，，
线段中点坐标为，．
直线过点，，
，
解得：，
点坐标为，，
．
点关于的对称点，当时，落在轴上，当时，落在轴上．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与几何变换．注意在轴、轴上均有点的对称点，不要漏解；其次注意点、坐标以及线段中点坐标的求法．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算：．
【答案】3
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，实数的混合运算．先化简各式，再进行加减运算即可．掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键．
【详解】解：原式
．
18．解不等式组：在数轴上表示出它的解集，并求出它的正整数解．
【答案】；数轴见解析；正整数解为：1，2，3，4，5
【分析】先分别求出一元一次不等式的解集，再将其解集在数轴上表示出来，取其正整数即可求解．
【详解】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为，
其解集在数轴上表示如下：
，
∴该不等式组的正整数解为：1，2，3，4，5．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组并在数轴上表示解集，熟练掌握一元一次不等式的解法及解集在数轴上表示的方法是解题的关键．
19．如图，平行四边形中，的平分线交于E，的平分线交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见详解．
(2)13
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质知识，
（1）根据平行四边形性质和角平分线性质可得，．即可得到，．即可求证结论．
（2）过点A作，垂足为H，利用，可计算出的长度，结合（1）即可求出长度．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形．
∴，，．
∴，．
∵是的平分线，是的平分线．
∴，．
∴，．
∴，．
∴．
∴．
∴．
（2）过点A作，垂足为H，如图：
由（1）知，且，，
∴， ．
∵，
∴，
∴，．
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
20．某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角．

(1)如图2，求遮阳棚前端B到墙面的距离；
(2)如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长（结果精确到）．（参考数据：）
【答案】(1)遮阳棚前端B到墙面的距离约为
(2)遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长约为
【分析】（1）作于E，在中，根据列式计算即可；
（2）作于E，于H，延长交于K，则，可得四边形，四边形是矩形，解直角三角形求出，可得，然后中，解直角三角形求出，进而可得的长．
【详解】（1）解：如图3，作于E，
在中，，即，
∴，
答：遮阳棚前端B到墙面的距离约为；
（2）解：如图3，作于E，于H，延长交于K，则，

∴四边形，四边形是矩形，
由（1）得，
∴，
在中，，即，
∴，
由题意得：，
∴，
∴，
在中，，即，
∴，
∴，
答：遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，作出合适的辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
21．近年来，网约车给人们的出行带来了便利，林林和数学兴趣小组的同学对“美团”和“滴滴”两家网约车公司司机月收入进行了一项抽样调查，收集了两家公司各10名司机月收入情况（单位：千元）：
滴滴司机：4 5 9 10 4 5 5 5 4 9
美团司机：4 5 7 8 6 7 6 5 6 6
整理数据：画出统计表和统计图，如图所示：
“滴滴”网约车司机收入频数分布表：
根据以上信息，分析数据如表：
(1)请求出a的值；
(2)b＝ ；m＝ ；圆心角n＝ °；
(3)林林的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是林林，请从平均数、中位数，众数，方差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并建议他的叔叔选择哪家公司？
【答案】(1)6
(2)5，40，72
(3)选“美团”，见解析
【分析】本题考查了统计的有关知识，解题的关键是掌握相关定义与有关的计算公式．
（1）根据加权平均数的计算公式可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，用乘平均月收入7千元所占比例可得圆心角n的度数；
（2）根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可．
【详解】（1）解：“美团”的平均月收入，
故答案为:6；
（2）“滴滴”网约车司机收入的中位数，
“美团”网约车公司司机月收入中，“6千元”对应的百分比为，
圆心角n的度数为：．
故答案为：5，40，72；
（3）选“美团”，理由如下：
因为平均数一样，“美团”的中位数、众数大于“滴滴”的，且“美团”的方差小，更稳定．
22．如图，是的直径，是上的两点，且，交于点，点在的延长线上，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，．
①求的长；
②求的半径．
【答案】(1)见解析；
(2)①5；②．
【分析】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形．
（1）利用圆周角定理，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）①利用等腰三角形的三线合一和直角三角形的性质求出，，在中，利用余弦的定义进行计算即可；②在中，利用余弦的定义求出，即可得到答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
．
为的直径，
，
，
．
，
，
是圆的半径，
是的切线；
（2）解：①由（1）得：，
是的直径，
，
，
，
，
在中，，
；
②在中，，
在中，，
，
的半径为．
23．某文具店准备购甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如下表：
已知花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等．
(1)求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元．
(2)若该文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元．
(3)文具店为了吸引客源．准备下次再购进一种进价为12（元/支）的丙水笔，预算用1500元购进这三种水笔若干支（三种笔都需购买），其中甲水笔与乙水笔的数量之比为1∶2，则该文具店至多可以购进这三种水笔共多少支．
【答案】(1)甲、乙两种水笔每支进价分别为5元、10元
(2)购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元
(3)169支
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，根据题意找出等量关系，列出方程，函数关系式，以及不等式，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）根据“花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等”列出方程求解即可；
（2）设利润为w元，甲种水笔购进x支，根据题意找出等量关系，列出一次函数表达式，根据一次函数的增减性，即可解答；
（3）设购进甲种水笔m支，则购进乙种水笔支，一共购进n支水笔，列出方程化简，得，根据，推出，再结合m、n均为正整数，得出当时，n取得最大值，此时，即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
∴，
答：甲，乙两种水笔每支进价分别为5元、10元；
（2）解：设利润为w元，甲种水笔购进x支，
，
∵，
∴w随x的增大而增大，
∵购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，
∴，
解得，
∵x为整数，
∴当时，w取得最大值，此时，，
答：该文具店购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元；
（3）解：设购进甲种水笔m支，则购进乙种水笔支，一共购进n支水笔，
，
化简，得
，
∵，
∴，
∴，
∵m、n均为正整数，
∴当时，n取得最大值，此时，
即该文具店至多可以购进这三种水笔共169支．
24．阅读材料：“三等分角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，如图1，步骤如下：
①建立直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点O重合，角的一边与x轴正方向重合；
②在直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P；
③以P为圆心、以为半径作弧，交函数的图象于点R；
④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点M，点Q；
⑤连接，得到．则．
思考问题：
(1)设，，求直线的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线上；
(2)证明：．
(3)如图2，若直线与反比例函数交于点C，D为反比例函数第一象限上的一个动点，使得．求用材料中的方法求出满足条件D点坐标．
【答案】(1)，证明见解析
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）由轴，轴，，，即可得出M点的坐标，即可，再将点Q的坐标代入解析式即可判断点Q是否在直线上；
（2）连接，交于点S，由矩形的性质和平行线的性质即可得到结论；
（3）先求出点，可得，然后分两种情况讨论：当D点在下方时，当D点在上方时，即可求解．
【详解】（1）解：设直线的函数表达式为，
由题意得：，
∴四边形为矩形，
∵，，
∴，，
把点代入得：，
∴直线的函数表达式为，
∵的坐标满足，
∴点Q在直线上；
（2）解：连接，交于点S，

由题意得四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴．
∴，
∵轴，
∴，
∴，即．
（3）解：∵直线与反比例函数交于点C，
∴，解得：或（舍去），
∴，
∴，
当D点在下方时，如图，以C为圆心，为半径画弧，交反比例函数于点E，作轴，作轴，连接并延长交反比例与点F，作，连接，与交于点H，，，，
作于I，则，，，
，
则，，
即，
同理，当D点在上方时，有．

【点睛】此题在考查三等分角的作法时，综合考查了待定系数法求函数解析式的方法、矩形的性质以及三角形外角的性质等，综合性较强．
25．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．

(1)求c的值及顶点M的坐标，
(2)如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G．
①当时，求的长；
②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，顶点M的坐标是
(2)①1；②存在，或
【分析】（1）把代入抛物线的解析式即可求出c，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标；
（2）①先判断当时，，的坐标分别是，，再求出，时点Q的纵坐标与点P的纵坐标，进而求解；
②先求出，易得P，Q的坐标分别是，，然后分点G在点Q的上方与点G在点Q的下方两种情况，结合函数图象求解即可．
【详解】（1）∵二次函数的图象与y轴的交点坐标为，
∴，
∴，
∴顶点M的坐标是．
（2）①∵A在x轴上，B的坐标为，
∴点A的坐标是．
当时，，的坐标分别是，．
当时，，即点Q的纵坐标是2，
当时，，即点P的纵坐标是1．
∵，
∴点G的纵坐标是1，
∴．
②存在．理由如下：
∵的面积为1，，
∴．
根据题意，得P，Q的坐标分别是，．
如图1，当点G在点Q的上方时，，
此时（在的范围内），

如图2，当点G在点Q的下方时，，
此时（在的范围内）．
∴或．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
26．用四根一样长的木棍搭成菱形，是线段上的动点（点不与点和点 重合），在射线上取一点，连接，，使．
操作探究一

(1)如图1，调整菱形，使，当点在菱形外时，在射线上取一点，使，连接，则 ，
操作探究二
(2)如图2，调整菱形，使，当点在菱形外时，在射线上取一点，使，连接，探索与的数量关系，并说明理由；
拓展迁移
(3)在菱形中，，．若点在直线上，点在射线上，且当时，请直接写出的长．
【答案】(1)，
(2)，理由见解析
(3)的长度为或
【分析】（1）证明得到，，从而得到，推出为等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可得到答案；
（2）证明得到，，从而得到，作交于，则，，根据含角的性质及勾股定理得出，从而得到；
（3）当时，点和点重合，再分两种情况：当点在线段的延长线时，过点作于点；当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点；利用等腰直角三角形的性质以及锐角三角形函数进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，，
故答案为：，；
（2）解：，
理由如下：
四边形是菱形，，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
如图，作交于，则，，

在中，，，
，
，
；
（3）解：当时，点和点重合，
如图，当点在线段的延长线时，过点作于点，

设，
，，
为等腰直角三角形，
，
四边形是菱形，，，，
，，
由菱形的对称性及可得，
在中，，，
，
，
，
，
；
如图，当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点，

设，同①可得：，，
，
，
，
综上所述，的长度为或．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、菱形的性质、正方形的性质、锐角三角函数、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
月收入
4千元
5千元
9千元
10千元
人数（个）
3
4
2
1
平均月收入/千元
中位数
众数
方差
“滴滴”
6
b
5
6.2
“美团”
a.
6
6
1.2
甲水笔
乙水笔
每支进价（元）
a
每支利润（元）
2
3
月收入
4千元
5千元
9千元
10千元
人数（个）
3
4
2
1
平均月收入/千元
中位数
众数
方差
“滴滴”
6
b
5
6.2
“美团”
a.
6
6
1.2
甲水笔
乙水笔
每支进价（元）
a
每支利润（元）
2
3