2024年中考数学（南通）第一次模拟考试（含答案）

这是一份2024年中考数学（南通）第一次模拟考试（含答案），共33页。试卷主要包含了如图，在中，，，等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．的倒数是（ ）
A．B．C．2024D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示放置的正三棱柱的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，，直线分别交，于点，，平分，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．某中学篮球队12名队员的年龄情况如下表，关于这12名队员的年龄，下列说法中正确的是（ ）
A．众数为14B．极差为3C．中位数为13D．平均数为14
6．如图，函数和的部分图像与直线分别交于、两点，如果的面积是，则的值为（ ）
A．B．C．D．
第6题图 第8题图 第9题图
7．《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有升，薄酒有升，根据题意列方程组为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，是的直径，是的切线，为切点，的延长线交直线于点，连接，．若，，则的长度是（ ）
A．B．C．D．
9．如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
10．如图，在中，，，．现在内叠放边长为1的小正方形纸片，第一层小纸片的一条边都在上，首尾两个正方形各有一个顶点，分别在，上，依次这样叠放上去，则最多能叠放多少？（ ）
A．16个B．13个C．14个D．15个
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8小题，11～12题每小题3分，13～18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．计算：的值为 ．
12．世界上最大的沙漠撒哈拉沙漠，位于非洲北部，面积约 906万平方千米，该地区气候条件非常恶劣，是地球上最不适合生物生存的地方之一．数据906万用科学记数法表示为
13．分解因式： ．
14．如图，，若，，则的大小为 ．

第14题图 第16题图 第17题图
15．点在函数的图象上，则代数式的值等于 ．
16．如图，菱形中，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧相交于，两点．若，，则图中阴影部分的；面积为 ．（结果不取近似值）
17．图1为手机支架实物图，图2为它的侧面示意图，“型”托架用于放置手机，支架两端分别与托架和底座（其厚度忽略不计）相连，支架端可调节旋转角度，已知，，支架调整到图2位置时，，．因实际需要，现将支架端角度调整为，如图3所示，则点的位置较原来的位置上升高度为 ．
18．如图，在中，，，以点为直角顶点、为直角边向下作直角，且，连接，则的最大值是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（10分）（1）解方程：；
（2）解不等式组： ．
20．（10分）、、、四名选手参加赛跑，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机抽签方式决定各自的跑道，请用画树状图或列表的方法，求、两位选手抽中相邻跑道的概率．
21．（10分）根据我市体育中考“3+1+1+1”模式，“跳绳”作为中考体育必考项目之一．我校为了了解今年九年级学生跳绳的水平，随机抽取部分九年级学生的测试成绩按、、四个等级进行统计，制成了如图所示的两幅不完整的统计图.
请你根据所给信息，解答下列问题
(1)求随机抽取的总人数；
(2)求扇形统计图中等级所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；
(3)若我校九年级共有学生人，请求出取得等级的学生人数．
22．（10分）如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，且，，求四边形的面积．
23．（11分）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加元（x为整数）．
(1)直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式；
(2)某日，宾馆了解当天的住宿的情况，发现当日所获利润为8000元，每个房间刚好住满2人，且当天房间支出不少于500元，问这天宾馆入住的游客有多少人？
(3)设宾馆每天的利润为w元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？
24．（12分）如图，是的直径，点D是的中点，，且，与交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若 ，求的长；
(3)延长，交于点F，若，求的半径．
25．（13分）【概念认识】定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）如图1，已知在垂等四边形中，对角线与交于点E，若，，，则的长度＝______cm．
【数学理解】（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李想到可以利用八年级的所学三角形全等．如图2，在中，已知是弦，是半径，求作：的内接垂等四边形．（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹）
【问题解决】（3）如图3，已知A是上一定点，B为上一动点，以为一边作出的内接垂等四边形（A、B不重合且A、B、O三点不共线），对角线与交于点E，的半径为，当点E到的距离为时，求弦的长度．
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点C，其中，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点是直线下方抛物线上一动点，点是线段上一动点，直线交轴于点．若，求的最大值及此时点的坐标；
(3)另有抛物线的顶点在线段上，经过点，将抛物线平移得到新的抛物线，点，平移后的对应点分别是点，连接．若轴，点在轴上，经过点，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
2024年中考第一次模拟考试（南通卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．的倒数是（ ）
A．B．C．2024D．
【答案】B
【解析】解：∵，
∴的倒数是，
故选：B．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：A、与不能合并，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D．，符合题意．
故选：C．
3．如图所示放置的正三棱柱的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：如图所示的正三棱柱的俯视图是
故选：A．
4．如图，，直线分别交，于点，，平分，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：∵，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
5．某中学篮球队12名队员的年龄情况如下表，关于这12名队员的年龄，下列说法中正确的是（ ）
A．众数为14B．极差为3C．中位数为13D．平均数为14
【答案】A
【解析】解：A、14岁的人数最多，故众数为14，选项正确；
B、极差为：，选项错误；
C、第6个和第7个数据均为14，故中位数为14，选项错误；
D、平均数为，选项错误；
故选A．
6．如图，函数和的部分图像与直线分别交于、两点，如果的面积是，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：记交轴于点，如图所示：
由知，,
的面积是，
,
，
，
故选：B．
7．《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有升，薄酒有升，根据题意列方程组为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：根据好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，列出方程组得：
故选：D．
8．如图，是的直径，是的切线，为切点，的延长线交直线于点，连接，．若，，则的长度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：连接，
∵是的切线，为切点，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，，
∴，
∴．
故选：A
9．如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ）

A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解析】解：由图2可知，当P点位于B点时，，即，
当P点位于E点时，，即，则，
∵，
∴，
即，
∵
∴，
∵点为的中点，∴，
故选：C．
10．如图，在中，，，．现在内叠放边长为1的小正方形纸片，第一层小纸片的一条边都在上，首尾两个正方形各有一个顶点，分别在，上，依次这样叠放上去，则最多能叠放多少？（ ）
A．16个B．13个C．14个D．15个
【答案】A
【解析】解：作于点．
在中，，，，则由勾股定理，得．
．
则小正方形可以排4排．
最下边的一排小正方形的上边的边所在的直线与的边交于、．
∵，
，则，
解得：整数部分是7．
则最下边一排是7个正方形．
第二排正方形的上边的边所在的直线与的边交于、．
则，
解得，整数部分是5，则第二排是5个正方形；
同理：第三排是：3个；
第四排是：1个．
则正方形的个数是：．
故选：A．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8小题，11～12题每小题3分，13～18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．计算：的值为 ．
【答案】/
【解析】解：，
故答案为：．
12．世界上最大的沙漠撒哈拉沙漠，位于非洲北部，面积约 906万平方千米，该地区气候条件非常恶劣，是地球上最不适合生物生存的地方之一．数据906万用科学记数法表示为
【答案】
【解析】906万．
故答案为：．
13．分解因式： ．
【答案】
【解析】解：
．
14．如图，，若，，则的大小为 ．
【答案】/40度
【解析】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．点在函数的图象上，则代数式的值等于 ．
【答案】
【解析】∵点在函数的图象上，
∴，即，
∴，
故答案为：．
16．如图，菱形中，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧相交于，两点．若，，则图中阴影部分的；面积为 ．（结果不取近似值）
【答案】
【解析】解：连接，
四边形是菱形，
，，
、都是等边三角形，
，
，
，
故答案为：
17．图1为手机支架实物图，图2为它的侧面示意图，“型”托架用于放置手机，支架两端分别与托架和底座（其厚度忽略不计）相连，支架端可调节旋转角度，已知，，支架调整到图2位置时，，．因实际需要，现将支架端角度调整为，如图3所示，则点的位置较原来的位置上升高度为 ．
【答案】
【解析】解：如图2，过点作交于点，过点作交于点，过点作于点，如图3，延长交于点
旋转前如图3：
∵，，，
∴，
∵,，
∴，
∵，
∴在和中，
，
，
故点到的距离为：，
旋转后如图3：
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
，
故，
点的位置较原来的位置上升高度为: ，
故答案为：
18．如图，在中，，，以点为直角顶点、为直角边向下作直角，且，连接，则的最大值是 ．

【答案】
【解析】解：如图，作，使，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴当点C，点A，点E共线时，有最大值，
∴的最大值为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（1）解方程：
（2）解不等式组：
【解析】解：（1）
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为.
20．、、、四名选手参加赛跑，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机抽签方式决定各自的跑道，请用画树状图或列表的方法，求、两位选手抽中相邻跑道的概率．
【解析】画树状图表示两位选手抽中赛道的情况如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，其中两位选手抽中相邻跑道的结果有，共6种，
∴两位选手抽中相邻跑道的概率为．
21．根据我市体育中考“3+1+1+1”模式，“跳绳”作为中考体育必考项目之一．我校为了了解今年九年级学生跳绳的水平，随机抽取部分九年级学生的测试成绩按、、四个等级进行统计，制成了如图所示的两幅不完整的统计图.
请你根据所给信息，解答下列问题
(1)求随机抽取的总人数；
(2)求扇形统计图中等级所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；
(3)若我校九年级共有学生人，请求出取得等级的学生人数．
【解析】（1）根据题意，得（人）．
（2）扇形统计图中等级所在扇形的圆心角度数为，
等级人数为（人），
补全条形统计图如图：
（3）（人）
答：全校有达到A等级的学生有144人．
22．如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，，．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，且，，求四边形的面积．
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
∵，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
（2）解：四边形是矩形，
，
，，
在中，由勾股定理得：
，
，
四边形为菱形．
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
，
，
．
23．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加元（x为整数）．
(1)直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式；
(2)某日，宾馆了解当天的住宿的情况，发现当日所获利润为8000元，每个房间刚好住满2人，且当天房间支出不少于500元，问这天宾馆入住的游客有多少人？
(3)设宾馆每天的利润为w元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？
【解析】（1）解：（且为整数）
（2）设每个房间房价增加元，根据题意，得：，
化简，得；
解得：．
∵，
解得：，
∴这天宾馆入住的游客有人．
答：这天宾馆入住的游客有人．
（3）设每天所获利润为元，根据题意可知，．
∵二次项系数，
∴当时，取得最大值，即．
此时每间房间定价为（元）．
答：当每间房间定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润为9000元．
24．如图，是的直径，点D是的中点，，且，与交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若 ，求的长；
(3)延长，交于点F，若，求的半径．
【解析】（1）证明：∵为直径，点C在圆上，
∴，
∴，
又，
∵，
∴，
∴，
∴，即，又点A在上
∴是的切线；
（2）连接，∵点D是的中点，
∴，
∴，
∵为直径，点D在圆上，
∴，
而，
∴，
在中，，
∴；
（3）连接，
∵，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，而，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
，
，而，
∴．
25．【概念认识】定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）如图1，已知在垂等四边形中，对角线与交于点E，若，，，则的长度＝______cm．
【数学理解】（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李想到可以利用八年级的所学三角形全等．如图2，在中，已知是弦，是半径，求作：的内接垂等四边形．（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹）
【问题解决】（3）如图3，已知A是上一定点，B为上一动点，以为一边作出的内接垂等四边形（A、B不重合且A、B、O三点不共线），对角线与交于点E，的半径为，当点E到的距离为时，求弦的长度．

【解析】（1）解：由垂等四边形的定义得，
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：作，分别交于点D、C，即可得到垂等四边形， 如图，

以点O为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点A、为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点D，
以点O为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点B、为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点C，
连接，四边形即为所求的垂等四边形；
（3）解：连接，由（2）可得等腰，

∴，
作，
∴，，
∵四边形是垂等四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的半径为，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：或3，
∴或3，
∵，
∴或，
作，
∵
∴，
∴，
∴ 或，
∴或．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点C，其中，抛物线的对称轴是直线．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点是直线下方抛物线上一动点，点是线段上一动点，直线交轴于点．若，求的最大值及此时点的坐标；
(3)另有抛物线的顶点在线段上，经过点，将抛物线平移得到新的抛物线，点，平移后的对应点分别是点，连接．若轴，点在轴上，经过点，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
【解析】（1）解：抛物线过点，
①，
抛物线对称轴为直线，
，
②，
将②代入①得，
解得，
抛物线的表达式为.
（2）解：过点作轴交于点，过点作于点，

由题知解析式为，
又知，
，
，
设，则，
，
，
设，则，
，
当时，的最大值为，
的最大值为，此时.
（3）解：满足条件的点坐标有．
由平移规律可知，为的中点，
，
设，
经过点，
，
设，则，
经过点，，
，
点的坐标有.

年龄/岁
12
13
14
15
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人数
1
3
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人数
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