福建省福州市闽侯县、仓山区2024—2025学年上学期八年级期中数学试卷-A4

这是一份福建省福州市闽侯县、仓山区2024—2025学年上学期八年级期中数学试卷-A4，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边的长可能是( )
A. 1B. 2C. 7D. 8
3.在中，，，如果，则( )
A. 6B. 3C. 12D.
4.若某件商品降价后的售价是a元，则这件商品降价前的售价为( )
A. B. C. D.
5.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
6.已知≌，若，，，，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，DE是AB的垂直平分线，若，，则的周长为( )
A. 10
B. 14
C. 20
D. 22
8.在中，，和的平分线相交于点O，连接AO，若，则的大小为( )
A. B. C. D.
9.等腰三角形的一个内角为，则该等腰三角形底角的度数为( )
A. B. C. D. 或
10.如图，在中，AD平分，点E在AD上，若，，的面积为48，则的面积为( )
A. 9B. 12C. 15D. 18
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.如图，图中x的值为______
12.正十二边形每个内角的度数为______.
13.如图，两艘轮船由海平面上B地出发，同时分别向北偏东和北偏西和的方向行驶120海里到达A，C两地，则A，C两地相距______海里.
14.在平面直角坐标系xOy中，若，两点关于x轴对称，则的值为______.
15.已知，，则式子的值为______.
16.如图，在中，，点E，F分别在AB，AC上，且，当的值最小时，AF的长为______.
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
计算：
18.本小题8分
已知：如图，，，且，求证：
证明：
19.本小题8分
如图，在中，，于点D，AE平分，若，求的值.
20.本小题8分
已知，，，a，b，c为正整数，求证：
21.本小题8分
如图，在中，，D，E分别是AB，AC上的点，且延长DE至点M使得，延长BC至点N使得，求证：A，M，N三点共线.
22.本小题10分
如图，在中，交BC于点
尺规作图：在射线AD上求作一点P，连接CP，使得；不写作法，保留作图痕迹
在条件下，连接BP，若，求证：
23.本小题10分
如图，在平面直角坐标系xOy中，，，，，，且
求证：是等边三角形；
如备用图，，延长CB于点E，使得连接EO并延长，交AD于点D，若，求的值用含n的式子表示
24.本小题12分
综合与实践
【探究课题】三角形重心性质的探究
【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心.取一块质地均匀的三角形纸板ABC，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态.
【提出问题】探究图1中，的值是多少？
吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题.
【解决问题】任务1：若的面积为m，求的面积.
任务2：在任务1的条件下，求的值.
【拓展应用】如图2，在中，点O是的重心.连接BO，CO并延长分别交AC，AB于点D，若，，，直接利用上面的结论，求四边形AEOD的面积.
25.本小题14分
如图，在等边中，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，连接DE，EF，且是等边三角形.
求证：；
如备用图，连接DC，BF，相交于点M，连接AM，若
①求的度数；
②判断AM和BC的位置关系，并说明理由.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查的是轴对称图形的概念，掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是关键．
2.【答案】C
【解析】解：设第三边长
根据三角形的三边关系，得
故选：
根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围解答即可．
本题主要考查三角形三边关系的知识点，此题比较简单，注意三角形的三边关系．
3.【答案】B
【解析】解：如图，
，，
，
故选：
根据直角三角形的性质：的锐角所对的直角边等于斜边的一半即可求解．
此题考查了含角的直角三角形的性质，正确掌握含角的直角三角形定理是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：，
故选：
根据题意得到，商品原价的是售价a元，用除法即可表示出售价．
本题考查了列代数式，解题的关键是用百分数除法来解答．
5.【答案】B
【解析】解：，不是同类项，不能合并，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B.，此选项的计算正确，故此选项符合题意；
C.，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
D.，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
故选：
A.先根据同类项的定义判断，是不是同类项，能否合并即可；
B.根据幂的乘方法则进行计算，然后判断即可；
C.根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；
D.根据逆用积的乘方法则进行计算，然后判断即可．
本题主要考查了整式的有关运算和同类项的定义，解题关键是熟练掌握同类项定义、幂的乘方法则、同底数幂相乘法则和积的乘方法则．
6.【答案】C
【解析】解：≌，，，，，
，，，，
正确，A、B、D错误．
故选：
根据全等三角形的性质解答即可．
本题考查的是全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：是AB的垂直平分线，
，
的周长，
故选：
根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：如图，
，
，
平分，OC平分，
，，
，
，
，，
≌，
，
，
，，
，
故选：
由等腰三角形的性质推出，由角平分线定义得到，推出，判定≌，得到，求出，得到，由三角形内角和定即可求出的度数．
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线定义，关键是判定≌，推出
9.【答案】D
【解析】解：分情况讨论：
①等腰三角形的顶角为，
等腰三角形的底角为，
②等腰三角形的底角为，
综上所述，等腰三角形底角的度数为或，
故选：
分情况讨论：①等腰三角形的顶角为，②等腰三角形的底角为，分别求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：如图，过点D作于F，于G，
平分，，，
，
，
的面积为48，
的面积为18，
，
，
的面积为：，
故选：
过点D作于F，于G，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式计算即可．
本题考查的是角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
11.【答案】37
【解析】解：，
故答案为：
根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．
本题考查了三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
12.【答案】
【解析】首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解．
解：正十二边形的每个外角的度数是：，
则每一个内角的度数是：
故答案为：
本题考查了多边形的计算，掌握多边形的外角和等于360度，正确理解内角与外角的关系是关键．
13.【答案】120
【解析】解：连接AC，
由题意得：，海里，
是等边三角形，
海里，
，C两地相距120海里，
故答案为：
连接AC，根据题意可得：，海里，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得海里，即可解答．
本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
14.【答案】8
【解析】解：，两点关于x轴对称，
，，
解得，，
故答案为：
根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
15.【答案】
【解析】解：已知①，②，
②①得：，
整理得：，
则，
故答案为：
将第二个式子乘以2再与第一个式子作差后进行整理即可求得答案．
本题考查代数式求值及整式的加减，结合已知条件求得是解题的关键．
16.【答案】2
【解析】解：在AB上截取，连接CD，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
取AB的中点O，连接CO并延长至点M，使，连接DM，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
当点D与点O重合，即点D、C、M三点共线时取“=”，此时取得最小值，最小值为CM的长，
此时，
，
当的值最小时，AF的长为
故答案为：
在AB上截取，连接CD，证明≌，得，，取AB的中点O，连接CO并延长至点M，使，连接DM，证明≌，得，继而得到，当点D与点O重合，即点D、C、M三点共线时取“=”，此时取得最小值，最小值为CM的长，此时，可得结论．
本题考查全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形三边关系定理，两点之间线段最短，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．
17.【答案】解：原式

【解析】先根据同底数幂相乘法则、幂的乘方法则和积的乘方法则计算乘法和乘方，最后合并同类项即可．
本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、幂的乘方法则和积的乘方法则．
18.【答案】证明：，
，
，
，
在和中，
，
≌，

【解析】证明≌，根据全等三角形的对应边相等解答即可．
本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形的对应边相等，要牢固掌握并灵活运用这些知识．
19.【答案】解：，
，
平分，
，
，
，

【解析】先利用等腰三角形的性质可得：，再利用角平分线的定义可得：，然后根据垂直定义可得：，从而利用直角三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
20.【答案】证明：，，，
，，，
，
，

【解析】先根据已知条件和幂的乘方法则，求出，，，再根据同底数幂相乘法则证明结论即可．
本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握幂的乘方法则和同底数幂相乘法则．
21.【答案】证明：连接AM，AN，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
和AN重合，
，M，N三点共线．
【解析】连接AM，AN，判定≌，推出，由平行线的性质推出，求出，得到，而，，判定≌，推出，得到，因此AM和AN重合，即可证明A，M，N三点共线．
本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，关键是判定≌，推出，判定≌，推出
22.【答案】解：图形如图所示；
证明：平分，，，
，，
，
≌，
，，
，，
≌，
，
，

【解析】延长AC到T，作的角平分线CM，射线CM交AD的延长线于点P，点P即为所求；
过点P作于点H，证明，即可．
本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
23.【答案】证明：，，，，，
，轴，，
在中，，
，，
，
轴，
，
是等边三角形；
解：过点E作轴于F，过点D作轴于H，如图所示：
则，
是等边三角形，轴，，
，，，
在中，，，
，
，
轴，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，

【解析】根据，，得，轴，，在中，根据得，，进而得，，据此即可得出结论；
过点E作轴于F，过点D作轴于H，根据得，则，，证明和全等得，再求出得，由此可得出的值．
此题主要考查了等边三角形的判定与性质，含有角的直角三角形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，理解等边三角形的判定与性质，含有角的直角三角形的性质，熟练掌握坐标与图形，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
24.【答案】解：【解决问题】任务1：点O为的重心，
，E，F分别是BC，AB，AC边上的中点，
，，
，
；
任务2：由题意可知，，
，
，
与同高，
，
即；
【拓展应用】点O是的重心，类比任务1，任务2可知，
，，
，，，，
，
，，
则，

【解析】【解决问题】任务1：根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出；
任务2：结合任务1可知，再根据与同完即可求解；
【拓展应用】点O是的重心，类比任务1，任务2可知，，求得，，，，再根据，，，即可求解．
本题考查三角形的综合应用，主要考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算，掌握三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算是解题的关键．
25.【答案】证明：是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
≌，
；
①解：如图2，设CD与EF交于点O，
是等边三角形，
，
，
，，
，
≌，
，
由知：，
，
，
；
②解：，理由如下：
由①知：≌，
，
，
，
，
是BC的垂直平分线，