2024年中考数学（江西）押题预测卷二（含答案）

这是一份2024年中考数学（江西）押题预测卷二（含答案），共43页。试卷主要包含了因式分解等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列四个数中，最小的数是（ ）
A．B．C．D．
2．下列计算错误的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，边长为4的正方形的边上一动点，沿的路径匀速移动，设点经过的路径长为，三角形的面积是，则变量与变量的关系图象正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
7．因式分解： ．
8．2020年10月9日23时，在我国首次火星探测任务飞行控制团队的控制下，“天问一号”探测器主发动机点火工作480余秒，顺利完成深空机动．此次轨道机动在距离地球大约2940万千米的深空实施，是“天问一号”第三次开启发动机进行变轨控制，也是本次火星探测任务到目前为止难度最大的一次．数据2940万用科学记数法表示为 ．
9．若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值是 ．
10．甲、乙两船从相距的A，B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为；若甲、乙两船在静水中的速度均为，则根据题意可列方程为 .
11．如图，在中，，，点P是边上一点，点D是边上一点，将沿折叠，使点A落在边上的处，若，则的度数为 ．
12．如图，在矩形中，，是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，当为等腰三角形时，则的长是 .
解答题（本大题共5个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13．（1）计算：；
（2）解方程组：．
14．如图，点E、A、B、F在同一条直线上，与交于点O，已知，．求证：
(1)；
(2)．
15．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C在小正方形的顶点上．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹）
(1)如图1，作出中边上的中线．
(2)如图2，作出中边上的高．
16．某校在课后服务时间开设了丰富多彩的社团活动，每位同学只能选择一个社团参加．小军和小阳对其中的四个社团（A．航模社团、B．智能制造、C．篮球社、D．“生物圈”创新实验室）难以取舍，于是他们每人决定随机选择一个社团．
(1)小军选择“智能制造”社团的概率是______；
(2)已知A、C为室外社团，B、D为室内社团，请利用画树状图或列表的方法，求小军和小阳都选择室外社团的概率．
17．小丽为校合唱队购买服装时，商店老板给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过件，单价为元；如果一次性购买多于件，那么每增加件，购买的所有服装的单价降低元，成本为元．
(1)按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了元．请问她购买了多少件这种服装?
(2)当一次性出售多少件时，商店老板此次获得的利润（元）最大?最大是多少?
四、解答题（本大题共3个小题，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．某校对七、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：
收集数据：
从七、八两个年级中各抽取12名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：
七年级：88 98 99 82 86 88 78 85 88 96 76 88
八年级：94 99 87 88 94 93 94 92 87 94 99 78
整理数据：
说明：成绩90分及以上为优秀，80～90分（不含90分）为良好，70～80分（不含80分）为及格．
分析数据：
解决问题：
(1)直接写出m，n的值：__________，____________；
(2)根据以上数据的整理和分析，你认为哪个年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；
(3)若八年级共有240名学生，请你估计该校八年级体质健康测试成绩优秀的学生人数．
19．如图（1）是一台灯，它可以灵活调节高度，图（2）、图（3）是它的抽象示意图、其中MN是桌面、底座OA始终垂直MN，点A，B，C处可转动，CD始终平行桌面MN．现测得 OA=1cm．AB=36cm，BC=32cm．
(1)如图（2）当AB与MN垂直，∠ABC=150°时，求点D到桌面MN的距离（结果精确到0.1）．
(2)如服（3），将（1）中的AB绕点A逆时针旋转，使得∠OAB=150°，当点D到桌面MN的距离为50cm时，求∠ABC的大小．
（结果精确到0.1，参考数据：sin 55.9°≈0.83，cs 55.9°≈0.56，sin 34.1°≈0.56，cs 34.1°≈0.83）
20．如图，在直角坐标系中，直线与双曲线分别相交于第二、四象限内的，两点，与x轴相交于C点，与y轴相交于D点．已知，．
(1)点C坐标是______，点D坐标是______；
(2)求，对应的函数表达式；
(3)求的面积．
五、解答题（本大题共2个小题，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21．如图，是的外接圆，，，交的延长线于点D，交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
22．如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F．
（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则的值为 ；
（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值；
（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论．
六、解答题（本大题共12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
23．如图，抛物线与轴交于 、两点（点在点左边），与 轴交于点．直线经过、两点，点是抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点在下方运动时，求面积的最大值．
(3)连接，把沿着轴翻折，使点落在的位置，四边形 能否构成菱形，若能，求出点的坐标，如不能，请说明理由；
(4)把抛物线向上平移1.5个单位，再向左平移个单位，使顶点落在内部，求直接写出点的取值范围．
2024年中考押题预测卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列四个数中，最小的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先将各数化为最简，再根据正数大于零，负数小于零，两个负数绝对值大的反而小进行比较即可．
【详解】解：，，，，且，
，
最小的数是，
故选：D．
【点睛】本题考查了相反数的意义、绝对值的意义、有理数的乘方、有理数的比较大小，熟练掌握有理数的比较大小的方法：正数大于零，负数小于零，两个负数绝对值大的反而小是解题的关键．
2．下列计算错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据有理数减法，除法，乘除混合计算和有理数的乘方计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、，计算正确，不符合题意；
B、，计算错误，符合题意；
C、，计算正确，不符合题意；
D、，计算正确，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了有理数减法，除法，乘除混合计算和有理数的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意，
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意，
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意，
D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案．
【详解】A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．如图，边长为4的正方形的边上一动点，沿的路径匀速移动，设点经过的路径长为，三角形的面积是，则变量与变量的关系图象正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据动点在正方形各边上的运动状态分类讨论三角形的面积随着的变化而变化规律．
【详解】动点在运动过程中，分为以下四个阶段
①当时，点在上运动，的值为；
②当时，点在上运动，，随着的增大而增大；
③当时，点在上运动，，不变；
④当时，点在上运动，，随着的增大而减小；
故选：B
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像，能够发现随着的变化而变化的趋势是解本题的关键．
6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】①正确，根据抛物线的位置判断即可；②正确，利用对称轴公式，可得b＝﹣4a，可得结论；③错误，应该是x＞2时，y随x的增大而增大；④正确，判断出k＞0，可得结论；⑤正确，设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，可得M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．利用相似三角形的性质，构建方程求出a即可．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴是直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a＜0
∵抛物线交y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵b＝﹣4a，a＞0，
∴b+3a＝﹣a＜0，故②正确，
观察图象可知，当0＜x≤2时，y随x的增大而减小，故③错误，
一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，
∵b＜0，
∴k＞0，此时E（k，b）在第四象限，故④正确．
∵抛物线经过（﹣1，0），（5，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），
过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．
∵AM⊥CM，
∴∠AMC＝∠KMH＝90°，
∴∠CMH＝∠KMA，
∵∠MHC＝∠MKA＝90°，
∴△MHC∽△MKA，
∴＝，
∴＝，
∴a2＝，
∵a＞0，
∴a＝，故⑤正确，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
7．因式分解： ．
【答案】
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式，即可解答．
本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，解决本题的关键是熟记提公因式法和公式法．
【详解】解；
．
故答案为：．
8．2020年10月9日23时，在我国首次火星探测任务飞行控制团队的控制下，“天问一号”探测器主发动机点火工作480余秒，顺利完成深空机动．此次轨道机动在距离地球大约2940万千米的深空实施，是“天问一号”第三次开启发动机进行变轨控制，也是本次火星探测任务到目前为止难度最大的一次．数据2940万用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】根据2940万=29400000，用科学记数法表示即可．
【详解】∵2940万=29400000，
∴2940万=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了带有单位的大数的科学记数法表示，熟练将带有单位的大数化成等价的普通数是解题的关键．
9．若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值是 ．
【答案】
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，
∴，，
∴．
故答案为：．
10．甲、乙两船从相距的A，B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为；若甲、乙两船在静水中的速度均为，则根据题意可列方程为 .
【答案】
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．设甲、乙两船在静水中的速度均为，则顺流速度为，逆流速度为，根据题意可得顺流行驶千米所用时间等于逆流所用时间，根据时间关系可得方程．
【详解】解：设甲、乙两船在静水中的速度均为，根据题意得：
，
故答案为：．
11．如图，在中，，，点P是边上一点，点D是边上一点，将沿折叠，使点A落在边上的处，若，则的度数为 ．
【答案】/60度
【分析】根据中，，，推出，根据折叠性质得到，根据，得到，推出，根据折叠性质得到．
【详解】∵在中，，，
∴，
由折叠知，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了直角三角形，折叠，平行线，解决问题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余，折叠图形全等的性质，两直线平行内错角相等的性质．
12．如图，在矩形中，，是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，当为等腰三角形时，则的长是 .
【答案】1或或
【分析】过点C作CM⊥DF，垂足为点M，判断△CDF是等腰三角形，要分类讨论，①CF=CD；②DF=DC；③FD=FC，根据相似三角形的性质进行求解．
【详解】解：①CF=CD时，过点C作CM⊥DF，垂足为点M，
则CM∥AE，DM=MF，
延长CM交AD于点G，
∴AG=GD=1，
∵AG∥EC，AE∥CG，
∴四边形AECG是平行四边形，
∴CE=AG=1，
∴当BE=1时，此时EF重合，△CDF是等腰三角形．
②DF=DC时，则DC=DF=1，

∵DF⊥AE，AD=2，
∴∠DAE=30°，
∴∠AEB=30°
则BE=
∴当BE=时，△CDF是等腰三角形；
③FD=FC时，则点F在CD的垂直平分线上，故F为AE中点．
∵AD∥BC∥FH，
∴AF=EF，
∴AD=DE
∴CE===，
∴BE=BC-CE=2-
∴当BE=2-时，△CDF是等腰三角形．
综上，当BE=1、、2-时，△CDF是等腰三角形．
故答案为1或或．
【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
解答题（本大题共5个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13．（1）计算：；
（2）解方程组：．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）原式利用算术平方根性质，绝对值的代数意义，以及乘方的意义计算即可求出值；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2），
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
则方程组的解为．
【点睛】此题考查解二元一次方程组，以及实数的运算，解决本题的关键是正确应用解方程组时的消元的思想及实数计算法则．
14．如图，点E、A、B、F在同一条直线上，与交于点O，已知，．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，解答关键是熟知全等三角形的判定方法和性质．
（1）求出，根据推出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理得出即可．
【详解】（1）证明：（1）∵，,
∴，
在和中
，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，，，
∴．
15．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C在小正方形的顶点上．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹）
(1)如图1，作出中边上的中线．
(2)如图2，作出中边上的高．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用网格找到的中点D，连接即可．
（2）延长，利用网格，作即可．
【详解】（1）如图1，即为所求．
（2）如图2，即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图、三角形的中线与高线，熟练掌握三角形的中线与高线的定义是解答本题的关键．
16．某校在课后服务时间开设了丰富多彩的社团活动，每位同学只能选择一个社团参加．小军和小阳对其中的四个社团（A．航模社团、B．智能制造、C．篮球社、D．“生物圈”创新实验室）难以取舍，于是他们每人决定随机选择一个社团．
(1)小军选择“智能制造”社团的概率是______；
(2)已知A、C为室外社团，B、D为室内社团，请利用画树状图或列表的方法，求小军和小阳都选择室外社团的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查概率公式：
（1）利用概率公式计算即可；
（2）利用画树状图求概率即可．
【详解】（1）解：由题意可知：小军选择“智能制造”社团的概率是．
故答案为：
（2）解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小军和小阳都选择室外社团的结果有4种，
所以小军和小阳都选择室外社团的概率为．
17．小丽为校合唱队购买服装时，商店老板给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过件，单价为元；如果一次性购买多于件，那么每增加件，购买的所有服装的单价降低元，成本为元．
(1)按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了元．请问她购买了多少件这种服装?
(2)当一次性出售多少件时，商店老板此次获得的利润（元）最大?最大是多少?
【答案】(1)她购买了件或件这种服装；
(2)一次性出售件时，获得的利润最大，元．
【分析】（）设购买了件这种服装且多于件，根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解；
（）设一次性出售件时，商店老板此次获得的利润最大，由题意得出关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求解；
本题考查了一元二次方程及二次函数的应用，根据题意，列出一元二次方程和二次函数的解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：设购买了件这种服装且多于件，根据题意得出，
，
解得：，，
当时，元元，符合题意；
当时，元，符合题意；
答：她购买了件或件这种服装；
（2）解：设一次性出售件时，商店老板此次获得的利润最大，
根据题意得，，
∵，
∴函数的图象的开口向下，当时，函数有最大值，最大值为，
∴一次性出售件时，商店老板此次获得的利润最大，元．
四、解答题（本大题共3个小题，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．某校对七、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：
收集数据：
从七、八两个年级中各抽取12名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：
七年级：88 98 99 82 86 88 78 85 88 96 76 88
八年级：94 99 87 88 94 93 94 92 87 94 99 78
整理数据：
说明：成绩90分及以上为优秀，80～90分（不含90分）为良好，70～80分（不含80分）为及格．
分析数据：
解决问题：
(1)直接写出m，n的值：__________，____________；
(2)根据以上数据的整理和分析，你认为哪个年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；
(3)若八年级共有240名学生，请你估计该校八年级体质健康测试成绩优秀的学生人数．
【答案】(1)93.5，88
(2)八年级学生的体质健康状况更好一些，见解析
(3)估计该校八年级体质健康测试成绩优秀的学生人数为160人
【分析】本题考查了中位数和众数的定义，用样本估计总体；
（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据八年级学生测试成绩的平均数，中位数，众数均高于七年级可知，八年级学生的体质健康状况更好一些；
（3）用八年级学生人数乘以样本中成绩优秀的学生所占的比例即可．
【详解】（1）解：∵排序后八年级测试成绩排在第六、第七名的是94分，93分，
∴八年级测试成绩的中位数；
∵七年级测试成绩中得88分的人数最多，
∴七年级测试成绩的众数，
故答案为：93.5，88；
（2）八年级学生的体质健康状况更好一些；
理由：因为八年级学生测试成绩的平均数，中位数，众数均高于七年级，
所以八年级学生的体质健康状况更好一些；
（3）（人），
答：估计该校八年级体质健康测试成绩优秀的学生人数为160人．
19．如图（1）是一台灯，它可以灵活调节高度，图（2）、图（3）是它的抽象示意图、其中MN是桌面、底座OA始终垂直MN，点A，B，C处可转动，CD始终平行桌面MN．现测得 OA=1cm．AB=36cm，BC=32cm．
(1)如图（2）当AB与MN垂直，∠ABC=150°时，求点D到桌面MN的距离（结果精确到0.1）．
(2)如服（3），将（1）中的AB绕点A逆时针旋转，使得∠OAB=150°，当点D到桌面MN的距离为50cm时，求∠ABC的大小．
（结果精确到0.1，参考数据：sin 55.9°≈0.83，cs 55.9°≈0.56，sin 34.1°≈0.56，cs 34.1°≈0.83）
【答案】(1)cm
(2)
【分析】（1）过点作于点，过点作于点，解直角三角形，进而求得，即可求得点D到桌面MN的距离；
（2）过点作于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，则四边形是矩形，三点共线，解直角三角形，求得，进而求得的长，解，可得，进而即可求得的大小．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点，
，
共线，四边形是矩形，
，
，
，
在中，，
，
，
，
点D到桌面MN的距离约为cm.
（2）解：如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，则四边形是矩形，三点共线，
，
，
，
，
点D到桌面MN的距离为50cm，，
，
，
在中，，
，
.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．如图，在直角坐标系中，直线与双曲线分别相交于第二、四象限内的，两点，与x轴相交于C点，与y轴相交于D点．已知，．
(1)点C坐标是______，点D坐标是______；
(2)求，对应的函数表达式；
(3)求的面积．
【答案】(1)，
(2)，
(3)9
【分析】(1)根据，即可分别求得；
(2) 首先把C、D点的坐标分别代入，利用待定系数法即可求得直线的表达式；再把A，B的坐标分别代入，即可求得，，据此即可求得反比例函数的表达式；
(3)由即可求得．
【详解】（1）解：，
点C坐标是，
，
点D坐标是；
（2）解：把C、D点的坐标分别代入，得
则，解得，
∴直线的表达式为，
把A，B的坐标分别代入，得，，
∴，，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（3）解：．
【点睛】本题考查了正切函数的定义，利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，求不规则图形的面积，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
五、解答题（本大题共2个小题，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21．如图，是的外接圆，，，交的延长线于点D，交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积，相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学的知识解决问题，属于中考常考题．
（1）连接，利用已知条件求证，即可求解；
（2）根据已知条件可求证，利用相似三角形的线段比可求出半径，即可求解．
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）∵且，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
22．如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F．
（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则的值为 ；
（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值；
（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论．
【答案】（1）；（2）；（3）变化.证明见解析.
【分析】（1）证明△APE≌△PCF，得PE=CF；在Rt△PCF中，解直角三角形求得的值即可；
（2）如答图1所示，作辅助线，构造直角三角形，证明△PME∽△PNF，并利用（1）的结论，求得的值；
（3）如答图2所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明△APM∽△PCN，求得；然后证明△PME∽△PNF，从而由求得的值.与（1）（2）问相比较，的值发生了变化.
【详解】（1）∵矩形ABCD，
∴AB⊥BC，PA=PC.
∵PE⊥AB，BC⊥AB，
∴PE∥BC.
∴∠APE=∠PCF.
∵PF⊥BC，AB⊥BC，
∴PF∥AB.
∴∠PAE=∠CPF.
∵在△APE与△PCF中，∠PAE=∠CPF，PA=PC，∠APE=∠PCF，
∴△APE≌△PCF（ASA）.
∴PE=CF.
在Rt△PCF中，，
∴；
（2）如答图1，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN.
∵PM⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EPM=∠FPN.
又∵∠PME=∠PNF=90°，
∴△PME∽△PNF.
∴.
由（1）知，，
∴.
（3）变化.证明如下：
如答图2，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB.
∵PM∥BC，PN∥AB，
∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN.
∴△APM∽△PCN.
∴，得CN=2PM.
在Rt△PCN中，，
∴.
∵PM⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EPM=∠FPN.
又∵∠PME=∠PNF=90°，
∴△PME∽△PNF.
∴.
∴的值发生变化.
六、解答题（本大题共12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
23．如图，抛物线与轴交于 、两点（点在点左边），与 轴交于点．直线经过、两点，点是抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点在下方运动时，求面积的最大值．
(3)连接，把沿着轴翻折，使点落在的位置，四边形 能否构成菱形，若能，求出点的坐标，如不能，请说明理由；
(4)把抛物线向上平移1.5个单位，再向左平移个单位，使顶点落在内部，求直接写出点的取值范围．
【答案】(1)
(2)当时，的值最大，最大值为
(3)四边形能构成菱形，点的坐标为或，
(4)的取值范围为
【分析】（1）先求出点，坐标，再代入抛物线解析式中，即可得出结论；
（2）过点作轴交于点，设 ，则，则
，，再求解即可；
（3）由翻折得，点关于轴对称，可得垂直平分，当垂直平分 时，四边形能构成菱形，则点的纵坐标为，代入求出 的值，即可求解；
（4）平移后抛物线的解析式为 ，然后求得直线的解析式为，由抛物线的顶点在的内部即可求得的取值范围．
【详解】（1）解：对于直线，
令，则，
∴，
令，则，
∴，
∴，
将点，坐标代入抛物线中，
得 ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：过点作轴交于点，如图所示：
设 ，则，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，最大值为；
（3）解：如图所示，
由翻折得，点关于轴对称，
∴垂直平分，
当垂直平分时，四边形能构成菱形，
∴点的纵坐标为，
当时，，
∴ ，
∴四边形能构成菱形，点的坐标为或；
（4）∵，
∴平移后抛物线的解析式为，
∴平移后抛物线的顶点坐标为，
在函数中，
当时，，
∴或，
∴，，
∵设直线的解析式，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴ ，
∴ ，
∴；
∵直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴ ，
∴ ；
综上所述，m的取值范围为．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查一次函数的应用、平移变换、翻折变换，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题成绩
年级
七年级
2
7
3
八年级
1
3
8
年级
平均数
中位数
众数
七年级
87.67
88
八年级
91.58
94
成绩
年级
七年级
2
7
3
八年级
1
3
8
年级
平均数
中位数
众数
七年级
87.67
88
八年级
91.58
94