2024年中考数学（江苏常州）押题预测卷（含答案）

这是一份2024年中考数学（江苏常州）押题预测卷（含答案），共48页。试卷主要包含了若点，因式分解等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．计算x5÷x2的结果是（ ）
A．x10B．x7C．x3D．x2
2．分式 QUOTE |?|−4?−4 的值为0，则x的值是（ ）
A．0B．﹣4C．4D．﹣4或4
3．如图是一个由8个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
4．已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则a2b+ab2的值是（ ）
A．﹣1B．﹣5C．﹣6D．6
5．2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，开幕式现场直播及相关报道在多媒体平台的总播放量约为503000000次，其中数据“503000000”用科学记数法表示为（ ）
A．50.3×107B．5.03×108C．50.3×108D．5.03×109
6．若点（﹣m，3）与点（﹣5，n）关于y轴对称，则（ ）
A．m＝﹣5，n＝3B．m＝5，n＝3C．m＝﹣5，n＝﹣3D．m＝﹣3，n＝5
7．小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
这一画图过程体现的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．两条平行线之间的距离处处相等
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
8．如图1，挂在弹簧测力计上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧测力计使铁块匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），则以下物理量：铁块受到的浮力、弹簧测力计读数，容器底部受到的液体压强、水面高度，其中两个量与时间t之间的关系大致可以用图2、图3中的图象来描述，那么对图2、图3的解读正确的是（ ）
A．图2表示弹簧测力计的读数和时间的函数图象
B．图2表示容器底部受到的液体压强和时间的函数图象
C．图2表示水面高度和时间的函数图象
D．图3表示铁块受到的浮力和时间的函数图象
第Ⅱ卷
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
9． QUOTE 116 116的算术平方根是 ．
10．因式分解：2ab2﹣4ab+2a＝ ．
11．﹣12024×（π﹣3.14）0﹣（ QUOTE ）﹣2＝ ．
12．在对物体做功一定的情况下，力F（N）与此物体在力的方向上移动的距离s（m）成反比例函数关系，其图象如图所示，点P（4，3）在图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是 m．
13．如图，将一个圆锥展开后，其侧面是一个圆心角为108°，半径为12cm的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为 cm．
14．如图，在4×4的正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将剩下的9个白色小正方形任选1个涂黑，则能使得到的新图案成为一个轴对称图形的概率为 ．
15．如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则tan∠AOB的值是 ．
16．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，∠CDB＝55°，则∠ABC＝ °．
17．如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间t（单位：s）与细线长度1（单位：m）之间满足关系 QUOTE ．当细线的长度为0.4m时，小重物来回摆动一次所用的时间是 s（结果保留小数点后一位）．
18．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D为△ABC所在平面内一点，∠BDC＝90°，以AC、CD为边作平行四边形ACDE，则CE的最小值为 ．
三．解答题（共10小题，满分84分）
19．（6分）先化简，再求值：（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣1），其中x＝﹣1．
20．（8分）解不等式组： QUOTE ，并把解集在数轴上表示出来．
21．（8分）为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t＜45”，B组“45＜t＜60”，C组“60＜t＜75”，D组“75＜t＜90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 ；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，请补全条形统计图；
（3）本次调查数据的中位数落在 组内；
（4）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
22．（8分）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号1，2，3，4，这些小球除编号外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为 ．
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大2的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）
23．（8分）如图1，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB＝∠DCE．
（1）求证：△CAB∽△CED；
（2）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）如图2，若点E落在线段AC的垂直平分线上，CD＝2，求⊙O的半径．
24．（8分）湖笔是我国非物质文化遗产，尤其以善琏湖笔最为出名．某传统手工艺品网店准备在“6.18”网购节期间实施一系列优惠活动回馈新老客户，该店针对一款原价30元/支的湖笔推出了两种优惠方案：方案一、每支按8折销售；方案二、当购买数量超过40支但不超过60支时，每多购买1支单价减少0.5元，当购买数量超过60支时，每支单价为20元．
（1）购买数量为50支时，求方案二湖笔的单价；
（2）王老师准备在该网店购买x支湖笔赠与学生留念（已知x＞40）．
①根据题意填写表：（请用含x的代数式表示）
②王老师发现选择方案二比选择方案一可节省174元，求王老师购买湖笔所付的总金额．
25．（8分）如图，已知反比例函数 QUOTE ?=?? y=kx的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（1，4），B（﹣4，n）．
（1）求n，a与b的值；
（2）若 QUOTE ，请直接写出x的取值范围；
（3）求△OAB的面积．
26．（10分）在△ABC中，P是BC边上的一动点，连接AP．
（1）如图1，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠BAP＝15°，且PC QUOTE =3+ =3+1．求：△ABP的面积．
（2）如图2，若∠BAC＝90°，AB＝AC，AP为边作等腰Rt△APE，连接BE，F是BE的中点，连接AF，猜想PE，PB，AF之间有何数量关系？并证明你的结论．
（3）如图3，作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，若∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝9﹣3 QUOTE 3 3，当DE最小时，请直接写出DE的最小值．
27．（10分）如图，已知抛物线的解析式为y QUOTE x2 QUOTE x+3，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交点于点C．
（1）请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接AC、BC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的坐标；
（3）若点P为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使|NP﹣BP|最大时点P的坐标，并请直接写出|NP﹣BP|的最大值．
28．（10分）（1）发现：如图1，正方形ABCD中，点E在CD边上，将△ADE沿AE对折得到△AFE，延长EF交BC边于点G，连接AG．证明：BG+DE＝EG．
（2）探究：如图2，矩形ABCD中AD＞AB，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，若△CDN的面积与△CMN的面积比为1：3，求 QUOTE ???? MNDN的值．
（3）拓展：如图3，在菱形ABCD中，AB＝6，E为CD边上的三等分点，∠D＝60°．将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长．
2024年中考押题预测卷【常州卷】
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．计算x5÷x2的结果是（ ）
A．x10B．x7C．x3D．x2
【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，可得答案．
【解答】解：原式＝x5﹣2＝x3，
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
2．分式 QUOTE |?|−4?−4 的值为0，则x的值是（ ）
A．0B．﹣4C．4D．﹣4或4
【分析】根据分母不为零分子为零的条件进行解题即可．
【解答】解：∵分式 QUOTE |?|−4?−4 的值为0，
∴|x|﹣4＝0且x﹣4≠0，
解得x＝﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查分式的值为零的条件，掌握分母不为零分子为零的条件是解题的关键．
3．如图是一个由8个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在主视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线．
【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4．已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则a2b+ab2的值是（ ）
A．﹣1B．﹣5C．﹣6D．6
【分析】根据根与系数的关系，可得出ab和a+b的值，再代入即可．
【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，
∴ab＝﹣3，a+b＝2，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝﹣3×2＝﹣6，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
5．2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，开幕式现场直播及相关报道在多媒体平台的总播放量约为503000000次，其中数据“503000000”用科学记数法表示为（ ）
A．50.3×107B．5.03×108C．50.3×108D．5.03×109
【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．
【解答】解：503000000＝5.03×108．
故选：B．
【点评】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
6．若点（﹣m，3）与点（﹣5，n）关于y轴对称，则（ ）
A．m＝﹣5，n＝3B．m＝5，n＝3C．m＝﹣5，n＝﹣3D．m＝﹣3，n＝5
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y），进而得出答案．
【解答】解：∵点（﹣m，3）与点（﹣5，n）关于y轴对称，
∴m＝﹣5，n＝3，
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆关于坐标轴对称点的性质是解题关键．
7．小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
这一画图过程体现的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．两条平行线之间的距离处处相等
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【解答】解：∵CM∥DN∥BE，
∴AC：CD：DE＝AM：MN：NB，
∵AC＝CD＝DE，
∴AM＝MN＝NB，
∴这一画图过程体现的数学依据是两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，尺规作图，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
8．如图1，挂在弹簧测力计上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧测力计使铁块匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），则以下物理量：铁块受到的浮力、弹簧测力计读数，容器底部受到的液体压强、水面高度，其中两个量与时间t之间的关系大致可以用图2、图3中的图象来描述，那么对图2、图3的解读正确的是（ ）
A．图2表示弹簧测力计的读数和时间的函数图象
B．图2表示容器底部受到的液体压强和时间的函数图象
C．图2表示水面高度和时间的函数图象
D．图3表示铁块受到的浮力和时间的函数图象
【分析】铁块露出水面以前，F拉+F浮＝G，浮力不变，当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，当铁块完全露出水面后，浮力为0；弹簧测力计读数为：开始一段的铁块在空气中的重量保持不变，当铁块进入水中的过程中，重量逐渐减小，直到全部进入水中，重量保持不变．
【解答】解：铁块露出水面以前，F拉+F浮＝G，浮力不变，当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，当铁块完全露出水面后，浮力为0；
弹簧测力计读数为：铁块露出水面以前，F拉+F浮＝G，浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变，当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，当铁块完全露出水面后，拉力等于重力，故图2表示弹簧测力计的读数和时间的函数图象．
故选：A．
【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合和分类讨论的数学思想解答．
第Ⅱ卷
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
9． QUOTE 116 116的算术平方根是 QUOTE 12 12 ．
【分析】先计算 QUOTE 116 116的值，再根据算术平方根的概念解答即可．
【解答】解： QUOTE 116=14 116=14，
∴ QUOTE 14 14的算术平方根是： QUOTE 14=12 14=12，
故答案为： QUOTE 12 12．
【点评】此题考查的是算术平方根，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
10．因式分解：2ab2﹣4ab+2a＝ 2a（b﹣1）2 ．
【分析】提公因式后利用完全平方公式计算即可．
【解答】解：原式＝2a（b2﹣2b+1）
＝2a（b﹣1）2，
故答案为：2a（b﹣1）2．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
11．﹣12024×（π﹣3.14）0﹣（ QUOTE ）﹣2＝ ﹣10 ．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：﹣12024×（π﹣3.14）0﹣（ QUOTE ）﹣2
＝﹣1×1﹣9
＝﹣1﹣9
＝﹣10，
故答案为：﹣10．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12．在对物体做功一定的情况下，力F（N）与此物体在力的方向上移动的距离s（m）成反比例函数关系，其图象如图所示，点P（4，3）在图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是 1.2 m．
【分析】利用点P的坐标求出F QUOTE =12? =12s，当F＝10时，即F QUOTE =12?= =12s=10，求出s，即可求解．
【解答】解：设函数的表达式F QUOTE =?? =ks，
将点P的坐标代入上式得：3 QUOTE =?4 =k4，解得k＝12，
则反比例函数表达式为F QUOTE =12? =12s，
当F＝10时，即F QUOTE =12?= =12s=10，
解得s＝1.2（m），
故答案为：1.2．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
13．如图，将一个圆锥展开后，其侧面是一个圆心角为108°，半径为12cm的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为 3.6 cm．
【分析】根据弧长公式求出扇形弧长，根据圆的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：∵扇形的圆心角为108°，半径为12cm，
∴扇形弧长 QUOTE 7.2π（cm），
∴圆锥的底面周长为7.2π cm，
∴圆锥的底面半径 QUOTE 3.6（cm），
故答案为：3.6．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．
14．如图，在4×4的正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将剩下的9个白色小正方形任选1个涂黑，则能使得到的新图案成为一个轴对称图形的概率为 QUOTE 13 13 ．
【分析】根据轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合及正方形的对称轴是两条对角线所在的直线和两组对边的垂直平分线，得出结果．
【解答】解：如图所示：符合题意的图形有3种．
∴能使得到的新图案成为一个轴对称图形的概率为 QUOTE 13 13．
故答案为： QUOTE 13 13．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，此题要首先找到大正方形的对称轴，然后根据对称轴，进一步确定可以涂黑的正方形是解题关键．
15．如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则tan∠AOB的值是 1 ．
【分析】连接AB，设正方形网格中的小正方形边长为1，由勾股定理得 QUOTE ??=10 AB=10， QUOTE ??=10 OA=10， QUOTE ??=25 OB=25，再利用勾股定理得逆定理可证△OAB为直角三角形，然后根据正切函数的定义可得出答案．
【解答】解：连接AB，如图所示：
设正方形网格中的小正方形边长为1，
由勾股定理得： QUOTE ??=12+32=10 AB=12+32=10， QUOTE ??=12+32=10 OA=12+32=10， QUOTE ??=22+42=25 OB=22+42=25，
∵ QUOTE ??2+??2=(10)2+(10)2=20 AB2+OA2=(10)2+(10)2=20， QUOTE ??2=(25)2=20 OB2=(25)2=20，
∴AB2+OA2＝OB2，
∴△OAB为直角三角形，即∠OAB＝90°，
∴ QUOTE ．
【点评】此题主要考查了正切函数的定义，解答此题的关键熟练掌握正切函数的定义，难点是是根据网格的特征，利用勾股定理及其逆定理证明△OAB为直角三角形．
16．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，∠CDB＝55°，则∠ABC＝ 35 °．
【分析】根据圆周角定理和三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠D＝55°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝35°，
故答案为：35．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：熟练掌握三角形的外心的定义与性质．也考查了圆周角定理．
17．如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间t（单位：s）与细线长度1（单位：m）之间满足关系 QUOTE ．当细线的长度为0.4m时，小重物来回摆动一次所用的时间是 1.3 s（结果保留小数点后一位）．
【分析】直接把l＝0.4m代入关系式 QUOTE 即可求出t的值．
【解答】解：把l＝0.4m代入关系式 QUOTE 得，
∴t＝2π QUOTE 0.410= 0.410=2π×0.2＝0.4π≈1.3．
答：小重物来回摆动一次所用的时间大约是1.3s．
故答案为：1.3．
【点评】此题考查的是二次根式的应用，熟练掌握算术平方根的定义是解题关键．
18．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D为△ABC所在平面内一点，∠BDC＝90°，以AC、CD为边作平行四边形ACDE，则CE的最小值为 QUOTE 10−2 10−2 ．
【分析】延长AE交BD于点F，根据平行四边形的性质可得AE∥CD，可得∠AFB＝∠BDC＝90°，可以证明△AFB≌△DFE，可得∠AEB＝135°，点E的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点E所在圆的圆心为M，连接MB，MA，MC，MC与圆M交于点E′，根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得，CE′即为CE的最小值，利用勾股定理可得CM的值，进而可得CE的最小值．
【解答】解：如图，延长AE交BD于点F，连接BE，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE∥CD，AC＝ED，∠EAC＝∠CDE，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∠BDC＝90°，
∴ED＝AB＝AC＝2，∠BAF+∠CAE＝90°，∠CDE+∠EDF＝90°，∠AFB＝∠CDB＝∠DFE＝90°，
∴BC QUOTE =2 =2AB＝2 QUOTE 2 2，
∴∠BAF＝∠EDF，
在△AFB和△DFE中，
QUOTE ，
∴△AFB≌△DFE（AAS），
∴BF＝EF，
∴∠BEF＝45°，
∴∠AEB＝135°，
∴点E的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点E所在圆的圆心为M，
连接MB，MA，MC，MC与圆M交于点E′，
则根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得：
CE′即为CE的最小值，如图，
∴∠AMB＝90°，
∵AM＝BM，AB＝2，
∴∠MBA＝45°，BM QUOTE =22 =22AB QUOTE =2 =2，
∴∠MBC＝90°，
∴在Rt△MBC中，MC QUOTE =??2+??2=10 =MB2+BC2=10，
∴CE′＝CM﹣ME′ QUOTE =10−2 =10−2．
即CE的最小值为 QUOTE 10−2 10−2．
故答案为： QUOTE 10−2 10−2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、最短路径问题、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
三．解答题（共10小题，满分84分）
19．（6分）先化简，再求值：（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣1），其中x＝﹣1．
【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣1）
＝x2﹣4x+4﹣（x2﹣x+2x﹣2）
＝x2﹣4x+4﹣x2﹣x+2
＝﹣5x+6；
当x＝﹣1时，原式＝5+6＝11．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生运用法则进行计算和化简的能力，难度适中．
20．（8分）解不等式组： QUOTE ，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：由4x﹣2（x﹣1）＜4得：x＜1，
由 QUOTE 得：x≥﹣3，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜1，
将解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（8分）为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t＜45”，B组“45＜t＜60”，C组“60＜t＜75”，D组“75＜t＜90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 100 ；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 72 度，请补全条形统计图；
（3）本次调查数据的中位数落在 C 组内；
（4）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出D组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据统计图中的数据，可以计算出B组的圆心角的度数，
（3）根据统计图中的数据可以计算出中位数落在哪一组；
（4）根据题意和统计图中的数据，可以计算出该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
【解答】解：（1）这次调查的样本容量是：25÷25%＝100，
D组的人数为：100﹣10﹣20﹣25﹣5＝40，
故答案为：100；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是：360° QUOTE ?20100= ?20100=72°，
补全的条形统计图如图所示：
故答案为：72；
（3）∵本次调查了100个数据，第50个数据和51个数据都在C组，
∴中位数落在C组；
故答案为：C；
（4）1800 QUOTE ?100−5100= ?100−5100=1710（人），
答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（8分）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号1，2，3，4，这些小球除编号外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为 QUOTE 14 14 ．
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大2的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）
【分析】（1）直接利用概率公式求出即可；
（2）用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的结果，然后利用等可能事件的概率公式求出即可．
【解答】解：（1）∵一共有4个编号的小球，编号为2的有一个，
∴P（任意摸出1个球，这个球的编号是2） QUOTE =14 =14；
（2）画树状图如下：
一共有16个等可能的结果，其中第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大2的情况出现了2次，
∴P（第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大2） QUOTE =216=18 =216=18．
【点评】本题考查概率公式，列表法和树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
23．（8分）如图1，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB＝∠DCE．
（1）求证：△CAB∽△CED；
（2）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）如图2，若点E落在线段AC的垂直平分线上，CD＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）证明∠B＝∠D＝90°，结合∠ACB＝∠DCE，可得结论；
（2）连接OE，证明∠DAC＝∠AEO，∠ACB＝∠DAC，∠AEO＝∠ACB＝∠DCE，由∠DCE+∠DEC＝90°，可得∠AEO+∠DEC＝90°，∠OEC＝180°﹣90°＝90°，即OE⊥EC，从而可得结论；
（3）证明AE＝CE，可得∠DAC＝∠ECA，∠DAC＝∠ECA＝∠DCE．求出∠DAC＝∠DCE＝30°， QUOTE ??=?????30?=233 DE=CDtan30?=233， QUOTE ，AC＝4， QUOTE ，证△EAO∽△CAE，再利用相似三角形的性质可得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴△CAB∽△CED．
（2）解：直线CE与⊙O相切，证明如下：
连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠DAC＝∠AEO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，
∴∠ACB＝∠DAC，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠DAC＝∠DCE，
∴∠AEO＝∠ACB＝∠DCE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∴∠DCE+∠DEC＝90°，
∴∠AEO+∠DEC＝90°，
∴∠OEC＝180°﹣90°＝90°，即OE⊥EC，
∵OE为半径，
∴直线CE与⊙O相切；
（3）∵点E落在线段AC的垂直平分线上，
∴AE＝CE，
∴∠DAC＝∠ECA，
由（1）得∠DAC＝∠DCE，
∴∠DAC＝∠ECA＝∠DCE．
在Rt△ACD中，∠DAC+∠ECA+∠DCE＝90°，
∴∠DAC＝∠DCE＝30°，
∴ QUOTE ??=?????30?=233 DE=CDtan30?=233， QUOTE ，AC＝4，
∴ QUOTE ，
∵OA＝OE，
∴∠DAC＝∠AE0＝30°，
∴∠AEO＝∠ACE，
又∵∠EAO＝∠CAE，
∴△EAO∽△CAE，
∴ QUOTE ????=???? AEAC=AOAE，
∴ QUOTE 434=??433 434=AO433，
解得 QUOTE ??=43 OA=43．
【点评】本题考查的是圆的综合应用，主要考查矩形的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，圆的切线的判定，锐角三角函数的应用，熟练的利用以上知识解题是关键．
24．（8分）湖笔是我国非物质文化遗产，尤其以善琏湖笔最为出名．某传统手工艺品网店准备在“6.18”网购节期间实施一系列优惠活动回馈新老客户，该店针对一款原价30元/支的湖笔推出了两种优惠方案：方案一、每支按8折销售；方案二、当购买数量超过40支但不超过60支时，每多购买1支单价减少0.5元，当购买数量超过60支时，每支单价为20元．
（1）购买数量为50支时，求方案二湖笔的单价；
（2）王老师准备在该网店购买x支湖笔赠与学生留念（已知x＞40）．
①根据题意填写表：（请用含x的代数式表示）
②王老师发现选择方案二比选择方案一可节省174元，求王老师购买湖笔所付的总金额．
【分析】（1）利用单价＝30﹣0.5×超过40支的数量，即可求出结论；
（2）①利用单价＝30﹣0.5×超过40支的数量，即可用含x的代数式表示出购买单价，再利用总金额＝购买单价×购买数量，即可用含x的代数式表示出总金额；
②分40＜x≤60及x＞60两种情况考虑，由选择方案二比选择方案一可节省174元，即可得出关于x的一元二次方程或一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其符合题意的值代入（50﹣0.5x）x中即可求出结论．
【解答】解：（1）30﹣0.5×（50﹣40）
＝30﹣0.5×10
＝30﹣5
＝25（元）．
答：购买数量为50支时，方案二湖笔的单价为25元．
（2）①依题意得：当40＜x≤60时，湖笔的单价为30﹣0.5（x﹣40）＝（50﹣0.5x）元，总金额为（50﹣0.5x）x元．
故答案为：（50﹣0.5x）；（50﹣0.5x）x．
②当40＜x≤60时，24x﹣（50﹣0.5x）x＝174，
整理得：x2﹣52x﹣348＝0，
解得：x1＝58，x2＝﹣6（不符合题意，舍去），
∴（50﹣0.5x）x＝（50﹣0.5×58）×58＝1218；
当x＞60时，24x﹣20x＝174，
解得：x＝43.5（不符合题意，舍去）．
答：王老师购买湖笔所付的总金额为1218元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（8分）如图，已知反比例函数 QUOTE ?=?? y=kx的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（1，4），B（﹣4，n）．
（1）求n，a与b的值；
（2）若 QUOTE ，请直接写出x的取值范围；
（3）求△OAB的面积．
【分析】（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y QUOTE =?? =kx，求出k值，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值，然后利用待定系数法即可确定a、b的值；
（2）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．
（3）求出直线AB与x轴的交点C的坐标，分别求出△ACO和△BOC的面积，然后相加即可．
【解答】解：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y QUOTE =?? =kx，
得k＝1×4＝4，
∴反比例函数为y QUOTE =4? =4x，
∵点B（﹣4，n）也在反比例函数y QUOTE =4? =4x的图象上，
∴n QUOTE =4−4=− =4−4=−1，
∴B（﹣4，﹣1），
∵一次函数y＝ax+b的图象过点A（1，4），B（﹣4，﹣1），
∴ QUOTE ?+?=4−4?+?=−1 a+b=4−4a+b=−1，
解得a＝1，b＝3；
（2）根据图象可知： QUOTE 的x的取值范围为﹣4＜x＜0或x＞1．
（3）如图，设直线y＝x+3与x轴的交点为C，
当y＝0时，x＝﹣3，
∴C（﹣3，0），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC QUOTE 3×4 QUOTE ．
【点评】本题是一次函数和反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，函数与不等式的关系，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，用了数形结合思想．
26．（10分）在△ABC中，P是BC边上的一动点，连接AP．
（1）如图1，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠BAP＝15°，且PC QUOTE =3+ =3+1．求：△ABP的面积．
（2）如图2，若∠BAC＝90°，AB＝AC，AP为边作等腰Rt△APE，连接BE，F是BE的中点，连接AF，猜想PE，PB，AF之间有何数量关系？并证明你的结论．
（3）如图3，作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，若∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝9﹣3 QUOTE 3 3，当DE最小时，请直接写出DE的最小值．
【分析】（1）过A作AD⊥BC于D，由等腰直角三角形的性质∠B＝∠C＝45°，AD QUOTE =12 =12BC＝BD＝CD，再由含30°角的直角三角形的性质得AP＝2PD，则AD QUOTE =3 =3PD，设PD＝x，则AD QUOTE =3 =3x，则CD＝AD QUOTE =3 =3x，然后由PD+CD＝PC，PC QUOTE =3+ =3+1，求出x＝1，即可解决问题；
（2）连接CE幷延长，交BA的延长线于D，证△CAE≌△BAP（SAS），得EC＝PB，∠ACE＝∠ABP＝45°，则∠PCE＝90°，再由勾股定理得PC2+EC2＝PE2，则PC2+PB2＝PE2，然后由三角形中位线定理得DE＝2AF，证△PAC≌EAD（ASA），得PC＝DE，即可得出结论；
（3）证A、E、P、D四点共圆，且AP为直径，当AP⊥BC时，线段DE的值最小，再证△ADE∽△ACB，得 QUOTE ????=???? ADAC=DEBC，设AE＝2x，则PE＝CE＝2x，AP＝2 QUOTE 2 2x，取AP的中点O，连接OD，则OD QUOTE =12 =12AP＝OA＝OP QUOTE =2 =2x，过D作DM⊥AP于M，则DM QUOTE =22 =22x，然后求出AM QUOTE =2 =2x QUOTE +62 +62x，AD＝（ QUOTE 3+ 3+1）x，即可解决问题．
【解答】解：（1）过A作AD⊥BC于D，如图1所示：
则∠ADP＝90°，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，AD QUOTE =12 =12BC＝BD＝CD，
∵∠BAP＝15°，
∴∠APD＝∠B+∠BAP＝45°+15°＝60°，
∴∠PAD＝90°﹣60°＝30°，
∴AP＝2PD，
∴AD QUOTE =??2−??2=(2??)2−??2=3 =AP2−PD2=(2PD)2−PD2=3PD，
设PD＝x，则AD QUOTE =3 =3x，
∴CD＝AD QUOTE =3 =3x，
∵PD+CD＝PC，PC QUOTE =3+ =3+1，
∴x QUOTE +3 +3x QUOTE =3+ =3+1，
解得：x＝1，
∴BD＝CD＝AD QUOTE =3 =3，
∴BP＝BD﹣PD QUOTE =3− =3−1，
∴S△ABP QUOTE =12 =12BP×AD QUOTE （ QUOTE 3− 3−1） QUOTE ；
（2）PE2＝PB2+4AF2，证明如下：
连接CE幷延长，交BA的延长线于D，如图2所示：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠BAP+∠CAP＝90°，∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵△APE是等腰直角三角形，
∴∠PAE＝90°，AP＝AE，
∴∠CAE+∠CAP＝90°，
∴∠CAE＝∠BAP，
∴△CAE≌△BAP（SAS），
∴EC＝PB，∠ACE＝∠ABP＝45°，
∴∠PCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，
∴PC2+EC2＝PE2，
∴PC2+PB2＝PE2，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC＝90°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AC＝AD，
∵AB＝AC，
∴AB＝AD，
又∵F是BE的中点，
∴AF是△BDE的中位线，
∴DE＝2AF，
∵∠PAE＝∠CAD＝90°，
∴∠PAE﹣∠CAE＝∠CAD﹣∠CAE，
即∠PAC＝∠EAD，
又∵∠ACP＝∠ADE＝45°，
∴△PAC≌EAD（ASA），
∴PC＝DE，
∴PC＝2AF，
∴（2AF）2+PB2＝PE2，
∴PE2＝PB2+4AF2；
（3）∵PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，
∴∠ADP＝∠AEP＝90°，
∴∠ADP+∠AEP＝180°，
∴A、E、P、D四点共圆，且AP为直径，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣75°﹣45°＝60°是定值，
∴直径AP最小时，∠DAE所对的弦最小，
∴当AP⊥BC时，线段DE的值最小，
在Rt△PEC中，∠C＝45°，
∴△PEC是等腰直角三角形，∠APE＝45°，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴∠PAE＝45°，AE＝PE，
∴∠PDE＝∠PAE＝45°，
∴∠ADE＝45°，
∴∠ADE＝∠C＝45°，
∵∠EAD＝∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴ QUOTE ????=???? ADAC=DEBC，
设AE＝2x，则PE＝CE＝2x，AP＝2 QUOTE 2 2x，
∴AC＝4x，
如图3，取AP的中点O，连接EO，
则OD QUOTE =12 =12AP＝OA＝OP QUOTE =2 =2x，
∵∠DAP＝∠BAC﹣∠PAE＝60°﹣45°＝15°，
∴∠DOP＝2∠DAO＝30°，
过D作DM⊥AP于M，则DM QUOTE =12 =12OD QUOTE =22 =22x，
∵cs∠DOP＝cs30° QUOTE =????=32 =OMOD=32，
∴OM QUOTE =32 =32OD QUOTE =62 =62x，
∴AM QUOTE =2 =2x QUOTE +62 +62x，
由勾股定理得：AD QUOTE =??2+??2=(2?+62?)2+(22?)2= =AM2+DM2=(2x+62x)2+(22x)2=（ QUOTE 3+ 3+1）x，
∴ QUOTE (3+1)?4?=??9−33 (3+1)x4x=DE9−33，
解得：DE QUOTE =332 =332，
则线段DE的最小值为 QUOTE 332 332．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数定义、三角形面积以及垂线段最短等知识，本题综合性强，有一定难度，正确作出辅助线，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
27．（10分）如图，已知抛物线的解析式为y QUOTE x2 QUOTE x+3，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交点于点C．
（1）请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接AC、BC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的坐标；
（3）若点P为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使|NP﹣BP|最大时点P的坐标，并请直接写出|NP﹣BP|的最大值．
【分析】（1）提取二次项系数后分解因式，可以得出抛物线与x轴交点，令x＝0代入可以得到与y轴的交点，把解析式配方后可得对称轴；
（2）根据题意作出几何图形，通过旋转性质以及通过AAS求证△OBC≌△QNB即可分别求出M、N的坐标；
（3）分析题意可得出，当P，N，B在同一直线上时，|NP﹣BP|的值最大，联立直线BN解析式以及抛物线解析式即可求出P的坐标．
【解答】解：（1）∵y QUOTE x2 QUOTE x+3 QUOTE （x+4）（x﹣1） QUOTE （x QUOTE +32 +32）2 QUOTE +7516 +7516，
∴A（﹣4，0），B（1，0），C（0，3），
对称轴为直线x QUOTE ；
（2）如图所示：
过N作NQ⊥x轴于点Q，
由旋转性质得MB⊥x轴，∠CBN＝90°，BM＝AB＝5，BN＝BC，
∴M（1，5），∠OBC+∠QBN＝90°，
∵∠OBC+∠BCO＝90°，
∴∠BCO＝∠QBN，
又∵∠BOC＝∠NQB＝90°，BN＝BC，
∴△OBC≌△QNB（AAS），
∴BQ＝OC＝3，NQ＝OB＝1，
∴OQ＝1+3＝4，
∴N（4，1）；
（3）设直线NB的解析式为y＝kx+b．
∵B（1，0）、N（4，1）在直线NB上，
∴ QUOTE ?+?=04?+?=1 k+b=04k+b=1，
解得： QUOTE ?=13?=−13 k=13b=−13，
∴直线NB的解析式为：y QUOTE =13 =13x QUOTE ，
当点P，N，B在同一直线上时|NP﹣BP|＝NB QUOTE =32+12=10 =32+12=10，
当点P，N，B不在同一条直线上时|NP﹣BP|＜NB，
∴当P，N，B在同一直线上时，|NP﹣BP|的值最大，
即点P为直线NB与抛物线的交点．
解方程组： QUOTE ?=13?−13?=−34?2−94?+3 y=13x−13y=−34x2−94x+3，
解得： QUOTE ?1=1?1=0 x1=1y1=0或 QUOTE ?2=−409?2=−4927 x2=−409y2=−4927，
∴当P的坐标为（1，0）或（ QUOTE ， QUOTE ）时，|NP﹣BP|的值最大，此时最大值为 QUOTE 10 10．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法，旋转性质，全等三角形的判定与性质等知识，本题的关键是数形相结合，以及正确讨论出当P，N，B在同一直线上时，|NP﹣BP|的值最大是解题的关键．
28．（10分）（1）发现：如图1，正方形ABCD中，点E在CD边上，将△ADE沿AE对折得到△AFE，延长EF交BC边于点G，连接AG．证明：BG+DE＝EG．
（2）探究：如图2，矩形ABCD中AD＞AB，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，若△CDN的面积与△CMN的面积比为1：3，求 QUOTE ???? MNDN的值．
（3）拓展：如图3，在菱形ABCD中，AB＝6，E为CD边上的三等分点，∠D＝60°．将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长．
【分析】（1）由正方形的性质得∠D＝∠B＝90°，AD＝AB，再由翻折的性质得AD＝AF，DE＝EF，∠AFE＝∠D＝90°，则AB＝AF，∠B＝∠AFG，然后证Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），得BG＝GF，即可得出结论；
（2）由翻折的性质得到AM＝CM，AE＝CD，∠E＝∠D，∠AMN＝∠CMN，证△ANE≌△CND（AAS），得AN＝CN，再由矩形的性质得∠ANM＝∠CMN，证得AM＝AN＝CM＝CN，根据已知条件和三角形的面积公式得到DN：CM＝1：3，设DN＝k，则CN＝CM＝3k，过N作NG⊥MC于点G，则CG＝DN＝k，MG＝2k，求出NG＝2 QUOTE 2 2k，MN＝2 QUOTE 3 3k，即可得出答案；
（3）①当DE QUOTE =13 =13DC＝2时，延长FE交AD于点Q，过点Q作QH⊥CD于点H，过点E作EM⊥AQ于点M，作EN⊥AF于点N，过点A作AR⊥FQ于点R，设DQ＝x，QE＝y，则AQ＝6﹣x，再证△CPE∽△DQE，推出CP＝2DQ＝2x，由翻折的性质得EF＝DE＝2，AF＝AD＝6，∠QAE＝∠FAE，然后由面积法证得 QUOTE ????=???? AQAF=QEEF，得出y＝2 QUOTE x，求出HE＝2 QUOTE x，HQ QUOTE =32 =32x，由勾股定理得（2 QUOTE x）2+（ QUOTE 32 32x）2＝y2，解出x的值，即可得出答案；②当CE QUOTE =13 =13DC＝2时，延长FE交AD于点Q′，过点Q′作Q′H′⊥CD于点H′，则DE＝4，设DQ′＝x′，Q′E＝y′，则AQ′＝6+x′，同理求出CP QUOTE =12 =12DQ′ QUOTE =12 =12x′， QUOTE ??'??=?'??? AQ'AF=Q'EEF，得出y′＝4 QUOTE +23 +23x′，再求出H′E＝4 QUOTE +12 +12x′，H′Q′ QUOTE =32 =32x′，由勾股定理得（ QUOTE 32 32x′）2+（4 QUOTE +12 +12x′）2＝y′2，解出x′的值，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠B＝90°，AD＝AB，
由翻折的性质得：AD＝AF，DE＝EF，∠AFE＝∠D＝90°，
∴AB＝AF，∠AFG＝∠AFE＝90°，
∴∠B＝∠AFG＝90°，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
QUOTE ??=????=?? AB=AFAG=AG，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴BG＝GF，
∴BG+DE＝GF+EF＝EG；
（2）解：由翻折的性质得，AM＝CM，AE＝CD，∠E＝∠D，∠AMN＝∠CMN，
在△ANE与△CND中，
QUOTE ，
∴△ANE≌△CND（AAS），
∴AN＝CN，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，
∴∠ANM＝∠CMN，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴AM＝AN＝CM＝CN，
∴S△AMN＝S△CMN QUOTE =12 =12CM•CD，
又∵S△CDN：S△CMN＝1：3，S△CDN QUOTE =12 =12DN•CD，
∴ QUOTE ，
设DN＝k，则CN＝CM＝3k，
如图2，过点N作NG⊥MC于点G，
则四边形CDNG为矩形，
∴CG＝DN＝k，MG＝CM﹣CG＝3k﹣k＝2k，
NG QUOTE =??2−??2=(3?)2−?2= =CN2−CG2=(3k)2−k2=2 QUOTE 2 2k，
∴MN QUOTE =??2+??2=(2?)2+(22?)2= =MG2+NG2=(2k)2+(22k)2=2 QUOTE 3 3k，
∴ QUOTE ????=23??= MNDN=23kk=2 QUOTE 3 3；
（3）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝DC＝6，AD∥BC，
①如图3，当DE QUOTE =13 =13DC QUOTE 6＝2时，延长FE交AD于点Q，过点Q作QH⊥CD于点H，过点E作EM⊥AQ于点M，作EN⊥AF于点N，过点A作AR⊥FQ于点R，
设DQ＝x，QE＝y，
则AQ＝AD﹣DQ＝6﹣x，
∵CP∥DQ，
∴△CPE∽△DQE，
∴ QUOTE ????=????= CPDQ=CEDE=2，
∴CP＝2DQ＝2x，
由翻折的性质得：EF＝DE＝2，AF＝AD＝6，∠QAE＝∠FAE，
∴AE是平分∠QAF，
∴EM＝EN，
∵S△AQE QUOTE =12 =12AQ•EM QUOTE =12 =12QE•AR，S△AEF QUOTE =12 =12AF•EN QUOTE =12 =12EF•AR，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ????=???? AQAF=QEEF，
即 QUOTE 6−?6=?2 6−x6=y2，
∴y＝2 QUOTE x，
∵∠D＝60°，
∴DH QUOTE =12 =12DQ QUOTE =12 =12x，
∴HE＝DE﹣DH＝2 QUOTE x，HQ QUOTE =(2??)2−??2=3 =(2DH)2−DH2=3DH QUOTE =32 =32x，
在Rt△HQE中，由勾股定理得：HE2+HQ2＝EQ2，
即（2 QUOTE x）2+（ QUOTE 32 32x）2＝y2，
∵y＝2 QUOTE x，
解得：x1 QUOTE =34 =34，x2＝0（不合题意，舍去），
∴PC＝2 QUOTE 脳34=32 脳34=32；
②如图4，当CE QUOTE =13 =13DC QUOTE 6＝2时，延长FE交AD于点Q′，过点Q′作Q′H′⊥CD于点H′，
则DE＝4，
设DQ′＝x′，Q′E＝y′，
则AQ′＝AD+DQ′＝6+x′，
∵CP∥DQ′，
∴△CPE∽△DQ′E，
∴ QUOTE ????'=????=12 CPDQ'=CEDE=12，
∴CP QUOTE =12 =12DQ′ QUOTE =12 =12x′，
由翻折的性质得：EF＝DE＝4，AF＝AD＝6，∠Q′AE＝∠EAF，
同理： QUOTE ??'??=?'??? AQ'AF=Q'EEF，
即 QUOTE 6+?'6=?'4 6+x'6=y'4，
∴y′＝4 QUOTE +23 +23x′，
∵∠CDA＝∠Q′DH′＝60°，
∴DH′ QUOTE =12 =12DQ′ QUOTE =12 =12x，
∴H′E＝DE+DH′＝4 QUOTE +12 +12x′，H′Q′ QUOTE =3 =3DH′ QUOTE =32 =32x′，
在Rt△H′Q′E中，由勾股定理得：H′Q′2+H′E2＝EQ′2，
即（ QUOTE 32 32x′）2+（4 QUOTE +12 +12x′）2＝y′2，
∵y′＝4 QUOTE +23 +23x′，
解得：x′1 QUOTE =125 =125，x′2＝0（不合题意，舍去），
∴PC QUOTE ；
综上所述，PC的长为 QUOTE 32 32或 QUOTE 65 65．
【点评】本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、翻折的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质、正方形的性质、矩形的性质、菱形的性质、平行线的性质、角平分线的性质、分类讨论等知识，综合性强，难度大，熟练掌握翻折的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
画法
图形
（1）以A为端点画一条射线；
（2）用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE；
（3）过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N．M、N就是线段AB的三等分点．

方案
购买数量（支）
购买单价（元）
总金额（元）
方案一
x
24
24x
方案二
40＜x≤60


x＞60
20
20x
画法
图形
（1）以A为端点画一条射线；
（2）用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE；
（3）过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N．M、N就是线段AB的三等分点．

方案
购买数量（支）
购买单价（元）
总金额（元）
方案一
x
24
24x
方案二
40＜x≤60
（50﹣0.5x）
（50﹣0.5x）x
x＞60
20
20x