2024年中考数学（南京）第三次模拟考试（含答案）

这是一份2024年中考数学（南京）第三次模拟考试（含答案），共43页。试卷主要包含了因式分解等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．在这四个数中，最大的数是（ ）
A．3B．0C．D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图所示几何体是由一个四棱柱上放置一个球体得到的，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
4．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A．0B．1C．2D．2023
5．如图，已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点，则长（ ）
A．B．C．D．
6．如图，的顶点是坐标原点，在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过点，，则的值为（ ）
A．B．2C．D．3
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）
7．因式分解： ．
8．今年春节电影《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生》、《熊出没•逆转时空》在网络上持续引发热议，根据猫眼专业版数据显示，截至月日时，年春节档新片总票房突破亿元，创造了新的春节档票房纪录，则其中数据亿用科学记数法表示为 ．
9．若，则的值为 ．
10．一个圆锥的底面直径是，母线长是，则它的侧面积是 ．
11．已知实数、y，如果，那么 ．
12．已知一元二次方程的两根为、，则 ．
13．春节期间，小宇去表哥家拜年，好学的他发现在表哥新装修的房子里，钢琴房的背景墙上有用岩板作的几何图案造型．如图，这个图案是由正六边形、正方形及拼成的（不重叠，无缝隙），则的度数是 ．
14．某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度为80米，桥拱的最大高度为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与的距离为4米的景观灯杆的高度为 米．
15．如图在 中， 为直径， 为弦，点为弧 的中点，以点 为切点的切线与 的延长线交于点．若 则 ．
16．如图，直角坐标系中，平行四边形的顶点B在x轴的正半轴上，A、C在第一象限，反比例函数的图象经过点A，与交于点D，轴于点E，连结并延长交的延长线于点F，反比例函数的图象经过点F，连结，则的面积为 ．
三、解答题（本大题共11个小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（7分）先化简，再求值：，其中 ．
18．（8分）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
19．（7分）随着科幻电影的崛起，层出不穷的“硬核科技”元素也引起人们的热烈讨论，例如太空电梯，数字生命，重核聚变行星发动机，超级量子计算机，人工智能，机械外骨骼等．强大的科技会促使科幻走进现实，为激发学生对科技的热情，某校七、八年级举办了青少年科技创新大赛，赛后从两个年级中各随机抽取50名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．七年级学生成绩的频数分布直方图如图所示．（数据分为5组：，，，，）
b．七年级学生成绩在这一组的是：，，，，，，，，，，，，，，，；
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数如表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)表中的值为 ；
(2)小佳此次大赛的成绩为分，在被抽取的名学生中，他的成绩超过了一半以上的同学，请判断小佳是哪个年级的学生，并说明理由；
(3)若成绩分及以上为优秀，七年级共有学生名，估计本次大赛七年级学生成绩为优秀的人数．
20．（8分）随着社会经济发展和物质消费水平的大幅度提高，我国每年垃圾产生量迅速增长，为了倡导绿色社区，做好垃圾分类工作，某社区成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式对辖区内四个小区进行抽查，并且每个小区不重复检查．
(1)若由甲组对四个小区进行抽查，则抽到B小区的概率是________；
(2)若甲、乙两组同时抽查，请用画树状图法或列表法求出甲组抽到C小区，同时乙组抽到D小区的概率．
21．（8分）如图，在平行四边形中，于点，延长至点，使得，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，，求的长．
22．（8分）如图所示，折线是一段登山石阶，其中，部分的坡角为，部分的坡角为，．
(1)求石阶路（折线）的长．
(2)如果每级石阶的高不超过，那么这一段登山石阶至少有多少级台阶？（最后一级石阶的高度不足时，按一级石阶计算．可能用到的数据：，）
23．（8分）一次函数与反比例函数的图像在第一象限交于A,B两点，其中．
(1)求反比例函数表达式；
(2)结合图像，直接写出时，x的取值范围；
(3)若把一次函数的图像向下平移b个单位，使之与反比例函数的图像只有一个交点，请直接写出b的值．
24．（8分）如图，中，，以为直径的与相交于点，与的延长线相交于点，过点作交于点．
(1)求证：直线与相切；
(2)如果，的长为2，求的长．
25．（8分）阅读材料：尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作图．无刻度直尺在作图时只可用来画直线、射线或线段．请根据以上材料按要求进行作图．
(1)如图1，在中，，请用无刻度直尺与圆规在边上作出一点O，使得过点C且与相切．（保留作图痕迹，不需说明作图步骤）
(2)如图2，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D是网格的四个格点，且．
①作图：请在图2中仅用无刻度直尺作出一点O，使得过点C且与相切于点D；（保留作图痕迹，不需说明作图步骤）
②若此网格中每个小正方形边长为1，则的半径为________．（可利用图2备用图计算）
26．（9分）定义：若一动点P到一条线段的两个端点的距离满足，则称P为线段的点，但点P不是线段的点．
(1)如图1，在中，，，若点C是线段的点，求的长．
(2)如图2，在中，D是边上一点，连结，若点A分别是线段，线段的点．求证：C是线段的点（提示：证明与相似）．
(3)如图3，在菱形中，，，点E，F分别是，上的点，且满足．连结，若点E是线段的点．求的长．
27．（9分）在平面直角坐标系中为，抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交点坐标为．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)点 、点 均在这个抛物线上（点 在点 的左侧），点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ． 将此抛物线上 两点之间的部分（含 两点）记为图象 ．
①当点 在 轴上方，图象 的最高与最低点的纵坐标差为6时，求 的值；
②设点 ，点 ，将线段 绕点 逆时针旋转 后得到线段 ，连接 ，当 （不含内部）和二次函数在 范围上的图像有且仅有一个公共点时，求 的取值范围．
2024年中考第三次模拟考试（南京卷）
数学·全解全析
注意事项：
1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
第Ⅰ卷
选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．在这四个数中，最大的数是（ ）
A．3B．0C．D．
【答案】A
【分析】本题考查有理数的大小比较，根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
∴在这四个数中，最大的数是3．
故选：A．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘除法，合并同类项，根据相关运算法则计算出各选项的结果后再判断即可
【详解】解：A. ，故选项A计算错误，不符合题意；
B. ，计算正确，符合题意；
C. ，故选项C计算错误，不符合题意；
D. ，故选项D计算错误，不符合题意；
故选：B
3．如图所示几何体是由一个四棱柱上放置一个球体得到的，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．根据左视图的意义和画法可以得出答案．
【详解】解：球的左视图是一个圆，长方体的左视图是一个长方形，
该几何体的左视图是一个圆与一个长方形，
故选：B．
4．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A．0B．1C．2D．2023
【答案】A
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与判别式的关系，当，方程无实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程有两个不相等的实数根．
根据判别式的意义得到，然后解关于的不等式，最后对选项进行判断即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根
∴
解得．
∴m的值可能是0．
故选：A．
5．如图，已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点，则长（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质：对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角，角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等以及勾股定理的运用．
过作于，根据正方形的性质和角平分线的性质以及勾股定理即可求出的长．
【详解】解：过作于，
四边形是正方形，
，
平分交于点，
，
正方形的边长为1，
，
，
∵，
，
，
，
故选：C．
6．如图，的顶点是坐标原点，在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过点，，则的值为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】D
【分析】过点作于，过点作轴于，根据平行四边形的性质及矩形的判定证明四边形为矩形，得，再证（），得，利用三线合一得，从而有，于是根据反比例函数的意义即可得解．
【详解】解：过点作于，过点作轴于，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，即，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴在和中，
，
∴（），
∴，
∵，，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）
7．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式法分解因式求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
8．今年春节电影《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生》、《熊出没•逆转时空》在网络上持续引发热议，根据猫眼专业版数据显示，截至月日时，年春节档新片总票房突破亿元，创造了新的春节档票房纪录，则其中数据亿用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，理解定义是关键．
绝对值大于的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少，据此可以解答．
【详解】解：．
故答案为：．
9．若，则的值为 ；
【答案】
【分析】本题考查分式的化简求值．根据得出，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
10．一个圆锥的底面直径是，母线长是，则它的侧面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是圆锥的侧面积的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，圆锥的侧面积：．
根据圆锥的侧面积公式计算即可．
【详解】解：圆锥的底面直径是，则圆锥的底面周长为：，
所以圆锥的侧面积＝母线长底面周长．
故答案为：．
11．已知实数、y，如果，那么 ；
【答案】3
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式，当时有意义，也考查了算术平方根．
根据二次根式有意义的条件得到得，即可求解y，即可得到的值．
【详解】解：由题意得：，解得，
∴，
∴，
故答案为：3．
12．已知一元二次方程的两根为、，则 ．
【答案】54
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，熟知“，是一元二次方程的两根时，，”是解题的关键．先根据题意得出与的值，代入变形后的代数式进行计算即可．
【详解】解：一元二次方程的两根为、，
，，
．
故答案为：54．
13．春节期间，小宇去表哥家拜年，好学的他发现在表哥新装修的房子里，钢琴房的背景墙上有用岩板作的几何图案造型．如图，这个图案是由正六边形、正方形及拼成的（不重叠，无缝隙），则的度数是 ．
【答案】/15度
【分析】本题考查了平面镶嵌（密铺）和正多边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，正六边形的每个内角为，即可求，正方形每个内角为，即可求，进而求的大小，根据即可求的度数．
【详解】解：∵正六边形的每个内角为，正方形每个内角为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
14．某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度为80米，桥拱的最大高度为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与的距离为4米的景观灯杆的高度为 米．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求抛物线解析式的知识，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键．
以所在直线为轴、所在直线为轴建立坐标系，可设该抛物线的解析式为，将点坐标代入求得抛物线解析式，再求当时的值即可．
【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，
设抛物线表达式为，
由题意可知，的坐标为，
，
，
，
时，，
答：与距离为4米的景观灯杆的高度为米，
故答案为：．
15．如图在 中， 为直径， 为弦，点为弧 的中点，以点 为切点的切线与 的延长线交于点．若 则 ．
【答案】/
【分析】本题考查了圆的切线的性质，垂径定理的推理，平行线分线段成比例，勾股定理的综合，掌握圆的基础知识是解题的关键．
根据垂径定理的推理可得，根据切线的性质可得，由此证得，根据平行线分线段成比例可得，设，可用含的式子表示出的长，在直角中根据勾股定理可求出，由此即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵点为中点，
∴，
∴，
∵是切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴设，则，，
∴，，
在中，，
∴，
故答案为： ．
16．如图，直角坐标系中，平行四边形的顶点B在x轴的正半轴上，A、C在第一象限，反比例函数的图象经过点A，与交于点D，轴于点E，连结并延长交的延长线于点F，反比例函数的图象经过点F，连结，则的面积为 ．
【答案】
【分析】根据的几何意义，得出，结合点F在第三象限，故再设设的解析式为，运用待定系数法求，得出，根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质，得出，结合，代入数值进行化简，即可作答．
【详解】解：设
∵反比例函数的图象经过点A，
∴
∵连结并延长交的延长线于点F，反比例函数的图象经过点F，
设
把代入，解得
∴，
∴，
则，
解得
∵点F在第三象限，
∴（正值已舍去），
∴或，
∵轴于点E，
∴点E的坐标为，
设的解析式为
把和代入，
得
解得
∴的解析式为，
∵点D在上，且在上
∴
整理得
即
∴
∵点D在第一象限
∴
如图：过点D作轴
∵四边形是平行四边形
∴
∴
∵
∴
则，
即，
∴，
则，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题共11个小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．先化简，再求值：，其中 ．
【答案】，
【分析】化简后，根据特殊角三角函数值，代入计算即可，本题考查了分式化简求值，特殊角的函数值，熟练化简，熟记函数值是解题的关键．
【详解】解：原式


，
∴原式．
18．解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，在数轴上表示见解析
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示．分别解出每一个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得出不等式组的解集，最后在数轴上表示即可．正确解不等式组是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴该不等式组的解集为：．
在数轴上表示为：
19．随着科幻电影的崛起，层出不穷的“硬核科技”元素也引起人们的热烈讨论，例如太空电梯，数字生命，重核聚变行星发动机，超级量子计算机，人工智能，机械外骨骼等．强大的科技会促使科幻走进现实，为激发学生对科技的热情，某校七、八年级举办了青少年科技创新大赛，赛后从两个年级中各随机抽取50名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．七年级学生成绩的频数分布直方图如图所示．（数据分为5组：，，，，）
b．七年级学生成绩在这一组的是：，，，，，，，，，，，，，，，；
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数如表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)表中的值为 ；
(2)小佳此次大赛的成绩为分，在被抽取的名学生中，他的成绩超过了一半以上的同学，请判断小佳是哪个年级的学生，并说明理由；
(3)若成绩分及以上为优秀，七年级共有学生名，估计本次大赛七年级学生成绩为优秀的人数．
【答案】(1)
(2)七年级
(3)
【分析】本题考查了频数分布直方图，平均数、中位数，样本估计总体；
（1）根据中位数的定义，即可求解；
（2）根据中位数的意义，即可求解；
（3）根据样本估计总体，用乘以七年级优秀人数的占比，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，第和个数分别为为，
∴
（2）解：小佳是七年级的学生，
理由：他的成绩超过了一半以上的同学，七年级的成绩的中位数为，
∴小佳是七年级的学生；
（3）解：估计本次大赛七年级学生成绩为优秀的人数为（人）
20．随着社会经济发展和物质消费水平的大幅度提高，我国每年垃圾产生量迅速增长，为了倡导绿色社区，做好垃圾分类工作，某社区成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式对辖区内四个小区进行抽查，并且每个小区不重复检查．
(1)若由甲组对四个小区进行抽查，则抽到B小区的概率是________；
(2)若甲、乙两组同时抽查，请用画树状图法或列表法求出甲组抽到C小区，同时乙组抽到D小区的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查列表法与树状图法，解题关键在于根据题意画出树状图．
（1）直接利用概率公式求解可得；
（2）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
【详解】（1）解：由甲组对四个小区进行抽查，则抽到B小区的概率是；
（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中甲组抽到C小区，同时乙组抽到D小区的结果数为1，
∴甲组抽到C小区，同时乙组抽到D小区的概率为．
21．如图，在平行四边形中，于点，延长至点，使得，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理以及逆定理；
（1）先证明四边形是平行四边形，再根据垂直，即可求证；
（2）根据勾股定理的逆定理，求得是直角三角形，等面积法求得，勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
又，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
，
，，
，
是直角三角形，，
的面积，
，
由（）得：，四边形是矩形，
，，
，
．
22．如图所示，折线是一段登山石阶，其中，部分的坡角为，部分的坡角为，．
(1)求石阶路（折线）的长．
(2)如果每级石阶的高不超过，那么这一段登山石阶至少有多少级台阶？（最后一级石阶的高度不足时，按一级石阶计算．可能用到的数据：，）
【答案】(1)120米
(2)472级
【分析】（1）根据，可得，结合，计算即可．
（2）先计算的长度，单位化成厘米后除以20，计算即可．
本题考查了坡度的概念：斜坡的坡度等于斜坡的铅直高度与对应的水平距离的比值，即斜坡的坡度等于斜坡的坡角的正弦．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和等腰直角三角形的性质．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∵．
（2）∵，
∴，
∵，
∵，，
∴，
∴（级）．
答：这一段登山石阶至少有472级台阶．
23．一次函数与反比例函数的图像在第一象限交于A,B两点，其中．
(1)求反比例函数表达式；
(2)结合图像，直接写出时，x的取值范围；
(3)若把一次函数的图像向下平移b个单位，使之与反比例函数的图像只有一个交点，请直接写出b的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)1或9
【分析】（1）将代入得，，则，将代入得，可得，，进而可得反比例函数表达式；
（2）联立，整理得，，可求满足要求的解或，将代入得，，则，然后数形结合求不等式的解集即可；
（3）由题意知，平移后的解析式为，联立得，，整理得，，由图像只有一个交点，可得，计算求解然后作答即可．
【详解】（1）解：将代入得，，
∴，
将代入得，，
解得，，
∴反比例函数表达式为；
（2）解：联立，整理得，，
∴，
解得，或，
经检验，或是原分式方程的解，
将代入得，，
∴，
∴由图像可知，的解集为或；
（3）解：由题意知，平移后的解析式为，
联立得，，整理得，，
∵图像只有一个交点，
∴，
解得，或，
∴b的值为1或9．
24．如图，中，，以为直径的与相交于点，与的延长线相交于点，过点作交于点．
(1)求证：直线与相切；
(2)如果，的长为2，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质和解直角三角形，解答本题的关键是作出辅助线．
（1）先连接，由于是直径以及，即可得出，进而得出， ，即可证得结论；
（2）连接，，先证明，则，再证明，则在中利用正弦的定义求出，接着在中利用正弦的定义求出，则可求出，所以，从而得到的长．
【详解】（1）证明：连接，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
而为的半径，
直线与相切；
（2）解：连接，，如图，
，
，
，
，
为直径，
，
，，
，
，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
即，
，
，
．
25．阅读材料：尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作图．无刻度直尺在作图时只可用来画直线、射线或线段．请根据以上材料按要求进行作图．

(1)如图1，在中，，请用无刻度直尺与圆规在边上作出一点O，使得过点C且与相切．（保留作图痕迹，不需说明作图步骤）
(2)如图2，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D是网格的四个格点，且．
①作图：请在图2中仅用无刻度直尺作出一点O，使得过点C且与相切于点D；（保留作图痕迹，不需说明作图步骤）
②若此网格中每个小正方形边长为1，则的半径为________．（可利用图2备用图计算）
【答案】(1)见详解
(2)①见详解②
【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，圆的切线判定，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质等；
（1）作出的平分线交于，即可求解；
（2）①连接，作的垂直平分线，过作的垂线，交的垂直平分线于，即可求解；
②由可判定，由全等三角形的性质得，，由可判定，由相似三角形的性质得，求出，由勾股定理得，即可求解；
掌握作法，能利用判定方法及性质进行求解是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，
是所求作的点；
（2）解：①如图，
是所求作的点；
②如图，
由图得：，
，，
由作图过程得：
，
，
在和中
，
()，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
；
故答案：．
26．定义：若一动点P到一条线段的两个端点的距离满足，则称P为线段的点，但点P不是线段的点．
(1)如图1，在中，，，若点C是线段的点，求的长．
(2)如图2，在中，D是边上一点，连结，若点A分别是线段，线段的点．求证：C是线段的点（提示：证明与相似）．
(3)如图3，在菱形中，，，点E，F分别是，上的点，且满足．连结，若点E是线段的点．求的长．
【答案】(1)
(2)见解析；
(3)
【分析】（1）利用点的定义以及勾股定理进行求解即可；
（2）利用点的定义，证明与相似，即可得证；
（3）利用菱形的性质，证明，即可得证．
【详解】（1）解：∵点是线段的点，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明∵点A分别是线段，线段的点，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴C是线段的点；
（3）如图3中，在上截取，使得．
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵点是线段的点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
即：，∴，
∴．
27．在平面直角坐标系中为，抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交点坐标为．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)点 、点 均在这个抛物线上（点 在点 的左侧），点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ． 将此抛物线上 两点之间的部分（含 两点）记为图象 ．
①当点 在 轴上方，图象 的最高与最低点的纵坐标差为6时，求 的值；
②设点 ，点 ，将线段 绕点 逆时针旋转 后得到线段 ，连接 ，当 （不含内部）和二次函数在 范围上的图像有且仅有一个公共点时，求 的取值范围．
【答案】(1)；
(2)①；②或；
【分析】本题考查待定系数法求解析式及二次函数最值、与线段交点问题：
（1）将对称轴及点代入求解即可得到答案；
（2）①先求出二次函数与轴交点，分点在对称轴左边，对称轴右边两类讨论，根据最高与最低点的距离列式即可得到答案；②当点在点上方，用含的代数式表示出点，当点在抛物线上时，（不含内部）和二次函数在范围上的图像有且仅有一个公共点，当点在点下方，根据，得出解析式，与抛物线解析式联立，求出时对应的的值，当时，（不含内部）和二次函数在范围上的图像有且仅有一个公共点．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴交点坐标为，
∴，，
解得：，，
∴；
（2）解：①当时，
，解得：，，
当点在对称轴左边时，即时，
∵，
∴此时最高点为对称轴所在点，最低点为点，
∵最高与最低点的纵坐标差为6，
∴，
解得：（不符合题意舍去），；
当点在对称轴右边时，即，
∵，
∴此时最高点为A点，最低点为点，
∵最高与最低点的纵坐标差为6，
∴，
解得：（不符合题意舍去）；
综上所述：；
②当点在点上方，，即：时，
，点，即，
当点在抛物线上时，（不含内部）和二次函数在范围上的图像有且仅有一个公共点，
∴，解得：，（舍），
当点在点下方，，即：时，
，点，即，
设解析式为：，则：，解得：，
∴解析式为：，与抛物线解析式联立：
，整理得：，
当直线与抛物线只有一个交点时，，解得：，
当时，（不含内部）和二次函数在范围上的图像有且仅有一个公共点，
∴的取值范围是或，
故答案为：或．
年级统计量
平均数
中位数
七年级
八年级
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中位数
七年级
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