2024年中考数学（北京）第二次模拟考试（含答案）

这是一份2024年中考数学（北京）第二次模拟考试（含答案），共46页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题（共16分，每小题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的只有一个．
1．截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
2．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，已知，，则的度数为( )
A．B．C．D．
4．如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
5．若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角为（ ）
A．B．C．D．
6．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值是（ ）
A．B．1C．2D．3
7．不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；

上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题（共16分，每小题2分）
9．要使式子有意义，则x可取的一个数是 ．
10．将因式分解为 ．
11．方程的解为 ．
12．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，请你写出一个符合要求的k的值 ．
13．如图，在中，是直径，，＝，，那么的长等于 .
14．如图，《九章算术》是中国古代数学专着，是《算经十书》（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有株，根据题意可列分式方程为 .
15．如图，在矩形中，，，E点为边延长线一点，且．连接交边于点F，过点D作于点H，则 ．
16．有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：

①左至右，按数字从小到大的顺序排列；
②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．
将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母 的位置，标注字母e的卡片写有数字 ．
三、解答题（共68分，17~22题，每题5分，23~26题，每题6分，27~28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（本题5分）计算：
18．（本题5分）解不等式组：．
19．（本题5分）先化简，再求值：，其中．
20．（本题5分）如图，在中，平分，过点D作于点于点F，点H是的中点，连接．
(1)判断四边形的形状，并证明；
(2)连接，若，求的长．
21．（本题5分）已知，图①是一张可以缓解眼睛疲劳的视力远眺回形图，它是由多个大小不等的正方形构成的二维空间平面图，利用心理学空间知觉原理，通过变化图案可不断改变眼睛晶状体的焦距，强烈显示出三维空间的向远延伸的立体图形，调节人们的睫状体放松而保护视力．其中阴影部分是由能够缓解视疲劳的绿色构成，阴影之间的部分是空白区域．某体检中心想定做一张回形图，图②是选取的部分回形图的示意图，其中最大的正方形边长为，且空白区域两部分的面积相等，若空白区域需要三种不同的护眼浅色贴纸，铺贴用纸费用分别为：A区域10元，B区域15元，C区域20元，铺贴三个区域共花费150元，求C区域的面积．
22．（本题5分）在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象经过点，，与x轴交于点A．
(1)求该一次函数的表达式及点A的坐标；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数（）的值，直接写出m的取值范围．
23．（本题6分）为进一步增强中小学生“知危险会避险”的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
．这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分统计图：
．这30名学生两次知识竞赛获奖情况相关统计表：
（规定：分数，获卓越奖；分数，获优秀奖：分数，获参与奖）
．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：
90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98
．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如下表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“○”圈出代表小松同学的点；
(2)直接写出的值；
(3)哪一次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高?请说明你的理由（至少两个方面）．
24．（本题6分）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．

(1)求证平分，并求的大小；
(2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长．
25．（本题6分）兴寿镇草莓园是北京最大的草莓基地，通过一颗颗小草莓，促进了农民增收致富，也促进了农旅融合高质量发展．小梅家有一个草莓大棚，大棚的一端固定在离地面高的墙体处，另一端固定在离地面高的墙体处，记大棚的截面顶端某处离的水平距离为，离地面的高度为，测量得到如下数值：

小梅根据学习函数的经验，发现是的函数，并对随的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小梅的探究过程，请补充完整：
(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；

解决问题：
(2)结合图表回答，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为___________；此时距离的水平距离为___________；
(3)为了草莓更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面时补光效果最好，若在距离处水平距离的地方挂补光灯，为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是多少？（灯的大小忽略不计）
26．（本题6分）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
(2)若，当时，求y的取值范围；
(3)已知，，为该抛物线上的点，若，求a的取值范围．
27．（本题7分）如图，在中，，，是的中点，是的中点，连接．将射线绕点逆时针旋转得到射线，过点作交射线于点．

(1)①依题意补全图形；
②求证：；
(2)连接，，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明．
28．（本题7分）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于直线l和线段，给出如下定义：若将线段关于直线l对称，可以得到的弦（，分别为A，B的对应点），则称线段是的关于直线l对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段是的关于直线l对称的“关联线段”．
(1)如图2，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．
①在线段，，中，的关于直线对称的“关联线段”是______；
②若线段，，中，存在的关于直线对称的“关联线段”，则______；
(2)已知交x轴于点C，在中，，．若线段是的关于直线对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的长．
2024年中考第二次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题（共16分，每小题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的只有一个．
1．截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定和的值．
2．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
【详解】A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此项不合题意；
D.既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．如图，已知，，则的度数为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据∠AOC和∠BOC的度数得出∠AOB的度数，从而得出答案．
【详解】∵∠AOC=70°，∠BOC=30°，
∴∠AOB=70°－30°=40°，
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=40°+70°=110°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是角度的计算问题，属于基础题型．理解各角之间的关系是解题的关键．
4．如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：由题意得：a＜0＜b，且＜，
∴，∴A选项的结论不成立；
，∴B选项的结论不成立；
，∴C选项的结论不成立；
，∴D选项的结论成立．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出a，b的取值范围是解题的关键．
5．若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据多边形的内角和公式求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的，依此可以求出多边形的一个外角．
【详解】正多边形的内角和是，
多边形的边数为
多边形的外角和都是，
多边形的每个外角
故选：．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．
6．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值是（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，根据方程有两个相等的实数根，判别式等于0列式求解即可得到答案；
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故选：B．
7．不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据概率计算公式进行求解即可．
【详解】解：∵不透明的袋子里装有2个红球，3个黄球，
∴从袋子中随机摸出一个，摸到黄球的概率为 ；
故选：D．
【点睛】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
8．如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；

上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】如图，过作于，则四边形是矩形，则，由，可得，进而可判断①的正误；由，可得，，，，则，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，由，可得，进而可判断②的正误；由勾股定理得，即，则，进而可判断③的正误．
【详解】解：如图，过作于，则四边形是矩形，

∴，
∵，
∴，①正确，故符合要求；
∵，
∴，，，，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得，，
∵，
∴，②正确，故符合要求；
由勾股定理得，即，
∴，③正确，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题（共16分，每小题2分）
9．要使式子有意义，则x可取的一个数是 ．
【答案】如4等（答案不唯一，）
【分析】根据二次根式的开方数是非负数求解即可．
【详解】解：∵式子有意义，
∴x﹣3≥0，
∴x≥3，
∴x可取x≥3的任意一个数，
故答案为：如4等（答案不唯一，．
【点睛】本题考查二次根式、解一元一次不等式，理解二次根式的开方数是非负数是解答的关键．
10．将因式分解为 ．
【答案】
【分析】先提公因式，再利用平方差公式可进行因式分解．
【详解】解：
=
=
故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
11．方程的解为 ．
【答案】x＝3
【分析】根据分式方程的解法解方程即可；
【详解】解：去分母得：3x﹣1＝2x+2，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入得：(x+1)(3x﹣1)≠0，
∴分式方程的解为x＝3．
故答案为：x＝3．
【点睛】本题考查了解分式方程：先将方程两边乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解．
12．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，请你写出一个符合要求的k的值 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由题可知，在两个象限，根据得到图象位于二、四象限，即给出符合题意的k值即可．
【详解】由题可知，在两个象限，
∵，
∴反比例函数的图象位于二、四象限，
∴，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
13．如图，在中，是直径，，＝，，那么的长等于 .
【答案】
【分析】此题考查了圆的垂径定理，勾股定理，圆周角定理；根据垂径定理得到，，，利用圆周角定理求出求出，得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，求得，勾股定理即可得，垂径定理即可求得的长．
【详解】解：如图所示，设交于点，
是直径，丄，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14．如图，《九章算术》是中国古代数学专着，是《算经十书》（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有株，根据题意可列分式方程为 .
【答案】
【分析】根据实际问题列分式方程即可，关键是对“那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”的理解．
【详解】解：由题意可列方程：；
故答案为：．
【点睛】本题考查根据题意列分式方程，解题关键是熟练运用单价计算公式：单价总价数量，结合题意即可得出分式方程．
15．如图，在矩形中，，，E点为边延长线一点，且．连接交边于点F，过点D作于点H，则 ．
【答案】
【分析】
利用相似三角形的判定与性质求得线段的长，进而求得的长，利再用勾股定理求出的长，最后根据三角形的面积公式，即可求出的长．
【详解】
解：四边形为矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
16．有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：

①左至右，按数字从小到大的顺序排列；
②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．
将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母 的位置，标注字母e的卡片写有数字 ．
【答案】B；4
【分析】根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案．
【详解】解：第一行中B与第二行中c肯定有一张为白1，若第二行中c为白1，则左边不可能有2张黑卡片，
白卡片数字1摆在了标注字母B的位置，
黑卡片数字1摆在了标注字母A的位置，；
第一行中C与第二行中c肯定有一张为白2，若第二行中c为白2，则a，b只能是黑1，黑2，而A为黑1，矛盾，
第一行中C为白2；
第一行中F与第二行中c肯定有一张为白3，若第一行中F为白3，则D，E只能是黑2，黑3，此时黑2在白2右边，与规则②矛盾，
第二行中c为白3，
第二行中a为黑2，b为黑3；
第一行中F与第二行中e肯定有一张为白4，若第一行中F为白4，则D，E只能是黑3，黑4，与b为黑3矛盾，
第二行中e为白4．
故答案为：①B，②4．
【点睛】本题考查图形类规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定出白1，白2，白3，白4的位置．
三、解答题（共68分，17~22题，每题5分，23~26题，每题6分，27~28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（本题5分）计算：
【答案】
【分析】先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，化简二次根式等等，熟知相关计算法则是解题的关键．
18．（本题5分）解不等式组：．
【答案】
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
19．（本题5分）先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【分析】根据分式的混合运算法则进行化简，再代值计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，二次根式的运算．熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，是解题的关键．
20．（本题5分）如图，在中，平分，过点D作于点于点F，点H是的中点，连接．
(1)判断四边形的形状，并证明；
(2)连接，若，求的长．
【答案】(1)菱形，见解析；(2)
【分析】本题考查菱形的性质和判定，关键是利用菱形的判定解答．
（1）根据角平分线的性质得出，进而利用直角三角形的性质得出，进而利用菱形的判定解答即可；
（2）根据菱形的性质和含角的直角三角形的性质得出，进而解答即可．
【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
平分，过点作于点，于点，，
，，
点是的中点，
，，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：连接，交于点，
四边形是菱形，
，，，
，
，
．
21．（本题5分）已知，图①是一张可以缓解眼睛疲劳的视力远眺回形图，它是由多个大小不等的正方形构成的二维空间平面图，利用心理学空间知觉原理，通过变化图案可不断改变眼睛晶状体的焦距，强烈显示出三维空间的向远延伸的立体图形，调节人们的睫状体放松而保护视力．其中阴影部分是由能够缓解视疲劳的绿色构成，阴影之间的部分是空白区域．某体检中心想定做一张回形图，图②是选取的部分回形图的示意图，其中最大的正方形边长为，且空白区域两部分的面积相等，若空白区域需要三种不同的护眼浅色贴纸，铺贴用纸费用分别为：A区域10元，B区域15元，C区域20元，铺贴三个区域共花费150元，求C区域的面积．
【答案】
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设A区域的面积为，根据题意得出，解得，再求出C区域的面积即可．
【详解】解：设A区域的面积为，
，
解得，
，
答：C区域的面积是．
22．（本题5分）在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象经过点，，与x轴交于点A．
(1)求该一次函数的表达式及点A的坐标；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数（）的值，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)，；(2)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键．也考查了一次函数的性质．
（1）先利用待定系数法求出函数解析式为，然后计算自变量为0时对应的函数值得到点坐标；
（2）当函数与轴的交点在点（含点）上方时，当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值．
【详解】（1）解：一次函数的图象经过点，，
，
解得，
该一次函数的表达式为，
令，得，
，
；
（2）解：当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，
，
．
23．（本题6分）为进一步增强中小学生“知危险会避险”的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
．这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分统计图：
．这30名学生两次知识竞赛获奖情况相关统计表：
（规定：分数，获卓越奖；分数，获优秀奖：分数，获参与奖）
．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：
90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98
．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如下表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“○”圈出代表小松同学的点；
(2)直接写出的值；
(3)哪一次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高?请说明你的理由（至少两个方面）．
【答案】(1)见详解；(2)，；(3)第二次
【分析】（1）根据30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图可得横坐标为89，纵坐标为91，即可获得答案；
（2）根据平均数和中位数的定义求解即可；
（3）根据平均数、众数和中位数的意义解答即可．
【详解】（1）解：如图所示；
（2），
∵第二次竞赛获卓越奖的学生有16人，成绩从小到大排列为：
90，90，91，91，91，91，92，93，93，94，94，94，95，95，96，98，
其中第1个和第2个数是30名学生成绩中第15和第16个数，
∴，
∴，；
（3）第二次竞赛，学生成绩的平均数、中位数和众数均高于第一次竞赛，
故第二次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高．
【点睛】本题主要考查了众数、平均数、中位数等知识，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．
24．（本题6分）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．

(1)求证平分，并求的大小；
(2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长．
【答案】(1)见解析，；(2)
【分析】（1）根据已知得出，则，即可证明平分，进而根据平分，得出，推出，得出是直径，进而可得；
（2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴，
∴，即平分．
∵平分，
∴，
∴，
∴，即，
∴是直径，
∴；
（2）解：∵，，
∴，则．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形，则．
∵平分，
∴．
∵是直径，
∴，则．
∵四边形是圆内接四边形，
∴，则，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是直径，
∴此圆半径的长为．
【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键．
25．（本题6分）兴寿镇草莓园是北京最大的草莓基地，通过一颗颗小草莓，促进了农民增收致富，也促进了农旅融合高质量发展．小梅家有一个草莓大棚，大棚的一端固定在离地面高的墙体处，另一端固定在离地面高的墙体处，记大棚的截面顶端某处离的水平距离为，离地面的高度为，测量得到如下数值：

小梅根据学习函数的经验，发现是的函数，并对随的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小梅的探究过程，请补充完整：
(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；

解决问题：
(2)结合图表回答，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为___________；此时距离的水平距离为___________；
(3)为了草莓更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面时补光效果最好，若在距离处水平距离的地方挂补光灯，为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是多少？（灯的大小忽略不计）
【答案】(1)见解析；(2)4；3；(3)为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是．
【分析】（1）描点，连线，即可画出函数的图象；
（2）结合图表回答，即可解答；
（3）利用待定系数法求得抛物线的解析式，令，求得函数值，即可解答．
【详解】（1）解：描点，连线，函数的图象如图所示，
；
（2）解：根据图表知，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为；此时距离的水平距离为；
故答案为：4；3；
（3）解：设抛物线的解析式为，
把，，，代入得，，
解得，
∴抛物线的解析式为，
令，则，
，
答：为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据点的坐标画出函数图象是解题关键．
26．（本题6分）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
(2)若，当时，求y的取值范围；
(3)已知，，为该抛物线上的点，若，求a的取值范围．
【答案】(1)直线；(2)；(3)或
【分析】（1）根据对称轴为直线代入求解即可；
（2）根据，比距离对称轴远，分别求得时的函数值即可求解；
（3）分两种情况讨论和时．
【详解】（1）解：∵抛物线解析式为，
∴对称轴为直线；
（2）解：当时，抛物线解析式为，
∴对称轴，抛物线开口向上，
∴当时，取得最小值，即最小值为，
∵离对称轴更远，
∴时取得最大值，即最大值为，
∴当时，y的取值范围是；
（3）解：∵，
∴，，即；或，，即，
∵抛物线对称轴，
∴是抛物线顶点坐标，
若，则抛物线开口向上，，
在对称轴的右侧，
当在对称轴右侧时，，解得：；
当在对称轴左侧时，，解得：，不符合题意；
∴a的取值范围是；
若，则抛物线开口向下，，
在对称轴的右侧，
当在对称轴右侧时，，解得：，不符合题意，
当在对称轴左侧时，，解得：；
∴a的取值范围是；
综上所述：a的取值范围是或.
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
27．（本题7分）如图，在中，，，是的中点，是的中点，连接．将射线绕点逆时针旋转得到射线，过点作交射线于点．

(1)①依题意补全图形；
②求证：；
(2)连接，，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)
【分析】（1）①根据题意画出图形即可求解；
②连接，则于点，平分，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出，，根据，得出，则；
（2）延长至点，使得，连接，，倍长中线法证明，进而证明，即可得证．
【详解】（1）解：①如图所示，

②连接，

∵，是的中点，
∴于点，平分，
∵
∴，，
∵，
∴，，
∴；
（2）；证明如下，
延长至点，使得，连接，，

∵为的中点，为的中点
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰三角形，则，，，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
28．（本题7分）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于直线l和线段，给出如下定义：若将线段关于直线l对称，可以得到的弦（，分别为A，B的对应点），则称线段是的关于直线l对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段是的关于直线l对称的“关联线段”．
(1)如图2，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．
①在线段，，中，的关于直线对称的“关联线段”是______；
②若线段，，中，存在的关于直线对称的“关联线段”，则______；
(2)已知交x轴于点C，在中，，．若线段是的关于直线对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的长．
【答案】(1)①；②3或2；(2)b的最大值为，；最小值为，
【分析】（1）①分别画出线段，，关于直线对称线段，运用数形结合思想，即可求解；
②从图象性质可知，直线与x轴的夹角为45°，而线段⊥直线，线段关于直线对称线段还在直线上，显然不可能是的弦；线段，的最长的弦为2，得线段的对称线段不可能是的弦，而线段∥直线，线段，所以线段的对称线段，且线段，平移这条线段，使其在上，有两种可能，画出对应图形即可求解；
（2）先表示出，b最大时就是最大，b最小时就是长最小，根据线段关于直线对称线段在上，得，再由三角形三边关系得，得当为时，如图3，最小，此时C点坐标为；当为时，如图3，最大，此时C点坐标为，分两种情形分别求解．
【详解】（1）解：①分别画出线段，，关于直线对称线段，如图，
发现线段的对称线段是⊙O的弦，
∴线段，，中，⊙O的关于直线对称的“关联线段”是，
故答案为：；
②从图象性质可知，直线与x轴的夹角为45°，
∴线段⊥直线，
∴线段关于直线对称线段还在直线上，显然不可能是的弦；
∵线段，的最长的弦为2，
∴线段的对称线段不可能是的弦，
线段是⊙O的关于直线对称的“关联线段”，
而线段∥直线，线段，
∴线段的对称线段，且线段，平移这条线段，使其在上，有两种可能，
第一种情况的坐标分别为，
此时；
第二种情况的坐标分别为
此时，
故答案为：3或2；
（2）已知交x轴于点C，在中，，．若线段是的关于直线对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的长．
解：∵直线交x轴于点C，
当时，，
解得：
∴
即b最大时就是最大，b最小时就是最小，
∵线段是的关于直线对称的“关联线段”，
∴线段关于直线对称线段在⊙O上，
∴
在中，
∴当为时，如图，最小，此时C点坐标为，
将点C代入直线中，得
解得：，
∵点关于对称
∴，
∴当为时，如图，最大，此时C点坐标为，
将点C代入直线中，得
解得：，
∵点关于对称
∴，
综上b的最大值为，；最小值为，．
【点睛】本题考查了以圆为背景的阅读理解题，对称轴的性质、一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，三角形三边关系，解决问题的关键是找出不同情境下的“关联线段”和阅读理解能力．
参与奖
优秀奖
卓越奖
第一次竞赛
人数
10
10
10
平均数
82
87
95
第二次竞赛
人数
2
12
16
平均数
84
87
93
平均数
中位数
众数
第一次竞赛
87.5
88
第二次竞赛
90
91
0
1
2
4
5
1
参与奖
优秀奖
卓越奖
第一次竞赛
人数
10
10
10
平均数
82
87
95
第二次竞赛
人数
2
12
16
平均数
84
87
93
平均数
中位数
众数
第一次竞赛
87.5
88
第二次竞赛
90
91
0
1
2
4
5
1