（人教A版）高二数学上学期期末复习 第一章 空间向量 题型归纳+随堂检测（基础篇）（2份，原卷版+解析版）

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1．求a+2b−3c+3×23a−12b+23c−a−2b+c为（ ）
A．2a+32b−2c B．2a+52b−2c C．2a−52b−2c D．2a−32b−2c
2．空间四边形ABCD，连接AC，BD．M，G分别是BC，CD的中点，则AB+12BC+12BD等于 （ ）

A．AD B．GA C．AG D．MG
3．化简下列算式：
(1)32a−b−4c−4a−2b+3c； (2)OA−OB−AB−AC．
题型2
空间向量数量积的计算
1．如图，在四面体ABCD中，∠BAC=60°，∠BAD=∠CAD=45°，AD=2，AB=AC=3.则BC⋅BD=（ ）

A．32 B．52 C．92 D．32
2．如图，在底面为矩形的四棱锥E-ABCD中，AE⊥底面ABCD，AE=AB，G为棱BE的中点.
(1)证明：AG⊥平面BCE.
(2)若AB=4，AD=6，ED=3EF，求AG⋅CF.
题型3
用空间基底表示向量
1．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥P−ABCD是阳马，PA⊥平面ABCD，且PE=3EC，若AB=a,AD=b,AP=c，则DE=（ ）

A．38a+38b−34c B．34a+34b−13c C．34a+34b−23c D．34a→−14b→+14c→
2．如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，P为AD1与A1D的交点，若DA=a,DC=b,DD1=c，则CP=（ ）
A．12a+b+12c B．12a−b−12c C．12a−b+12c D．−12a+b−12c
3．如图所示，在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，AB=a，AD=b，AA′=c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，用基底a,b,c表示以下向量：

(1)AP；(2)AM；(3)AN.
题型4
由空间向量基本定理求参数
1．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，M，N分别是BB1和A1C1的中点，且MN=xAB+yAC+zAA1，则实数x，y，z的值分别为（ ）
A．−1,12,12 B．−1,12,−12 C．−1,−12,−12 D．1,−12,12
2．已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点，PA⊥平面ABCD，点M,N满足PM=12PC，PN=23PD．若MN=xAB+yAD+zAP，则x+y+z=（ ）
A．−1 B．1 C．−12 D．12
3．如图所示，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，BE=13BB1，DF=23DD1.
(1)求证：A，E，C1，F四点共面；
(2)若EF=xAB+yAD+zAA1，求x+y+z的值.
题型5
空间向量运算的坐标表示
1．已知空间向量a=2,−1,2,b=1,−2,1，则2a−b=（ ）
A．4,−2,4 B．2,−1,2 C．3,0,3 D．1,−2,1
2．若点A1,2,3，点B4,−1,0，且AC=2CB，则点C的坐标为（ ）
A．3,0,1 B．2,1,2 C．32,−32,−32 D．52,12,32
3．如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD−A′B′C′D′，AB=1，BC=2，AA′=3．求：
(1)向量AC′，BD′，AD′的坐标；
(2)AC′+2BD′，AC′+BD′−2AD′的坐标．
题型6
空间向量数量积运算的坐标表示
1．若a=2,3,2,b=1,2,2,c=−1,2,2，则a−b⋅c的值为（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．2
2．已知向量a=(1,1,x)，b=(−2,2,3)，若(2a−b)⋅b=1，则x=（ ）
A．−3 B．3 C．−1 D．6
3．已知向量a，b，c满足2a+b=0,−5,10，c=1,−2,−2，且a⋅c=4，求b⋅c．
4．已知向量a→=4,2,−4，b→=2,−1,1，c→=−1,5,1，求：
(1)2a→−3b→； (2)a→⋅b→； (3)a→⋅（b→+c→）.
题型7
利用空间向量证明线、面间的平行关系
1．如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中， AB=BC=2AA1，当 A1C=λA1P时，有D1P//平面BDC1，则实数λ的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．52
2．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，若O1为A1C1中点，O2为AC中点.

求证：(1)BO1//D1O2； (2)BO1//平面ACD1； (3)平面ACD1//平面BA1C1．
题型8
利用空间向量证明线、面间的垂直关系
1．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F,M分别为所在棱的中点，P为下底面的中心，则下列结论中正确的是（ ）
①平面EFC1⊥平面AA1C1 ②MP⊥A1D ③MP⊥C1D ④EF//平面AD1B1
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①④
2．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，PA=2．

(1)求证：AE⊥PD；
(2)求证：平面PBD⊥平面PAC．
第一章《空间向量与立体几何》综合检测卷（基础卷）
1．已知正四面体的棱长为1，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知空间向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A．且B．且
C．且D．以上都不对
3．已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，空间四边形中，，，，点，分别在，上，且，，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则直线，的位置关系是（ ）
A．平行B．相交C．异面垂直D．异面不垂直
6．已知是直线l的方向向量，是平面a的法向量．若，则_________．
7．已知是平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为_________.
8．设，，且.记.
(1)求与y轴正方向的夹角的余弦值；
(2)若，，，向量与、都垂直，且，求的坐标.
9．如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，已知，．
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值；
(3)求到平面的距离．
10．在直角梯形中，，A为线段的中点，四边形为正方形．将四边形沿折叠，使得，得到如图（2）所示的几何体．
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)当F为线段的中点时，求二面角的余弦值．