东北三省精准教学联盟2026届高三上学期12月联合考试 数学试卷（含答案）

这是一份东北三省精准教学联盟2026届高三上学期12月联合考试 数学试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知复数满足，则（ ）
A．4B．1C．D．
3．已知圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
4．已知点，，为坐标原点，若，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知数列是首项为1的等差数列，且，则（ ）
A．B．或C．D．或
6．已知函数是定义在上的奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
8．若关于的不等式在上有解，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知，，，，下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数的定义域为，为其导函数，若为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．若，则
D．若，则
11．在平面直角坐标系中，射线从轴的非负半轴开始绕坐标原点逆时针旋转时与轴的非负半轴所成的角为，定义，，则下列说法正确的是（ ）
A．，使得B．
C．的最小正周期为D．当时，的最大值为2
三、填空题
12．过作直线与圆交于，两点，则的最小值为 .
13．在数列中，，且，则 .
14．已知为所在平面内一点，且，若，，，则 .
四、解答题
15．如图，在三棱锥中，底面，，，二面角的大小为，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，求异面直线与所成角的余弦值.
16．手机实际充电过程中，为保护电池健康，在不同电量时往往采用不同的模式充电，在某次实验室针对某旧电池从某个电量开始充电到100%的模拟充电实验中，手机电量（单位：%）与充电时间（单位：）近似满足：当时，；当时，；当时，，设为该旧电池开始充电的时刻；当时，认为电量不产生跃变；已知，单调递增.
(1)求该旧电池开始充电时的电量及充满电的时刻；
(2)求的值.
17．在中，角是的内角，且.
(1)求；
(2)若为边BC的中点，且，，求的面积；
(3)求的最大值.
18．已知函数，.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若为函数的导函数，讨论函数的极值；
(3)若，证明：在上恒成立.
19．已知数列，，，，且，，成等差数列.
(1)若，，求数列的前4项和.
(2)若，，是否存在，，使得？若存在，求出所有满足条件的，的值；若不存在，请说明理由.
(3)定义：对于一个无穷数列，如果存在常数，对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，都有，则称常数为数列的极限，记作.设数列的前项和为，，求实数和的值.
参考答案
1．C
【详解】，解得，即或，集合B中符合条件.
故选：C.
2．B
【详解】因为，所以，
所以
所以.
故选：B
3．D
【详解】圆锥的轴截面是边长为的正三角形，
母线长，底面半径，
圆锥的侧面积，故D正确．
故选：D．
4．D
【详解】由题意知，，.
因为，的夹角为锐角，
所以且不存在实数使得，即，不共线.
①，因为，
所以，解得.
②，不共线，若，共线，则，
整理得，解得或，
所以且，综上，且.
故选：D.
5．B
【详解】设数列的公差为，又，即，
整理得，解得或，
当时，；当时，
又，
因此或.
故选：B.
6．A
【详解】由于函数是定义在上的奇函数，
故，
即，即，
则，由于不恒等于0，故，
即，所以，
故选：A
7．D
【详解】由题意有：，又，即，
所以，解得，
所以，
故选：D.
8．C
【详解】关于的不等式在上有解，
则在上有解,
即，
令,则，
设，则，
所以在上单调递增，则，所以，
则
令，解得：，
令，解得：，则在上单调递增，
令，解得：，则在上单调递减，
所以，
则，
故选：C
9．AC
【详解】对于A，因为恒成立，所以恒成立.
又，所以，正确；
对于B，若，则，错误；
对于C，因为，所以.
所以.
当且仅当，即时，等号成立，正确；
对于D，当时，，错误.
故选：AC.
10．BCD
【详解】对于A：若为偶函数，则，以代换，则，即的图象关于对称，故A错误；
对于B：由A可得，对等式两边同时求导，得，即，
即函数的图象关于点对称，故B正确；
对于C：若，则有.
又由A可知，，则，
因此有，故的周期，
故，故C正确；
对于D：若，则，
又由B可知，，则，
即的周期，故，故D正确.
故选：BCD.
11．BD
【详解】选项A：，
，
，，故，故A错误；
选项B：，
，
，故B正确；
选项C：，假设的最小正周期为，
当时，，
当时，，
，与假设矛盾，
故的最小正周期不是，故C错误；
选项D：当时，，，
若，，当时，取最大值2；
若，，值域为；
时，的最大值为2，故D正确．
故选：BD．
12．2
【详解】由于，故点在圆内，
设圆心到直线的距离为d，则，
当时，d取最大值，此时，
则的最小值为，
故答案为：2
13．
【详解】因为，
等式两边同乘以可得，，
两边再同减可得，，
所以数列为常数列，
因为，所以，故，
所以，
故答案为：.
14．
【详解】因为是三角形内角，，
所以.
在中，根据正弦定理得，解得.
因为，所以为的外心，
所以.
，而.
所以.
在中，根据余弦定理，所以.
设的外接圆半径为，则根据正弦定理得，解得.
所以，所以.
故答案为：-18.
15．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证法一：因为，，为的中点，所以，
因为底面，平面，所以，
又因为，、平面，所以平面.
证法二：因为，，为的中点，所以，
因为底面，平面，所以，
所以，，
所以，
又因为为的中点，所以.
又因为，、平面，所以平面.
（2）解法一：因为，，所以即为二面角的平面角，所以，
因为，，，为的中点，
所以，所以，，
因为平面，平面，所以，所以.
因为底面，，
故以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
则，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
解法二：取的中点，连接和，
因为，，所以即为二面角的平面角，所以，
因为，，，为的中点，
所以，所以，，
因为平面，平面，所以，所以.
所以，
因为为的中点，为的中点，所以为的中位线，
所以，，所以为异面直线与所成的角.
因为平面，平面，所以，
由勾股定理得，
在中，由余弦定理可得
.
所以异面直线与所成角的余弦值为.
解法三：因为底面，，
故以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，，为的中点，
所以，所以，
所以.
设，则、、、，，
则，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，所以.
易知平面的一个法向量为，
又二面角的大小为，所以，解得（负值舍去）.
所以，，
所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.
16．(1)，
(2)，
【详解】（1）由题意，开始充电的时刻为，，
将代入得：，
故该旧电池开始充电时的电量为.
充满电即电量达到，即，
已知单调递增，且，故充满电的时刻必大于60，
此时，
令，得，解得，
故充满电的时刻是.
（2）由于当时，认为电量不产生跃变，故当10时，第一段和第二段函数值相等，
由第一段函数知，由第二段函数知，
令两式相等得，即.
时，，化简得.
联立，
解得，
所以.
17．(1)
(2)
(3)0
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
所以，
整理得，
又，所以，
所以，又，所以.
（2）因为为边BC的中点，所以，
因为，，，
所以
，
即，解得，即，所以.
所以，即的面积为.
（3）法一：由正弦定理得
.
令，由知.
当时，；
当时，，此时.
综上，.
令，，
易知，故，
即当且仅当时，取得最大值0.
法二：由余弦定理得，则
.
由正弦定理得，
令，由知，
当时，；当时，，
，此时.
综上，.
令，，
易知，故，
即当且仅当时，取得最大值0.
18．(1)
(2)当时，函数在上无极值；
当时，函数在处取得极小值，无极大值.
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，，，
所以，
所以，又，
则曲线在处的切线方程为，即.
（2）因为，，
所以，，
令，，
则，.
当时，，函数在上单调递增，
此时函数在上无极值；
当时，令，解得，
当时，，此时函数在上单调递减；
当时，，此时函数在上单调递增，
所以当时，函数取得极小值，无极大值.
综上，当时，函数在上无极值；
当时，函数在处取得极小值，无极大值.
（3）不等式可化为，
即，
令，.
则，，
由（2）可知，时，函数在上单调递减，
在上单调递增，在处取得最小值，
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以函数在上单调递增.
所以.
即当时，在上恒成立.
19．(1)
(2)存在，，
(3)，
【详解】（1）因为成等差数列，所以，
又，所以，
，，
所以，，
，，
所以.
（2）因为，所以，
所以是首项，公比的等比数列，
所以，所以，
若存在，使得，即，则，
令，则，整理得，
因为，所以，所以，
当时，，，符合条件；
当时，，不符合条件；
令，则，
所以在单调递增，而，
所以当时，，不符合条件，
综上满足条件的值为：.
（3）由可得，即，
所以是等比数列，首项为，公比为，
所以，
整理得，
所以
因为，所以，得①，
且，得②，
由①②可得.