湖北省大冶市2025届九年级上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份湖北省大冶市2025届九年级上学期期末考试数学试卷(含答案)，共12页。
学校： 班级： 姓名： 考号：
注意事项：
1．本试卷分试题卷和答题卷两部分；考试时间为120分钟；满分120分。
2．考生在答题前请仔细阅读答题卷中的“注意事项”，然后按要求答题。
3．所有答案均须做在答题卷相应区域，做在其他区域无效。
一、选择题（共10小题，共30分）
1．将一元二次方程2x2＋1＝5x化为一般形式后，常数项是1，则二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A. 2、－5B. 2、5C. 2、1D. 2x2、－5x
2．下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3．下列事件是必然事件的是（ ）
A. 刻舟求剑B. 两个不同温度的物体靠在一起，发生热传递
C. 水溶解金属D. 受精卵发生了基因突变
4．若关于x的方程x2－2x－k＝0有实数根，则k的值可能为（ ）
A. －4B. －3C. －2D. 0
5．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为（ ）
A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°

第5题图第7题图第9题图
6．已知反比例函数y＝，下列结论错误的是（ ）
A. 其图象经过（－2，1）B. 其图象位于第二、第四象限内
C. 当x＜0时，y随x的增大而增大D. 当x＞－1时，y＞2
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，在同一平面内，将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，连接BB1，若BB1∥AC1，则∠CAC1的度数是（ ）
A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°
8．若一圆锥的底面圆半径为1cm，其侧面展开图刚好是一个半圆，则圆锥的母线长为（ ）
A. 2cmB. cmC. πcmD. 3cm
9．如图，点E是平行四边形ABCD的边AD的中点，下列结论错误的是（ ）
A. AE＝EDB. S△ABF＝2S△AEF
C. S△BFC＝4S△AEFD. S四边形EFCD＝6S△AEF
10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝－1，部分图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②b2－4ac＞0；③4a＋c＞0；④若t为任意实数，则有a－bt≤at2＋b；⑤当图象经过点（，2）时，方程ax2＋bx＋c－2＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1＋2x2＝，其中正确的结论是（ ）
A. ②③⑤B. ①③④⑤
C. ②③④⑤D. ①③④
二、填空题（共5小题，共15分）
11．在平面直角坐标系中，点P（－4，5）关于原点对称点P'的坐标是 ．
12．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯105次，则参加酒会的人数为
人．
13．生物学家研究发现，人体许多特征都是由基因控制的（如图）如人的单双眼皮由常染色体上的一对基因控制，双眼皮是显性，单眼皮是隐性．双眼皮基因和单眼皮基因分别用A和a表示，因此控制单、双眼皮的一对基因是AA，Aa，aa三种，其中基因为AA和Aa的人双眼皮，基因为aa的人单眼皮．父母分别将他们一对基因中的一个等可能地遗传给子女．若父母都是双眼皮且他们的基因都是Aa，则他们的子女是双眼皮的概率为 ．
14．如图，点A和点B分别是反比例函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象上的点，AB⊥x轴，点C为y轴上一点，若S△ABC＝2，则m－n的值为 ．
15．如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，AQ，BP相交于点O．若BO＝6，AP＝4，则PO的长为 ，AB的长为 ．

第13题图第14题图第15题图
三、解答题（共9小题，共75分）
16．（6分）解下列方程：
（1）x2－4x＋2＝0；（2）x（x－2）＋x－2＝0．
17．（6分）已知关于x的一元二次方程kx2－2（k＋1）x＋k－1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使＋＝1成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
18．（6分）如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，得到△ADE，点B的对应点为点D，点C的对应点E落在BC
边上，连接BD．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）若AC＝，BC＝6，求线段BD的长．
19．（8分）如图是某停车场，现仅剩下“C001”、“C002”、“C003”、“C004”四个车位．
（1）若有一辆小汽车停车，则这辆车停在“C002”号车位的概率是 ；
（2）分别记这四个车位为A、B、C、D，小明和小红同时来到该处停车，用画树状图或列表的方法，求两人停车在相邻车位的概率．
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，过点C作AD的垂线，垂足为点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AD＝2CE，OA＝，求阴影部分的面积．
21．（8分）如图，已知一次函数y1＝mx＋n的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数y2＝的图象分别交于点C、D，点C坐标为（－4，1），A是线段BC的中点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出当y1≥y2时，自变量x的取值范围．
22．（10分）小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式（1≤x≤20，且x为整数）
（1）求日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式：
（2）在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）“双十一”当天，小亮采用如下促销方式：销售价格比前20天中最高日销售价格降低a元，日销售量比前20天最高日销售量提高了6a盏，日销售利润比前20天中的最大日销售利润多了90元，求a的值．【注：销售利润＝（售价－成本价）×销售量】
23．（11分）1．综合与实践
问题情境：
如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥AC交
直线BC于点F，作EG⊥EB，交直线DC于点G．
数学思考：
（1）探究：线段BF和CG的数量关系并证明；
问题解决：
（2）如图2，在图1的条件下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件不变．若AB＝2，BC＝3，求的值；
问题拓展：
（3）在（2）的条件下，当时，画图并求出线段CG的长．

24．（12分）已知抛物线（a＞0）与直线相交于B、C两点，抛物线与x轴相交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）当a＝1时，如图（1）过点A作直线l'垂直于x轴，把线段AC绕点C顺时针旋转135°，AC所在的直线交直线l'于点P，求点P的坐标；
（3）规定：横、纵坐标均为整数的点称为格点．如（1，2），（－3，4）等，如图（2）直线l与抛物线所围成的部分（不含边界）格点数恰为22个，求点a的取值范围．

2024年秋九年级期末考试数学答案
选择题
A 2、D 3、B 4、D 5、C
6、D 7、B 8、A 9、D 10、C
填空题
（4，-5） 12、15 13、 14、4 15、2
解答题
（6分）（1）2 （2） --------------每题3分
17、（6分）解：（1）由题意知，k≠0且Δ＝b2﹣4ac＞0
∴b2﹣4ac＝[﹣2（k+1）]2﹣4k（k﹣1）＞0，
即4k2+8k+4﹣4k2+4k＞0，
∴12k＞﹣4
解得：k＞﹣且k≠0---------------------3分（如果答案没有k≠0这部分，则加1分）
（2）不存在．
∵x1+x2＝，x1•x2＝，
又有+＝＝1，
可求得k＝﹣3，而﹣3＜﹣
∴满足条件的k值不存在．----------------------------6分（前面都对了，但是最后结论错了，第二问则加2分）
18、（6分）解（1）证明：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ADE，
∴AC＝AE，∠CAE＝90°，∠AED＝∠C，
∴∠C＝∠AEC＝45°＝∠AED，
∴∠DEC＝∠DEA+∠AEC＝90°，
∴DE⊥BC；-----------------------------------------------------3分
（2）解：∵，
∴根据旋转可知：，
∴在Rt△AEC中，，
∴BE＝BC﹣EC＝2，
由旋转可知DE＝BC＝6，
∴．------------------------------------------------6分
19、（8分）解：（1）∵现仅剩下“C001”、“C002”、“C003”、“C004”四个车位，
∴有一辆小汽车停车，则这辆车停在“C002”号车位的概率是；
故答案为：；------------------------------------------------------------------------------4分
（2）由题意，画树状图如图所示：
共有12种等可能的结果，其中小明和小红两人停在相邻车位的结果有6种，（没有语言描述，将扣1分）
∴两人停在相邻车位的概率为＝．-----------------------------------------8分
20、（8分）解（1）证明：∵C是的中点，
∴，
∴∠EAC＝∠BAC．
∴∠EAC＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∵CE⊥AE，
∴OC⊥CE．
∵OC为⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；------------------------------------------------------------------4分
（2）解：连接OD，过点O作OF⊥AD于点F，如图，
则AF＝FD＝AD，
∵AD＝2CE，
∴AF＝CE．
∵OF⊥AD，CE⊥AE，OC⊥CE，
∴四边形EFOC为矩形，---------------------------------------------------5分（证出矩形加1分）
∴OF＝CE，
∴OF＝AF，
则△AFO为等腰直角三角形，
∴∠FAO＝45°，AF＝FO＝OA＝1．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠FAO＝45°，
∴∠AOD＝90°．
∴OA•OD＝＝1，
＝，
∴阴影部分的面积＝S扇形OAD﹣S△OAD＝﹣1．---------------------------------------------8分
21、（8分）解：（1）将点C坐标（﹣4，1）代入，
得：＝1，
解得k＝﹣4，
即反比例函数解析式为：y2＝﹣；-----------------------------------1分
∵点A是线段BC的中点，点B横坐标为0，点A纵坐标为0，点C的坐标（﹣4，1），
∴B点坐标为（0，﹣1），A点坐标为（﹣2，0），
将B（0，﹣1）、C（﹣4，1）代入一次函数y1＝mx+n，
得：，
解得：，
即一次函数解析式为：y1＝﹣x﹣1；-----------------------------------------3分
（2）∵B（0，﹣1），
∴OB＝1，
联立，
解得或，
即D的坐标（2，﹣2）．---------------------------------------------------------------------------5分
又∵C（﹣4，1），
则△COD的面积是S＝＝×1×（2+4）＝3；------------------------6分
（3）观察图象，当y1≥y2时，自变量x的取值范围是：x≤﹣4或0＜x≤2．--------8分（每个答案1分）
22、（10分）解：（1）设日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式为p＝kx+b，
把（1，78），（2，76）代入得：
，
解得：，
即日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式为p＝﹣2x+80；------------------3分
（2）设日销售利润为w元，依题意得：
；
∵，1≤x≤20，且x为整数，
∴当x＝10时，w取得最大值，最大值是450；
∴在这20天中，第10日销售利润最大，最大日销售利润是450元；-----------------6分
（3）当天售价为元，销售量为（78+6a）盏，
根据题意得：（30﹣a﹣20）（78+6a）﹣450＝90，
即a2+3a﹣40＝0，
解得：a＝5或a＝﹣8（不合题意，舍去），
∴a的值为5．------------------------------------------------------------------------------------10分
23、（11分）解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∠ACD＝∠DAC＝45°，
∵EF⊥AC，
∴∠FEC＝90°，
∴∠EFC＝90°﹣∠ACF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EFC＝∠ECF＝∠ECG，
∴EF＝EC，
∵BE⊥EG，
∴∠BEG＝90°，
∴∠BEG＝∠FEG，
∴∠BEC+∠CEG＝∠BEC+∠FEB，
∴∠FEB＝∠CEG，
∴△BEF≌△GEC（ASA），
∴BF＝CG，
故答案为：BF＝CG；---------------------------------------------------------------------------3分
（2）∵四边形ABCD是矩形，∠BCD＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∵EF⊥AC，
∴∠FEC＝90°，
∴∠BCE+∠EFB＝90°，∠FEB+∠BEC＝90°，
∴∠EFB＝∠ECG，
又∵BE⊥EG，
∴∠CEG+∠BEC＝90°，
∴∠FEB＝∠CEG，
∴△BFE∽△GCE，
∴＝，
可证＝＝，
∴＝；-------------------------------------------------------------------------------------7分
同上可以证明△BFE∽△GCE
AC=,EC=
可以证明△CEF∽△CBA，可求CF=，求得BF=
CG=----------------------------------------------------------------------------------------11分
24、（12分）
解：（1）（2,0）（过程略）---------------------------------------------------------------------------------3分
（2）当a=1时，抛物线y=（x-2）2,直线为 y=x
其交点B（1,1），点C（4,4），
如图，若∠ACP=1350，则∠ACG=450
过点A作PC的垂线，垂足为点G，构建等腰直角三角形AGC，
依全等三角形，设CM=GN=m, MG=AN=n,构建方程
求得m=3,n=1.则点G（5,1），
从而求得直线CG的解析式为y= -3x+16
∴点P（2,10）------------------------------------------------------------------------------------7分
(3)将y=0代入y=a(x-2)2 ,得到x=2 ,
∴A（2,0），
由，解方程组，可得;
B（1，a） C（3,3a）
设直线x=2交直线y=ax交与点D，直线x=3交直线y=ax与点F,
交y=a（x-2）2 于点E，
则D（2,2a） E（3，a） F（3，3a）-------------------------------8分
∴AD=2a EF=3a-a=2a
∴AD=EF
设由抛物线y=a（x-2）2 与直线y=ax围成的区域（不含边界）的格点为
P（m,n）（m、n均为整数）
∴m=2 或 m=3
∴格点P（m,n）必在线段AD与EF上
又∵该区域共有22个格点，且AD=EF
∴线段AD和EF各有11个格点。
∴11＜2a≤12
∴5.5＜a≤6----------------------------------------------------------9分
又∵线段EF上共有11个格点
∴当5.5＜a＜6时，3a≤17,即a≤
∴5.5＜a≤-------------------------------------------------------11分
当a=6时，3a=18，此时线段EF上也恰好有11个格点
综上所述，满足条件的a的取值范围为5.5＜a≤或者a=6.------------------------12分