黑龙江省龙东地区部分学校2025届九年级上学期期末试卷数学试卷(含解析)

这是一份黑龙江省龙东地区部分学校2025届九年级上学期期末试卷数学试卷(含解析)，共27页。试卷主要包含了考试时间120分钟，全卷共三道大题，总分120分等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．考试时间120分钟
2．全卷共三道大题，总分120分
一、选择题（每题3分，满分30分）
1. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：A．该选项的方程是分式方程，故本选项不符合题意；
B．，是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．整理可得，是一元一次方程，故本选项不合题意．
故选：B．
2. 以下是“双减”背景下学校社团拓展课程的相关图片，其中是中心对称图形的是（ ）
A. 剪纸B. 琵琶
C. 钢笔D. 乒乓球拍
【答案】A
解析：A、是中心对称图形，符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：解：抛物线的顶点坐标是，
故选：B．
4. 一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球，两次都摸到红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：解：列表如下：
得到所有可能的情况数为20种，其中两次都为红球的情况有6种，
则．
故选：A．
5. 已知反比例函数图象的两支分布在第二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：解：∵反比例函数图象的两支分布在第二、四象限，
∴，
∴，
故选：D．
6. 如图，在中，，，．是的内切圆，分别与、、相切于点，则圆心O到顶点A的距离是（ ）．
A. B. 3C. D.
【答案】C
解析：解：连接，如下图：
由题意可得：，，，，
则四边形为正方形，即
由勾股定理可得：，
设，则，
∴，解得，
∴，，
由勾股定理可得：
故选：C
7. “绿色电力．与你同行”，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计，年新能源汽车年销售量为万辆，预计年新能源汽车手销售量将达到万辆，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
解析：解：依题意得，，
故选：A．
8. 已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
解析：由一次函数的图象可得：0，所以二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴=>0,与y轴的交点在正半轴，符合题意的只有A.故选A.
9. 如图，平面直角坐标系中，在轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为（）

A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】B
解析：解：，点的坐标为，
，
将绕点逆时针旋转，得到，
点的坐标为，
点的坐标为，
点恰好落在双曲线上，
故选：B．
10. 如图，在中，，，是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
解析：解：∵绕点顺时针旋转后，得到，
∴，
∴，，，
又∵在中，，
∴，即，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∴，即，
∵， ，，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，故③错误；
∵，
∴，
∵，，
∴，④正确；
故选C．
二、填空题（每题3分，满分30分）
11. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为_____．
【答案】4
解析：解：由题意得：，
解得．
故答案为：4．
12. 二次函数的最小值是_________．
【答案】
解析：∵二次函数y=x2-2x-3可化y=（x-1）2-4，
∴最小值是-4．
13. 将抛物线先向右平移2个单位长度再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式是 _____．
【答案】
解析：函数向右平移2个单位，得：；
再向上平移3个单位，得：；
故答案为：．
14. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到△的位置，使，则旋转角的度数为________．

【答案】##56度
解析：∵，
∴
∵在平面内绕点旋转到的位置，
等于旋转角，，
∴，
，
旋转角为．
故答案为：．
15. 如图，⊙O直径CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若OM：OC=3：5，则弦AB的长为
______．
【答案】16．
解析：解：连接OA，
⊙O的直径CD=20，
则⊙O的半径为10，
即OA=OC=10，
又∵OM：OC=3：5，
∴OM=6，
∵AB⊥CD，垂足为M，
∴AM=BM，
在Rt△AOM中，AM==8，
∴AB=2AM=2×8=16，
故答案为：16．
16. 一个圆锥的底面周长是6cm，母线长是6cm，则圆锥侧面积展开图的扇形圆心角是_______．
【答案】
解析：解：∵圆锥的底面圆的周长是6cm，
∴圆锥的侧面扇形的弧长为6πcm，
，解得：．
故答案为．
17. 已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是______（用“”连接）．
【答案】
解析：解：二次函数，
∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∴离对称轴直线越远，值越小，
∵，，
∴，
故答案为： ．
18. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接，若，，则线段长度的最大值是______．
【答案】6
解析：解：如图，连接，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
由旋转的性质得：，
∵是的中点，
∴，
∴在绕点旋转的过程中，点的运动轨迹是在以点为圆心、长为半径的圆上，
由圆的性质可知，当点共线，且点在的中间时，线段的长度最大，最大值为，
即线段长度的最大值是6，
故答案为：6．
19. 如图所示，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，点，，且，把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到……依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为______．
【答案】
解析：解：如图：作轴于H，
∵点，，
，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴的纵坐标为1，
∵把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到，
∴的坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为，
∴，
当时，．
故答案：．
20. 二次函数的图象如图所示，以下结论：①；②；③；④其顶点坐标为；⑤当时，随的增大而减小；⑥；⑦方程有实数解．其中结论正确的序号为______．
【答案】①②③⑤
解析：解：①∵抛物线开口方向向上，
∴，
∵抛物线的顶点坐标为，
∴对称轴，
∴，
∵抛物线与y轴的交点的纵坐标为，
∴，
∴，即①正确；
②∵抛物线与x轴有两个交点，即方程有两个不同的解，
∴，即，
∴，②正确；
③∵抛物线的对称轴，即，
∴，
∴，即③正确；
④∵抛物线与y轴的交点坐标为，
∴抛物线的顶点的纵坐标不能为，即④错误；
⑤∵二次函数的图象与x轴交点的横坐标为，
∴抛物线的对称轴为：，
根据抛物线的性质可知：
∴当时，随的增大而减小，即⑤正确；
⑥由函数图象可知：当时，，
∴，即⑥错误；
⑦由图象可得：抛物线过点，
则，解得：，
∴，
∴二次函数的最小值为，
∴二次函数与无交点，
∴方程无实数解，即⑦错误．
故答案为①②③⑤．
三、解答题（满分60分）
21. 用适当的方法解下列方程．
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【小问1详解】
解：，
∴或．
解得，．
【小问2详解】
解：，
，
，
∴或．
解得，．
22. 如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，与关于原点成中心对称，是由绕着原点顺时针旋转后得到的．
（1）画出，并写出点的对应点的坐标；
（2）画出，并写出点的对应点的坐标；
（3）求旋转过程中点到达点经过的路径长度．
【答案】（1）见解析，
（2）见解析，
（3）
【小问1详解】
解：所作如下图所示：
由图知，点的对应点的坐标为；
【小问2详解】
解：所作如下图所示：
由图知，点的对应点的坐标为；
【小问3详解】
解： ，
旋转过程中点到达点经过的路径长度为．
23. 课间休息，数学老师李老师提前来到了教室，准备上数学课，看到了上节物理课在黑板上留下的一个电路图（如图所示），就嘱咐班级当日的值日生擦黑板时把电路图留下．上课时，李老师问班级的物理课代表：“此电路图下，小灯泡何时会发光？”物理课代表回答：“在开关闭合的情况下，再闭合，，中的任意一个开关，小灯泡就会发光．”物理课代表的回答得到了全班同学的认可．接下来，李老师提出了如下的数学问题．
（1）在开关闭合的情况下，随机闭合，，中的一个开关，能够让小灯泡发光的概率为__________；
（2）当随机闭合，，，中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率．
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
所有等可能的情况有3种：，闭合；，闭合，，闭合，
其中小灯泡发光的情况有1种：，闭合，
则（小灯泡发光）；
故答案为：；
【小问2详解】
解：设、、、分别用1、2、3、4表示，
画树状图得：
共有12种等可能的结果，能够让灯泡发光的有6种结果，
能够让灯泡发光的概率为：．
24. 如图，某校准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为．
（1）的长为_________；的取值范围是_________；
（2）当为何值时，可使矩形花园的面积为；
（3）嘉嘉说：“矩形花园的面积可以为.”请你判断嘉嘉的说法正确吗？并说明理由.
【答案】（1）；；
（2）当为时，矩形花园的面积为；
（3）嘉嘉的说法不正确，理由见详解
【小问1详解】
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
由题意得矩形花园的面积为，
当时，
整理得，
解得（舍），，
∴当时，可使矩形花园的面积为；
【小问3详解】
嘉嘉的说法不正确；
理由：根据题意得.
∵，
∴该方程无实数根，
∴矩形花园的面积不可以为，
即嘉嘉的说法不正确．
25. 如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，延长CA到O，使AO＝AC，以O为圆心，OA长为半径作⊙O交BA延长线于点D，连接CD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）S阴影＝2﹣ π．
解析：（1）证明：连接OD，
∵∠BCA＝90°，∠B＝30°，
∴∠OAD＝∠BAC＝60°，
∵OD＝OA，
∴△OAD是等边三角形，
∴AD＝OA＝AC，∠ODA＝∠O＝60°，
∴∠ADC＝∠ACD＝∠OAD＝30°，
∴∠ODC＝60°+30°＝90°，
即OD⊥DC，
∵OD为半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝4，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴OD＝OA＝AC＝AB＝2，
由勾股定理得：CD＝
∴S阴影＝S△ODC﹣S扇形AOD＝ ．
26. 平面内有一等腰直角三角板，直线过点．过点作于点，过点作于点．当点与点重合时（如图①），易证：．
（1）当三角板绕点顺时针旋转至图②的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（2）当三角板绕点顺时针旋转至图③的位置时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要说明理由．
【答案】（1）成立，见解析
（2）
【小问1详解】
解：仍成立，
证明：如图，过B作于点H，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
又∵在中，，
∴，
又∵，，
∴．
∴，，，
∴；
小问2详解】
解：不成立，线段、、之间的数量关系为：，
证明：如图，过点B作，交的延长线于点G，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
又∵在中，，
∴，
又∵，，
∴．
∴，，
∴．
27. 在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个元．若毛绒玩具每个的售价是元时，每天可售出个；若每个售价提高元，则每天少卖个．
（1）设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为元，求该商品销售量与之间的函数关系式；
（2）如果每天的利润要达到元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？
（3）若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2）
（3）定为元时，每天销售毛绒玩具所获利润最大，最大利润是元
【小问1详解】
解：根据题意，得，
与之间的函数关系式：；
【小问2详解】
根据题意，得，
解得，
尽可能让利于顾客，
，
答：每个毛绒玩具售价应定为元；
【小问3详解】
，
获利不得高于进价的，，
，
，
当时，随着的增大而增大，
当时，最大，此时．
答：每个售价定为元时，每天销售毛绒玩具所获利润最大，最大利润是元．
28. 如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段上的一动点（不与B、C重合），轴，且交抛物线于点M，交x轴于点N，当的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当的面积最大时，点D是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点E，使得以A、P、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，点使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标是或或
【小问1详解】
解：依题意得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：将代入，得，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，
将和代入，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点坐标为，则点坐标为，
，
，
当时，的面积最大，
此时点的坐标为；
【小问3详解】
解：存在，
由（2）得：，
，
对称轴为直线，
当四边形为平行四边形时，
则，，
，，
，
，
，
将代入，得，
；
当四边形为平行四边形时，
则，，
，
，
，
将代入，得，
；
当四边形为平行四边形时，
则，，
，
，
，
将代入，得，
，
存在点使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标是或或．红
红
红
绿
绿
红
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（红，红）
（红，红）
（绿，红）
（绿，红）
红
（红，红）
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（红，红）
（绿，红）
（绿，红）
红
（红，红）
（红，红）
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（绿，红）
（绿，红）
绿
（红，绿）
（红，绿）
（红，绿）
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（绿，绿）
绿
（红，绿）
（红，绿）
（红，绿）
（绿，绿）
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