福建省宁德市五校联盟2025-2026学年高一上学期12月期中质量监测试题 数学（含答案）

这是一份福建省宁德市五校联盟2025-2026学年高一上学期12月期中质量监测试题 数学（含答案），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知条件：函数是奇函数，条件，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．下列四组函数，表示同一函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
4．已知且，则的最小值为（ ）
A．9B．10C．D．8
5．已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（ ）
A．1B．5C．6D．4
6．已知函数对于，都有成立，实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．函数的图象是圆心在原点，半径为1的圆的两段弧（如图所示），则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
8．集合，则中元素的个数为（ ）
A．136B．133C．134D．135
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．同一条公路连接A，B，C三地，B地在A､C两地之间.甲､乙两车分别从A地､B地同时出发前往目的地C地.甲车速度始终保持不变，乙车中途停车休息一次，随后继续匀速行驶.下图表示甲乙两车从出发到目的地过程中两车之间的距离与时间的函数关系.下列结论正确的是（ ）

A．后两车同时到达C地
B．乙车中途休息40分钟
C．甲车的速度是
D．甲车行驶与乙车相遇
11．定义在上的函数满足，且当时，，则有（ ）
A．为奇函数
B．为上的增函数
C．
D．存在非零实数，使得
三、填空题
12．若幂函数的图象经过点，则函数 .
13．若关于的不等式的解集中恰有1个整数，则实数的取值范围是 .
14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过的最大整数，则标为高斯函数.例如，已知函数，则的值域为 .
四、解答题
15．已知集合.
(1)若，求；
(2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答.
问题：若__________，求实数的取值集合.
16．设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立．
(1)若为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．
17．“绿色出行，低碳环保”已成为新时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景.某新能源车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本是1000万元，每生产万件，需另投入成本万元.当时；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完，设该产品的年利润为万元（利润=销售收入-成本）.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；
(2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
18．已知函数．
(1)当时，用定义证明在上单调递增；
(2)已知，写出在上的单调性（无需证明），若满足，求的取值范围；
(3)设函数，若对任意的，存在，使得，求的取值范围．
19．设函数的定义域为D，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为.
(1)已知定义在上的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，求的值；
(2)若.
（i）已知为中心对称函数，且有唯一的对称中心，请写出其对称中心并给出证明；
（ii）若，其中均为正数，求的最小值.
1．D
根据含有一个量词的命题的否定直接写出否定命题即可.
【详解】命题“”的否定是.
故选：D.
2．D
用特例说明命题的真假.
【详解】若函数，该函数为奇函数，但无意义，所以不是的充分条件；
若函数，该函数满足，但它是偶函数，所以不是的必要条件.
综上，是的既不充分也不必要条件.
故选：D
3．C
判断两个函数是否为同一函数，需要满足定义域相同且对应法则相同，逐项分析即可.
【详解】函数的定义域为，的定义域为，两个函数定义域不同，故不为同一函数，错误.
函数的定义域为全体实数， 的定义域为全体整数，两个函数定义域不同，故不为同一函数，错误.
函数的定义域为， 的定义域为，，两个函数定义域相同，对应法则也相同，故为同一函数，正确.
函数的定义域为，
的定义域为，解得或，
两个函数定义域不同，故不为同一函数，错误.
故选：.
4．A
由题知，再由求解即可．
【详解】且，
，
当且仅当时取等．
故选：A．
5．C
由奇偶性的定义建立方程组，求解得到，将代入即可得到答案.
【详解】因为①，所以②，
又因为分别是定义在上的偶函数和奇函数，
所以②式可化为③，
联立①③得，
所以.
故选：C.
6．B
根据条件判断出在上单调递减，再列出相应的不等式组，从而可求解.
【详解】由对于，都有成立，可得在上单调递减，
则，解得，
故实数的取值范围是，故B正确.
故选：B.
7．A
首先确定函数为奇函数，然后将原不等式进行化简，进而可根据图象求出解集.
【详解】根据图象可知函数是定义在上的奇函数，故.
故原不等式转化为，即，如图所示：
由图可知.
要使得不等式成立，根据图象可知不等式的解集为.
故选：A.
8．C
根据题意，分别化简，然后结合条件即可求得的整数解的个数.
【详解】由集合，
因为，，
设集合中的元素为，
令且，解得且，共有正整数，
所以中的元素个数为个.
故选：C.
9．AC
选项AB，考察不等式的性质.选项C，考察糖水不等式.选项D，考察不等式的运算.
【详解】选项A，因为，所以，，，.选项A正确.
选项B，当时，.选项B错误.
选项C，因为，
所以.选项C正确.
选项D，，所以，解得，
所以，，两式相加,.选项D错误.
故选：AC
10．ACD
根据函数的图象对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】

根据函数图象可得两地之间的距离为，两车行驶了小时，同时到达地，A正确，
段：甲乙同向行驶，甲在后追赶乙；
段：乙休息，其中在段，甲在后追赶乙，在点时甲乙相遇，在段，甲超过乙的休息地继续行驶；乙车中途休息，B错误；
段：乙在后追赶甲，在点时，甲乙同时到达地.
在段，乙休息，，C正确；
在段，，解得，
因为在点时乙开始休息，当甲乙相遇时，甲所需行驶里程为，
则甲乙相遇时所用的时间，D正确.
故选：ACD.
11．ABD
利用奇函数的定义，赋值可判断选项A；利用单调性的定义，赋值可判断选项B；计算出 的值，由单调性可判断选项C；由，由单调性可得，从而可判断选项D.
【详解】由，令得，得.
再令得，即
所以为奇函数，故选项A正确.
设，令，则，
所以，
所以为上的增函数，故选项B正确.
，
由为上的增函数，则，
所以，故选项C不正确.
由为上的增函数，则，即
也即
设，由，则
，
所以在有解.例如取，则，
所以存在非零实数a，b，使得，故选项D正确.
故选：ABD
12．.
由函数图象过点可得，据此可得答案.
【详解】因幂函数的图象经过点，则.
从而.
故答案为：.
13．
根据一元二次不等式的解法，结合题意求解即可.
【详解】，即，
当时，解得，解集中恰有1个整数，则，
当时，解得，解集中恰有1个整数，则，
所以的取值范围是.
故答案为：.
14．
利用高斯函数的定义得到的解析式，作出函数图象，进而得到值域即可.
【详解】由高斯函数的定义可得：
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则，
当时，，且每段函数都是单调递减的，每段的左端点的函数值都为1；
当时，，且每段函数都是单调递增的，每段的左端点的函数值都为1.
绘制的图象，如图所示，

由图可知，的值域为.
故答案为：
15．(1)，
(2)
（1）先代入求得集合，再利用交集运算和并集运算即得；
（2）若选①，可得，则，就参数分类讨论，借助子集关系求得参数的范围；若选②③，类似①，参数分类讨论，求得参数的范围.
【详解】（1）当时，，
则，.
（2）若选①，，可得，则.
当时，，由，
可得，故；
当时，，由，
可得，故.
综上，实数的取值集合为.
若选②或③，均可得出，解析同上.
16．(1)
(2)
（1）分和两种情况进行讨论即可；
（2）分真假和假真两种情况进行讨论求解，再取并集即可．
【详解】（1）因为为真命题，
所以当时，不等式为，在上恒成立，符合题意；
当时，解得．
综上，实数的取值范围为．
（2）若为真命题，即，
则对于．
由于，
所以，解得，
又因为有且只有一个是真命题，
所以当真假时，
解得；
当假真时，
解得．
所以实数的取值范围为．
17．(1)；
(2)当该产品的年产量为50万件时，公司所获年利润最大，利润最大为3200万元
（1）由题意，分和两种情况求利润；
（2）结合二次函数性质及基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题意可知.
当时，
当时，
.
所以年利润（万元）与年产量（万件）的函数解析式为
；
（2）当时，，开口向下，
所以当时，；
当时，
，
当且仅当，即时，等号成立，此时.
因为，
所以当该产品的年产量为50万件时，公司所获年利润最大，利润最大为3200万元.
18．(1)证明见解析
(2)单调递增，或
(3)
（1）根据函数的性质，利用定义法证明函数单调性；
（2）根据函数的性质，利用定义法证明函数单调性，利用函数单调性解抽象不等式求的取值范围；
（3）先分析已知条件得出函数值域间的关系，求出的值域，分情况讨论的值域求出的取值范围．
【详解】（1）当时，，
任取且，
则，
，，
，即，
在上单调递增．
（2）当，任取且，
则，
，，
，即，
当时，在上单调递增；
，且，
，
在上单调递增，，即，解得或．
（3）对任意，存在，使得，
在上的值域是在上值域的子集，
，在上单调递增，
当时，的值域为，
当时，在上单调递增，的值域为，
，，解得，，；
当时，，满足题意；
当，且时，，
若，则，，，解得，，；
若，则，，
，解得，，；
若，则，，，解得，不符合题意；
若，则，，，解得，不符合题意．
时，的取值范围为．
综上，的取值范围为．
19．(1)；
(2)（i），证明见解析；（ii）3.
【详解】（1）因为是定义在上的函数且其图象关于点中心对称，
所以，
又因为，
所以.
（2）（i）图象的对称中心是.证明如下：
由题可知，的定义域为且，关于对称，
.
故的图象关于点中心对称.
（ii）由可得，，
所以，
令，
则，
两式相加可得，所以，
所以.
因为，由基本不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，所以，
同理，
当且仅当时，等号成立，
所以
，
当且仅当时，等号成立.
综上，的最小值为3.