专题05 二元一次方程组（期末复习专项训练）2025-2026学年八年级初中数学（北师大2024）

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▉题型1 二元一次方程的定义
1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．3x+y＝2B．xy＝1C．1x−y=1D．x2﹣x﹣1＝0
2．若3xm+1+2y2n﹣3＝﹣5是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值为（ ）
A．m＝0，n＝2B．m＝0，n＝﹣2C．m＝2，n＝﹣2D．m＝﹣2，n＝1
3．若（R﹣2）x|R|﹣1﹣3y＝2是关于x，y的二元一次方程，那么3R﹣2的值为（ ）
A．4B．﹣8C．8D．4或﹣8
4．下列方程中：①x+y＝1；②2x−2y=1；③x2+2x＝﹣1；④3xy＝1；⑤x−13y=2，是二元一次方程的是（ ）
A．①⑤B．①②C．①④D．①②④
5．关于x，y的方程5xa﹣1﹣3y＝7是二元一次方程，则a的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．已知□x﹣2y＝5是二元一次方程，“□”覆盖了x的系数，则覆盖的数不可能是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
▉题型2 二元一次方程的解
7．在下列二元一次方程中，其中一组解为x=3y=−1的是（ ）
A．x﹣y＝﹣1B．x+4y＝﹣1C．x﹣2y＝0D．3x+y＝0
8．已知x=−2y=2是方程2x+ky＝6的解，则k等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．已知x=3y=−2是方程ax+y＝7的一个解，那么常数a的值是（ ）
A．5B．﹣5C．3D．﹣3
10．若x=1y=−1是二元一次方程ax+by＝3的一个解，则a﹣b的值等于（ ）
A．﹣3B．﹣2C．2D．3
11．二元一次方程x+y＝5的正整数解有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
12．已知x=1y=2是关于x，y的方程x+ky＝3的一个解，则k的值为（ ）
A．﹣1B．1C．2D．3
13．若x=2y=−1和x=0y=3都是方程ax+y＝b的解，则a，b的值为（ ）
A．a＝﹣1，b＝﹣3B．a＝﹣2，b＝﹣3C．a＝2，b＝3D．a＝1，b＝3
14．已知x=1y=−2是二元一次方程ax﹣by＝3的解，则2a+4b﹣2的值是（ ）
A．2B．4C．6D．9
15．下列各组数满足方程x﹣2y＝3的是（ ）
A．x=−1y=2B．x=3y=1
C．x=2y=−3D．x=−1y=−2
16．小明用表格求代数式2x﹣5和代数式﹣x+1的值，观察表格里面的数据．其中既是方程y＝2x﹣5的解，也是方程y＝﹣x+1的解的是（ ）
A．x=0y=1B．x=2y=−1C．x=−1y=−1D．x=3y=−2
17．甲、乙两人求二元一次方程ax﹣by＝1的整数解，甲正确地求出一组解为x=1y=−1，乙把看成ax﹣by＝7，求得一组解为x=1y=2，则a，b的值为（ ）
A．a=−3b=2B．a=5b=2C．a=3b=−2D．a=5b=3
18．定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c≠0）中的常数项c与未知数x的系数a互换，得到的方程叫“亲密方程”，例如：ax+by＝c的“亲密方程”为cx+by＝a．
（1）方程x+3y＝5的“亲密方程”为 ；
（2）已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a﹣2b+c＝0，且ax+by＝c与它的“亲密方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝p的一个解，求代数式（m﹣2n）m﹣p（p﹣2n）+2025的值；
（3）已知整数m，n，t，满足条件t＜n＜m，并且（4m﹣t）x+2025y＝m+2t﹣4是关于x，y的二元一次方程nx+2025y＝3m+4的“亲密方程”，求m的值．
▉题型3 二元一次方程组的定义
19．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．x+y=5xy=6B．x−2y=41x+1y=5
C．x−y=1x+3y=4D．2x+y=3x+z=4
20．在下列方程组：①x+y=53y−x=1，②xy=1x+2y=3，③1x+1y=1x+y=1，④x=1y=3中，是二元一次方程组的是（ ）
A．①③B．①④C．①②D．只有①
21．已知a+2b=42a+b=5是关于a，b的二元一次方程组，则13(a+b)是（ ）
A．1B．3C．9D．12
22．若方程组x+y=2⋯是二元一次方程组，则“…”可以是（ ）
A．3x﹣m＝8B．xy＝0C．x2﹣1＝0D．x＝y
23．请写出一个二元一次方程组 ．
24．已知x+2y=52x+y=4是关于x，y的二元一次方程组，则x+y＝ ．
▉题型4 二元一次方程组的解
25．已知关于x，y的二元一次方程组3x−y=4m+1x+y=2m−5的解满足x﹣y＝4，则m的值为（ ）
A．﹣1B．7C．1D．2
26．已知关于x，y的方程组x+2y=k2x+3y=3k−1，给出下面四个结论：
①当k＝0时，该方程组的解和方程x﹣2y＝﹣1的解相同；
②存在有理数k，使得x+y＝0；
③当3x+5y＞3时，k＞12；
④对于任意有理数k，x+3y的值始终不变．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①④B．②③C．②④D．③④
27．关于x，y的方程组ax+by=4cx+dy=3的解为x=−7y=2，且a(3m+2n)+b(2m+3n)=4c(3m+2n)+d(2m+3n)=3，则（m+n）2024为（ ）
A．1B．﹣1C．0D．2024
28．已知关于x，y的二元一次方程组3x−4y=2m+3，5x+2y=5−m的解满足x+3y＝﹣5，求m的值．
29．已知关于x，y的二元一次方程组ax−by=4ax+by=2的解为x=2y=1，求2a﹣3b的值．
▉题型5 解二元一次方程组
30．我们在解二元一次方程组y=2xx+2y=5时，可将第一个方程代入第二个方程消去y得x+4x＝5，从而求解，这种解法体现的数学思想是（ ）
A．转化思想B．分类讨论思想
C．数形结合思想D．公理化思想
31．对于方程组3x+4y=2①2x−y=5②下列变形中错误的是（ ）
A．由①，得x=2−4y3B．由①，得y=2−3x4
C．由②，得x=y+52D．由②，得y＝2x+5
32．已知关于x，y的二元一次方程组x+2y=−a+1x−3y=4a+6（a是常数），若不论a取什么实数，代数式kx﹣y（k是常数）的值始终不变，则k的值为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．1D．2
33．解方程组x=3y−2①2y−5x=10②时，把①代入②，得（ ）
A．2（3y﹣2）﹣5x＝10B．2y﹣（3y﹣2）＝10
C．（3y﹣2）﹣5x＝10D．2y﹣5（3y﹣2）＝10
34．如果某个二元一次方程组中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“反解方程组”，若关于x，y的方程组x+3y=4−ax−y=4为“反解方程组”，则a的值为（ ）
A．4B．﹣8C．﹣6D．8
35．已知x，y满足方程组3x−2y=−12x−3y=−4，则（x﹣y）2025的值为（ ）
A．2025B．﹣1C．1D．﹣2025
▉题型6 由实际问题抽象出二元一次方程组
36．明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（ ）
A．x+y=193x+13y=33B．x+y=19x+3y=33
C．x+y=1913x+3y=33D．x+y=193x+y=33
37．北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”设有x个客人，y个盘子．则可列方程组为（ ）
A．x2−2=yx3−3=yB．x2=y+2x3=y+3
C．x2+2=yx3+3=yD．x2=y+2x3+3=y
38．【问题呈现】为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任委派学习委员小明为获奖同学每人购买一件奖品．小明到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买4本笔记本和2支钢笔，需要86元；如果买3本笔记本和1支钢笔，需要57元．求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元．
【解法展示】设每本笔记本x元，每支钢笔y元．
根据题意，得4x+2y=86①3x+y=57②（Ⅰ）
②×2，得6x+2y＝114．③
③﹣①，得2x＝28，
解得x＝14．
把x＝14代入②，得4×14+2y＝86，
解得y＝15，
所以原方程组的解为x=14y=15．
答：每本笔记本14元，每支钢笔15元．
【反思改进】
（1）解二元一次方程组（Ⅰ）时，如果先化简方程①，再用加减消元法求解也很方便．请同学们按照这种思路，写出解方程组（Ⅰ）的过程．
（2）把题目中的数量关系列表表示如下：
请根据表格的提示，列出比二元一次方程组（Ⅰ）更简单的方程组解答此题，并写出完整的解题过程．
39．阅读理解：
为打造黄河沿岸的风景带，有一段长为360米的河道整治任务，由A，B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用20天．
（1）根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：
甲：x+y=24x+16y=
乙：
根据甲、乙两名同学所列的方程组，请分别指出未知数x，y表示的意义．
甲：x表示 ，y表示 ；乙：x表示，y表示 ．
（2）补全乙方方程组，求出乙方方程组的解，并回答A，B两个工程队分别整治河道多少米．
▉题型7 二元一次方程组的应用
40．现有圆锥、圆柱、球若干个，其中相同形状的几何体大小、质量都相等．将它们分别放在三个天平的托盘中，三个天平都处于平衡状态．用Δ，□，〇分别代表圆锥、圆柱、球，示意图如图1﹣图3，其中图3的天平右边托盘中是n个球，那么n的值为（ ）
A．8B．7C．6D．5
41．将四个完全相同的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为S1，S2，则S1﹣S2＝（ ）
A．12B．16C．20D．40
42．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，问：购进A型、B型各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？
43．2023年夏天，成都将举办第31届世界大学生夏季运动会，成都掀起了一股热爱体育的热潮，为响应积极锻炼的同学们，西川中学计划同时购进一批篮球和排球，若购进2个篮球和1个排球，共需要资金280元；若购进3个篮球和2个排球，共需要资金460元．
（1）求篮球和排球的价格分别为多少元？
（2）学校计划购进两种球类共20个，商场售出一个篮球，利润率为25%，一个排球的进价为50元．为了促销，商场决定每售出一个排球，返还现金m元，而篮球售价不变，要使商场所有购买方案获利相同，求m的值．
▉题型8 解三元一次方程组
44．若实数x，y，z满足x−y+4z=1x−2y+3z=3，则x+y+6z＝（ ）
A．﹣3B．0
C．3D．不能确定值
45．方程组x−z=4z−2y=−1x+y−z=−1的解是（ ）
A．x=7y=−5z=−14B．x=−7y=5z=−11
C．x=−7y=−5z=−11D．x=7y=−15z=11
46．若方程组x+y=9y+z=7z+x=2的解满足方程3k﹣x﹣y﹣z＝6，则k的值为（ ）
A．1B．3C．5D．7
47．用现代高等代数的符号可以将方程组x+y=52x−y=4的系数排成一个表1152−14，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵11t32−1m2表示x，y，z三元一次方程组，若4x+y﹣z为定值，则t与m关系（ ）
A．m﹣2t＝﹣1B．m+2t＝1C．2m﹣t＝1D．2t+m＝﹣1
48．实数a，b，c满足等式2a+b+c＝﹣1，a+2b﹣c＝4，则102a•100b＝（ ）
A．20B．100C．200D．1000
49．已知a，b，c为三个实数，其中a、b均为负数，且满足2a﹣b+c＝4，3a+b+c＝0，令t＝3a+2b，则t的取值范围是（ ）
A．﹣10＜t＜﹣2B．﹣12＜t＜﹣4C．﹣12＜t＜﹣2D．﹣10＜t＜﹣4
▉题型9 三元一次方程组的应用
50．某商家将电子手表、保温杯、蓝牙耳机搭配为A、B、C三种礼盒各一个，其中A盒中有1个保温杯，3个电子手表，2个蓝牙耳机；B盒中有1个保温杯，2个电子手表，1个蓝牙耳机；C盒中有2个保温杯，3个电子手表，1个蓝牙耳机．经核算，C盒的成本为155元，B盒的成本为100元（每种礼盒的成本为该盒中保温杯、电子手表、蓝牙耳机的成本之和），则A盒的成本为（ ）
A．140元B．145元C．150元D．165元
51．有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件、丙1件共需125元，购甲1件、乙2件、丙3件共需75元，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（ ）元．
A．25B．100C．50D．125
52．在数学知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，班级计划用100元钱购买甲，乙，丙三种奖品，三种奖品都要购买，甲种奖品每个5元，乙种奖品每个10元，丙种奖品每个15元，在丙种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（ ）
A．12种B．15种C．16种D．14种
53．春节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”．三种花束的每一束成本分别为a元、b元和c元．已知销售每束“眷恋”的利润率为10%，每束“永恒”的利润率为20%，每束“守候”的利润率为30%，当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，老板得到的总利润率为25%；当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，老板得到的总利润率为20%，则a：b：c为（ ）
A．1：2：3B．1：3：4C．2：3：5D．3：4：5
54．若m1，m2，…m2025是从0，﹣1，2这三个数中取值的一列数，且m1+m2+…+m2025＝220，m12+m22+⋯+m20252=980，则在数m1，m2，…m2025中，取值为2的数有（ ）个．
A．150B．160C．180D．200
55．甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需270元；购买甲1件、乙2件、丙3件，共需242元，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（ ）
A．128元B．130元C．150元D．160元
▉题型10 一次函数与二元一次方程（组）
56．如图，若一次函数y＝kx+3与正比例函数y＝2x的图象交于点（1，m），则关于x，y的方程组kx−y=−32x−y=0的解为（ ）
A．x=1y=2B．x=−1y=2
C．x=−1y=−2D．x=1y=−2
57．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣3x与直线l2：y＝kx+b交于点A（﹣1，m）．关于甲、乙两人的说法，下列判断正确的是（ ）
甲：m＝3；乙：关于x、y的方程组y=−3xy=kx+b的解为x=3y=−1
A．只有甲的对B．只有乙的对
C．甲、乙的都对D．甲、乙的都不对
58．一次函数y1＝kx+5与一次函数y2＝2x+k在同一坐标系中的图象如图所示，两条直线交于点P（2，m），与两坐标轴分别交于A，B，C，D四个点．则下列结论：
①一元一次方程kx+5＝m的解为x＝2；
②k=−13；
③方程组kx−y=−52x−y=−k的解为x=2y=3；
④四边形AODP的面积为234．正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
59．已知关于x，y的二元一次方程组y=kx+by=x+4的解为x=my=8，如图，若直线y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）与直线y＝x+4相交于点P，则点P的坐标为（ ）
A．（4，8）B．（3，8）C．（2，8）D．（8，4）
60．如图，直线l1与l2的交点坐标为A（1，3）．根据图象，小敏认为点A坐标可以看作是两个二元一次方程的公共解，其中一个方程是3x﹣y＝0，则另一个方程是（ ）
A．x+y＝﹣4B．x+y＝4C．x﹣y＝﹣4D．x﹣y＝4
题型1 二元一次方程的定义
题型2 二元一次方程的解
题型3 二元一次方程组的定义
题型4 二元一次方程组的解
题型5 解二元一次方程组
题型6 由实际问题抽象出二元一次方程组
题型7 二元一次方程组的应用
题型8 解三元一次方程组
题型9 三元一次方程组的应用
题型10 一次函数与二元一次方程（组）
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
2x﹣5
…
﹣7
﹣5
﹣3
﹣1
1
…
﹣x+1
…
2
1
0
﹣1
﹣2
…
笔记本/本
钢笔/支
总价/元
第一种情况
4
2
86
第二种情况
3
1
57
增加量
4﹣3＝1
2﹣1＝1
86﹣57＝29