高考物理一轮重难点复习训练 难点18 带电粒子在有界匀强磁场中的运动（2份，原卷版+解析版）

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一、带电粒子在有界匀强磁场中的运动
（一）粒子轨迹圆心的确定，半径、运动时间的计算方法
1．圆心的确定方法
(1)若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲．
(2)若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙．
(3)若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝eq \f(mv,qB)计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心，如图丙．
2．半径的计算方法
方法一 由R＝eq \f(mv,qB)求得
方法二 连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得
例如：如图甲，R＝eq \f(L,sin θ)或由R2＝L2＋(R－d)2求得
常用到的几何关系
①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝α
②弦切角等于弦所对应圆心角一半，θ＝eq \f(1,2)α.
3．时间的计算方法
方法一 利用圆心角、周期求得t＝eq \f(θ,2π)T
方法二 利用弧长、线速度求得t＝eq \f(l,v)
（二）带电粒子在有界磁场中的运动
1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
2．平行边界(往往存在临界条件，如图所示)
3．圆形边界(进出磁场具有对称性)
(1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示．
(2)不沿径向射入时，如图乙所示．
射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ.

【例1】（带电粒子在直线边界磁场中运动）如图所示，O点有一粒子发射源，能沿纸面所在的平面发射质量均为m、电荷量均为+q、速度大小均为v的粒子。MN为过O点的水平放置的足够大的感光照相底片，照相底片上方有匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场方向垂直于纸面向里，不计粒子所受的重力及粒子间的相互作用，则感光照相底片上的感光长度为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】粒子在磁场中运动
半径

从O点垂直MN向上射出的粒子达到MN时距离O点最远，最远距离为
从O点水平向右射出的粒子在磁场总做完整的圆周运动后回到O点，则感光照相底片上的感光长度为。
故选B。
【例2】（带电粒子在圆形边界磁场中运动）如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，直径ab垂直cd，∠MOd=30°，从M点沿Ma方向射入的带正电粒子恰能从b点离开磁场，粒子的质量为m，电量为q，不计粒子的重力，则粒子的速度大小及在磁场中运动的时间为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【解析】ABCD．
连接MP，分析可知MP为粒子圆周轨迹的直径，由几何关系得
由， 得
，
故A正确，BCD错误。
故选A。
【例3】（带电粒子在多边形边界磁场中运动）如图所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角。粒子经过磁场偏转后在N点（图中未画出）垂直穿过x正半轴。已知，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计。则（ ）
A．粒子带正电荷
B．粒子速度大小为
C．粒子在磁场中运动的时间为
D．N与O点相距3d
【答案】B
【解析】A．粒子进入磁场后沿顺时针方向做圆周运动，由左手定则可知，粒子带负电，故A错误；
B．粒子运动轨迹如图所示
由几何知识可知，粒子做圆周运动的轨道半径
粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可得
解得
故B正确；
C．粒子在磁场中运动的周期
粒子轨迹对应的圆心角为
粒子在磁场中运动的时间为
故C错误；
D．N点到O点的距离为
故D错误。
故选B。
二、带电粒子在匀强磁场中的临界问题
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解．
1．临界条件
带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直．
2．几种常见的求极值情况(速度一定时)
(1)最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切．
圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即：
当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长．
(2)最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直．
如图，P为入射点，M为出射点．此时在磁场中运动时最短．
【例4】（带电粒子在磁场中运动的临界问题）如图所示，正方形abcd内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，一束电子以大小不同的速度从a点沿ab方向射入磁场。不计电子的重力和电子间的相互作用。对于从c点和d点射出的电子，下列说法正确的是（ ）
A．轨道半径之比为B．线速度大小之比为
C．向心力大小之比为D．在磁场中运动时间之比为
【答案】D
【解析】A．设正方形边长为L，根据图像可知从c点射出的电子轨道半径为L，从d点射出的电子轨道半径为，则轨道半径之比为，A错误；
B．根据
可得
因轨道半径之比为，则线速度大小之比为，B错误；
C．电子所受洛伦兹力充当向心力，即
因线速度大小之比为，则向心力大小之比为，C错误；
D．电子在磁场中的运动周期为
则从c点射出的电子在磁场中的运动时间为
从d点射出的电子在磁场中的运动时间为
则在磁场中运动时间之比为，D正确。
故选D。
【例5】（带电粒子在磁场中运动的极值问题）如图所示，半径为R的圆形区域内存在着磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于纸面向里，一带负电的粒子(不计重力)沿水平方向以速度v正对圆心射入磁场，通过磁场区域后速度方向偏转了60°.
(1)求粒子的比荷eq \f(q,m)及粒子在磁场中的运动时间t；
(2)如果想使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原入射速度的基础上，需将粒子的入射点沿圆弧向上平移的距离d为多少？
【答案】(1)eq \f(\r(3)v,3BR) eq \f(\r(3)πR,3v) (2)eq \f(\r(3),3)R
【解析】(1)粒子的轨迹半径：
r＝eq \f(R,tan 30°)①
粒子所受洛伦兹力提供向心力，有：qvB＝meq \f(v2,r)②
由①②两式得粒子的比荷：eq \f(q,m)＝eq \f(\r(3)v,3BR)③
粒子的运动周期T＝eq \f(2πr,v)④
粒子在磁场中的运动时间t＝eq \f(1,6)T⑤
由①④⑤式得t＝eq \f(\r(3)πR,3v).⑥
(2)当粒子的入射点和出射点的连线是磁场圆的直径时，粒子速度偏转的角度最大．
由图可知sin θ＝eq \f(R,r)⑦
平移距离d＝Rsin θ⑧
由①⑦⑧式得d＝eq \f(\r(3),3)R.
三、带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题．
(1)找出多解的原因．
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况．
【例6】（磁场方向不确定形成多解）(多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计．为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场．已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为eq \f(q,m)，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是( )
A．B>eq \f(mv,3qs)，垂直纸面向里
B．B>eq \f(mv,qs)，垂直纸面向里
C．B>eq \f(mv,qs)，垂直纸面向外
D．B>eq \f(3mv,qs)，垂直纸面向外
【答案】BD
【解析】当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP相切的轨迹如图甲所示，切点为M，设轨迹半径为r1，由几何关系可知，sin 30°＝eq \f(r1,s＋r1)，可得r1＝s，由r1＝eq \f(mv,B1q)可得B1＝eq \f(mv,qs)；当磁场方向垂直纸面向外时，其临界轨迹，即圆弧与OP相切于N点，如图乙所示，由几何关系s＝eq \f(r2,sin 30°)＋r2，得r2＝eq \f(s,3)，又r2＝eq \f(mv,qB2)，所以B2＝eq \f(3mv,qs)，综合上述分析可知，选项B、D正确，A、C错误．
【例7】（临界状态不确定形成多解）(多选)如图所示，边长为L的等边三角形区域ACD内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为B、方向分别垂直纸面向里、向外．三角形顶点A处有一质子源，能沿∠A的角平分线发射速度大小不等、方向相同的质子(质子重力不计、质子间的相互作用可忽略)，所有质子恰能通过D点，已知质子的比荷eq \f(q,m)＝k，则质子的速度可能为( )
A.eq \f(BkL,2) B．BkL
C.eq \f(3BkL,2) D.eq \f(BkL,8)
【答案】ABD
【解析】质子可能的运动轨迹如图所示，由几何关系可得2nRcs 60°＝L(n＝1,2，…)，由洛伦兹力提供向心力，则有Bqv＝meq \f(v2,R)，联立解得v＝eq \f(BqR,m)＝eq \f(BkL,n)(n＝1,2，…)，所以A、B、D正确，C错误．
一、单选题
1．（2021·全国·高三专题练习）如图所示，在第Ⅰ象限内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一对正、负电子分别以相同速率沿与x轴正方向成30°角的方向从原点射入磁场，则正、负电子在磁场中运动的时间之比为（ ）
A．1∶B．1∶1C．1∶2D．2∶1
【答案】D
【解析】画出正负电子在磁场中做圆周运动的轨迹如图所示
由图可知，正电子圆弧轨迹对应的圆心角为120°，负电子圆弧轨迹对应的圆心角为60°，又正负电子在磁场中做匀速圆周运动的周期T＝相同，故正负电子在磁场中运动的时间之比为2∶1。
故选D。
2．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的虚线框为一长方形区域，该区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，一束电子以不同的速率从O点垂直于磁场方向、沿图中方向射入磁场后，分别从a、b、c三点射出磁场，比较它们在磁场中的运动时间ta、tb、tc，其大小关系是（ ）
A．ta