数学八年级上册（2024）3.2 勾股定理的逆定理导学案

这是一份数学八年级上册（2024）3.2 勾股定理的逆定理导学案，共34页。学案主要包含了题型2 勾股数，问题提出，问题探究，阅读与思考等内容，欢迎下载使用。
1.下列长度的两条线段与长度为12的线段首尾依次相连能组成直角形三角形的是（ ）
A．6，9B．9，15C．10，16D．15，18
2.以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．3，4，6C．6，8，10D．7，24，26
3.已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足a−92+b−122+c−15=0，则三角形的形状是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．钝角三角形D．底与腰不相等的等腰三角形
4.已知a，b，c是△ABC的三条边，则下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a:b:c=1:2:3B．a+b2+a−b2=2c2
C．∠A:∠B:∠C=2:3:4D．∠A=∠B=2∠C
【题型2 勾股数】
1.勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，a=12m2−12，c=12m2+12，m是大于1的奇数，则b= （用含m的式子表示）．
2.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．5，12，11B．6，8，10C．7，8，9D．15，17，18
3.若8，15，x是一组勾股数，则x的值为 ．
4.下列说法：
①因为0.6，0.8，1不是勾股数，所以以0.6，0.8，1为边的三角形不是直角三角形
②若a，b，c是勾股数，且c>b，c>a，则必有a2+b2=c2
③因以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数
④若三个整数a，b，c是直角三角形的三条边，则3a，3b，3c必是勾股数
其中正确的是 （填序号）．
【题型3 网格中判断直角三角形】
1.如图，在一个6×6的正方形网格中，有三个格点三角形(顶点在网格的交点上)，其中直角三角形的个数是 （ ）

A．0B．1C．2D．3
2.如图所示，在4×4的正方形网格图中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1，则△ABC的形状描述最准确的是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
3.如图所示的是正方形网格，则∠MDC−∠MAB= °（点A，B，C，D，M为网格线交点）．
4.图是由小正方形拼成的网格，A,B两点均在格点上，C,D两点均为小正方形一边的中点，直线AB与直线CD交于点E，则∠BED=（ ）
A．60°B．75°C．90°D．105°
【题型4 图形上与已知两点构成直角三角形的点】
1.在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若△ABO是直角三角形，则m的值不可能是（ ）
A．4B．2C．1D．0
2.已知点A的坐标为3,5，点B在x轴上，且AB=13，那么点B的坐标为 .
3.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有( )
A．4个B．5个C．6个D．8个
4.点P在y轴上，A4,1、B1,4，如果△ABP是直角三角形，求点P的坐标．
【题型5 利用勾股定理的逆定理求解】
1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，则∠BPC的度数为（ ）
A．120°B．135°C．140°D．150°
2.如图，三角形纸片ABC的三边长分别为AC=6，BC=8，AB=10，现将边AC沿AD折叠，使它落在边AB上，点C与点E重合，求CD的长．
3.如图，在四边形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，则∠DAB的度数是 °．
4.如图，在△OAB中，OA=3,OB=4,AB=5,∠OAB的平分线AC交OB于点C，点P，Q分别为线段AC，边OA上的动点．则OP+PQ的最小值为（ ）
A．2B．2.4C．2.5D．2.6
【题型6 利用勾股定理的逆定理证明】
1.定义：在△ABC中，若BC=a，AC=b，AB=c，且a，b，c满足ac+a2=b2，则称这个三角形为“类勾股三角形”．
请根据以上定义解决下列问题：
(1)如图1，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，AB=BC，AC>AB，求∠C的度数．
(2)如图2，在△ABC中，∠B=2∠A，且∠ACB>∠A，D是AB上的点，连接CD，满足AD=CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E．求证：△ABC为“类勾股三角形”．
2.如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D，E，且AD2−DC2=BC2．
(1)求证：∠C=90°；
(2)若AC=8，BC=4，求AD的长．
3.已知△ABC的三边a=n2−1n>1，b=2n，c=n2+1．
(1)求证：c是△ABC的最长边；
(2)求证：△ABC是直角三角形；
(3)直接写出一组满足△ABC的三边长，其中含正整数12．
4.【问题提出】
（1）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形，点D在△ABC内部，连接AD，AE，BD．
①求证：BD=AE；
②若∠ADC=150°，求证：BD2=AD2+CD2；
【问题探究】
（2）如图2．△ABC和△DCE都是等边三角形，点D在△ABC外部，若BD2=AD2+CD2仍然成立，求∠ADC的度数．
【题型7 勾股定理的逆定理实际应用】
1.如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离AB=20米，点A与地面上点C（点B、C处于同一水平面上）的距离AC=25米，且BC=15米．
(1)求∠ABC的度数；
(2)现这架无人机沿AB所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边AC的垂直平分线上，连接CD，求这架无人机向下飞行的距离（AD的长）．
2.如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，两个喷泉之间的距离AB=25m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN=12m，BM=15m．
(1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长AM．
(2)求证：∠BMA=90°．
3.某运动会以环保、舒适、温馨为出发点，对运动员休息区进行了精心设计．如图，四边形ABCD为休闲区域，四周是步道，AB⊥BC，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道AC，经测量AB=9，BC=12，CD=8，AD=17．
(1)求证：AC⊥CD．
(2)求四边形ABCD的面积．
4.我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
(1)求证：∠ACB=90°；
(2)海港C受台风影响吗？为什么？
(3)若台风的速度为40km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【题型8 勾股定理及其逆定理的综合求值】
1.如下图，学校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和三角形EDC，分别摆放两种不同的花卉．经测量，∠EDC=90°，DC=15，DE=20，DB=35，AB=40，AE=5，求四边形ABDE的面积．（单位：米）
2.如图∠B=90°，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，求∠D的度数．
3.如图，有一块四边形花圃ABCD，∠ADC=90°，AD=4m，AB=13m，BC=12m，DC=3m，该花圃的面积为 m2．
4.【阅读与思考】勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同．在进行《勾股定理》一章学习时，老师带领同学们进行探究活动：如图1，这是用纸片剪成的四个全等的直角三角形（两条直角边长分别为a，b(b>a)，斜边长为c）和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个图形，该图形能验证勾股定理．
【任务】
(1)如图2，这是小敏同学拼成的图形．请你利用图2验证勾股定理．
(2)一个零件的形状如图3所示，按照规定，零件中∠ABD和∠C都是直角，才是合格零件．如图4所示，工人师傅测得零件∠ABD=90°，AD=39cm，AB=36cm，BC=9cm，CD=12cm，这个零件符合要求吗？请判断并说明理由．
【题型9 利用勾股定理及其逆定理解决无刻度的尺规作图】
1.线段AB的端点A，B在6×6的正方形网格的格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度的直尺在网格中按要求作图．

(1)在图①中找出格点C，并连接AC，BC，使AC2=AB2+BC2；
(2)在图②中作出△ABC的高CH，并直接写出CH的长为________．
2.如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA= （点A，B，P是网格线交点），请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出解决该题的关键思路的连线．
3.如图是4×4正方形网格，已知格点A，B，请用无刻度直尺按要求作图．
(1)在图1中，以AB为腰，作等腰△ABC；
(2)在图2中，以AB为斜边，作直角△ABM，使其面积最小．
4.图①、图②、图③是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长都为1．线段AB的端点在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹．
(1)在图①中以AB为直角边画一个直角三角形，使它的面积为3．
(2)在图②中以AB为边画一个等腰三角形，使它的面积为3．
参考答案
【题型1 判断三边能否构成直角三角形】
1.B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理即可判断，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】解：A、62+92≠122，不能组成直角三角形，故选项不符合题意；
B、92+122=152，能组成直角三角形，故选项符合题意；
C、102+122≠162，不能组成直角三角形，故选项不符合题意；
D、122+152≠182，不能组成直角三角形，故选项不符合题意；
故选：B．
2.C
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理．利用勾股定理的逆定理逐项进行判断即可．
【详解】解：A.∵22+32=13，42=16，22+32≠42，
∴该选项三个数据不能构成直角三角形，故不符合题意；
B. ∵32+42=25，62=36，32+42≠62，
∴该选项三个数据不能构成直角三角形，故不符合题意；
C. ∵62+82=100，102=100，62+82=102，
∴该选项三个数据能构成直角三角形，故符合题意；
D. ∵72+242=625，262=676，72+242≠262，
∴该选项三个数据不不能构成直角三角形，故不符合题意；
故选：C．
3.A
【分析】本题主要考查了勾股定理和非负数的性质，几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，据此可得a−9=0，b−12=0，c−15=0，则a=9，b=12，c=15，进而可证明a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形．
【详解】解：∵a−92+b−122+c−15=0，a−92≥0，b−122≥0，c−15≥0，
∴a−92=b−122=c−15=0，
∴a−9=0，b−12=0，c−15=0，
∴a=9，b=12，c=15，
∴a2+b2=92+122=81+144=225，c2=152=225，
∴a2+b2=c2，
∴该三角形是直角三角形，
故选：A．
4.B
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理，熟练应用勾股定理逆定理是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理逐项分析判断即可解答．
【详解】解：A．由a:b:c=1:2:3，设a=k,b=2k,c=3k，则k2+4k2≠9k2，即a2+b2≠c2，能判定△ABC不是直角三角形，不合题意；
B．由a+b2+a−b2=2c2可得a2+b2=c2，能判定△ABC是直角三角形，符合题意；
C．由∠A:∠B:∠C=2:3:4可得∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°，不能判定△ABC是直角三角形，不合题意；
D．由∠A=∠B=2∠C可得∠A=72°，∠B=72°，∠C=36°，不能判定△ABC是直角三角形，不合题意．
故选：B．
【题型2 勾股数】
1.m
【分析】根据直角三角形的性质，直角边小于斜边得到a，b为直角边，c为斜边，根据勾股定理即可得到b的值．
【详解】解：由于现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，
∴ a，b为直角边，c为斜边，
∴a2+b2=c2，
∴(12m2−12)2+b2=(12m2+12)2，
得到14m4−12m2+14+b2=14m4+12m2+14，
∴b2=m2，
∴b=±m，
∵ m是大于1的奇数，
∴b=m．
故答案为：m．
2.B
【分析】本题考查勾股数，熟知勾股数的定义是正确解答此题的关键．根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可．
【详解】解：A、52+112≠122，故不是勾股数，不符合题意；
B、62+82=102，故是勾股数，符合题意；
C、72+82≠92，故不是勾股数，不符合题意；
D、152+172≠182，故不是勾股数，不符合题意，
故选：B．
3.17
【分析】本题考查了勾股数的定义，分 x为直角边和斜边两种情况分类讨论，再由勾股数的定义得出答案即可，解题关键是掌握勾股数的定义是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．
【详解】解：当x为直角边时，x2=161，x不是正整数，不符合题意，
当x为斜边时，x=17，是正整数，符合题意，
综上，若8，15，x是一组勾股数，则x的值为17，
故答案为：17．
4.②④
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：①虽然0.6，0.8，1不是勾股数，但是0.62+0.82=12，所以以0.6，0.8，1为边的三角形是直角三角形，故①说法错误；
②若a，b，c是勾股数，且c>b，c>a，则必有a2+b2=c2，故②说法正确；
③因为0.5，1.2，1.3都不是正整数，所以0.5，1.2，1.3不是勾股数，故③说法错误；
④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则3a，3b，3c一定是勾股数，故④说法正确．
故答案为：②④．
【题型3 网格中判断直角三角形】
1.C
【分析】根据勾股定理逐个判断即可；
【详解】如图所示：

∵AB2=22+12=5，AC2=32+12=10，BC2=22+12=5，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形；
∵DE2=32+12=10，EF2=22+12=5，DF2=32+22=13，
∴DF2+EF2≠DF2，
∴△DEF不是直角三角形；
∵PM2=32+32=18，NM2=22+22=8，PN2=52+12=26，
∴PM2+MN2=PN2，
∴△PMN是直角三角形；
故答案选C．
2.C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．利用勾股定理分别求出三角形三边的长度，再利用勾股定理的逆定理即可求解．
【详解】解：∵边长为1的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，
∴AB2=22+42=20，AC2=12+32=10，BC2=12+32=10，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°且AC=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
故选：C．
3.45
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识并数形结合．在直线AB上取点E，使得EM=DM，连接DE，过点E作EF⊥CD，交CD的延长线于点D，得到∠MAB=∠EDF，推出∠MDC−∠MAB=∠EDM，根据勾股定理的逆定理证明△DEM是直角三角形，结合EM=DM，即可求解．
【详解】解：如图，在直线AB上取点E，使得EM=DM，连接DE，过点E作EF⊥CD，交CD的延长线于点F，
由图可知，∠MAB=∠EDF，
∴ ∠MDC−∠MAB=∠MDC−∠EDF=∠EDM，
∵ ME2=MD2=12+22=5，DE2=12+32=10，
∴ EM2+DM2=DE2，
∴ △DEM是直角三角形，
∵ EM=DM，
∴ ∠EDM=45°，即∠MDC−∠MAB=45°
故答案为：45．
4.C
【分析】本题考查平移的性质，勾股定理及其逆定理，通过平移，将点C、D移到格点是银题的关键．
将CD向下平移一格，再向左平移12格，得到GF，连接GB，利用勾股定理及其逆定理，证明∠BFG=90°，即可由平行线的性质求得∠BEC=∠BFG=90°，从而求得∠BED．
【详解】解：如图，平移CD至FG处，则F,G均在正方形格点上，连接GB，
设小正方形的边长为1，由勾股定理得：
BF2=12+22=5，GF2=12+22=5，BG2=12+32=10，
∴BF2+GF2=BG2
∴∠BFG=90°
∵平移CD至FG处，．
∴CD∥GF
∴∠BEC=∠BFG=90°
∴∠BED=90°
故选：C．
【题型4 图形上与已知两点构成直角三角形的点】
1.B
【分析】分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况考虑：当∠OAB＝90°时，点A在x轴上，进而可得出m＝0；当∠OBA＝90°时，点B在x轴上，进而可得出m＝5；当∠AOB＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．综上，对照四个选项即可得出结论．
【详解】
解：分三种情况考虑（如图所示）：
当∠OAB＝90°时，m＝0；
当∠OBA＝90°时，m−5＝0，解得：m＝5；
当∠AOB＝90°时，AB2＝OA2＋OB2，即25＝4＋m2＋4＋m2−10m＋25，
解得：m1＝1，m2＝4．
综上所述：m的值可以为0，5，1，4．
故选B．
2.−9,0或15,0
【分析】设点B的横坐标为t，利用两点间的距离公式得到(3−t)2+52=13，从而可以求出t的值.
【详解】解：设点B的横坐标为t，
根据题意得(3−t)2+52=169，即(3−t)2=12.
所以3-t=12或3-t=-12．
∴t=-9或t=15.
故答案为−9,0或15,0．
3.C
【分析】当∠A=90°时，满足条件的C点2个；当∠B=90°时，满足条件的C点2个；当∠C=90°时，满足条件的C点2个．所以共有6个．
【详解】∵点A，B的纵坐标相等，
∴AB∥x轴，
∵点C到AB距离为5，AB=10，
∴点C在平行于AB的两条直线上，
∴过点A的垂线与那两条直线有2个交点，过点B的垂线与那两条直线有2个交点，以AB为直径的圆与那两条直线有只有2个交点（这两个两点在线段AB的垂直平分线上），
∴满足条件的C点共，6个．
故选C．
4.设点P的坐标为0,x，分两种情况：
①当点B为直角顶点时，点P在y轴正半轴，
作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，如图所示：
由勾股定理，得PB2+AB2=PA2，
即12+4−x2+32+32=x−12+42，解得x=3，
∴点P的坐标为0,3．
②当点A为直角顶点时，点P在y轴负半轴，作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，如图所示：
由勾股定理，得PA2+AB2=PB2，
即42+1−x2+32+32=4−x2+12，解得x=−3，
∴点P的坐标为0,−3．
综上所述，如果△ABP是直角三角形，那么点P的坐标为0,3或0,−3．
【题型5 利用勾股定理的逆定理求解】
1.B
【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和直角三角形是解题的关键．
将△ACP绕C点旋转90°，根据旋转的性质可得出∠QPC=45°，根据勾股定理可证出∠PBQ=90°，从而可得出答案．
【详解】如图，将△ACP绕C点旋转90°，得△BCQ，连接PQ，
由旋转的性质可知：Rt△ACB∽Rt△PCQ，∠PCQ=90°，
∴CQ=CP=2，BQ=PA=3，∠QBC=∠PAC，
∴PQ2=CQ2+CP2=8，且∠QPC=45°，
在△BPQ中，PB2+PQ2=8+1=9，
∴PB2+PQ2=BQ2，
∴∠QPB=90°，
∴∠BPC=∠QPB+∠QPC=135°．
故选B．
2.解：在△ABC中，AC=6,BC=8,AB=10，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∵△AED是△ACD翻折而成，
∴AE=AC=6,∠AED=90°，
设DE=CD=x，
∴BE=AB−AE=10−6=4，
在Rt△BDE中，BD2=DE2+BE2，即8−x2=42+x2，
解得x=3．
故CD的长为3．
3.135°
【分析】由已知可得AB=BC，从而可求得∠BAC的度数.设AB＝2x ，通过计算证明AC2+AD2=CD2，从而证得△ACD是直角三角形，即可得到∠DAC=90°，从而求得∠DAB的度数．
【详解】解：∵AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∴设AB＝2x，则BC＝2x，CD=3x，DA=x,
∴AC2=AB2+BC2=(2x)2+(2x)2=8x2
又CD2-AD2=(3x)2-x2=8x2
∴AC2= CD2-AD2
∵AC2+AD2=CD2
∴△ACD是直角三角形，
∴∠DAC=90°，
∴∠DAB=45°+90°=135°．
故答案是：135°.
4.B
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，角平分线的性质定理，垂线段最短，轴对称的性质，熟练掌握知识点，利用轴对称性质求解最值问题是解题的关键．
先由勾股定理逆定理得到OA⊥OB，作CD⊥AB交AB于点D，根据角平分线性质定理得到CO=CD，再由等面积法求出OC，作点Q关于AC的对称点Q′，则在点Q′在AB上，则PQ=PQ′，过点O作OH⊥AB交AB于点H，那么OP+PQ=OP+PQ′≥OH，故当点O、P、Q′三点共线且点Q′与点H重合时，OP+PQ=OP+PQ′最小，OH为最小值，再由等面积法即可求解．
【详解】解：∵OA=3,OB=4,AB=5
∴ OA2+OB2=AB2，
∴ △OAB是直角三角形，OA⊥OB，
作CD⊥AB交AB于点D，
∴ ∠O=∠CDA=90°，
又∵ AC是∠OAB的平分线，
∴ CO=CD．
∴ S△ABC=12AB·CD=12BC·AO，
即12×5×OC=12BC×3=12OB−OC×3=124−OC×3，
∴ OC=32，
∵ AC是∠OAB的平分线，点Q为OA上动点，作点Q关于AC的对称点Q′，则在点Q′在AB上，
∴ PQ=PQ′．
过点O作OH⊥AB交AB于点H，
∴OP+PQ=OP+PQ′≥OH
当点O、P、Q′三点共线且点Q′与点H重合时，OP+PQ=OP+PQ′最小，OH为最小值．
由（1）可知，△OAB是直角三角形，
∴ S△AOB=12OB·OA=12OH·AB，
∴ 12×4×3=12OH×5
解得：OH=2.4．
故选：B．
【题型6 利用勾股定理的逆定理证明】
1.（1）解：设BC=a，AC=b，AB=c，
∵△ABC是“类勾股三角形”，
∴ac+a2=b2，
∵AB=BC，
∴a=c，
∴c2+a2=b2，
∴∠B=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C=45°；
（2）证明：设BC=a，AC=b，AB=c，
∵AD=CD，
∴∠A=∠DCA，
∴∠CDB=∠A+∠DCA=2∠A，
又∵∠B=2∠A，
∴∠B=∠CDB，
∴CD=CB=a，
∴AD=CD=a，
∵CE⊥AB，
∴DE=BE=c−a2，
在Rt△AEC中，AE=AD+DE=a+c−a2=c+a2，由勾股定理得CE2=AC2−AE2=b2−a+c22，
在Rt△CED中，由勾股定理得CE2=CD2−DE2=a2−c−a22，
∴b2−a+c22=a2−c−a22，
∴b2=a2+ac，
∴△ABC为“类勾股三角形”．
2.（1）证明：如图所示，连接BD，
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∵AD2−DC2=BC2，
∴BD2−DC2=BC2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠C=90°；
（2）解：设AD=BD=x，则CD=AC−AD=8−x，
由（1）得BD2−DC2=BC2，
∴x2−8−x2=42，
解得x=5，
∴AD=5．
3.（1）解：∵c−a=n2+1−n2−1=n2+1−n2+1=2>0
∴c>a，
∵n>1，
∴n−1>0
∴c−b=n2+1−2n=n−12>0，
∴c>b，
综上可知，c是△ABC的最长边；
（2）∵c2=n2+12，a2+b2=n2−12+2n2=n4−2n2+1+4n2=n4+2n2+1=n2+12，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）解：当b=2n=12时，即n=6，
则此时a=n2−1=62−1=35，c=n2+1=62+1=37，
∴△ABC的三边长为12，35，37．
4.解：（1）证明：①∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠DCB=60°−∠DCA=∠ECA，
∴△DCB≌△ECASAS，
∴BD=AE；
②∵△DCE是等边三角形，
∴∠EDC=60°，DE=CD，
∵∠ADC=150°，
∴∠ADE=∠ADC−∠EDC=90°，
∴AD2+DE2=AE2，
由①知AE=BD，
∴BD2=AD2+CD2；
（2）解：△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE=DE，∠ACB=∠ECD=60°=∠CDE，
∴∠DCB=60°+∠ACD=∠ECA，
∴△DCB≌△ECASAS，
∴BD=AE，
∵BD2=AD2+CD2，
∴AE2=AD2+DE2，
∴∠ADE=90°，
∴∠ADC=∠ADE−∠CDE=30°．
【题型7 勾股定理的逆定理实际应用】
1.（1）解：∵AB2+BC2=202+152=625，AC2=252=625，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90°；
（2）设AD=x米，若点D恰好在边AC的垂直平分线上，
则CD=AD=x米，BD =20−x米，
在Rt△BDC中，DC2=BD2+BC2，
∴x2=20−x2+152，
解得x=1258.
答：这架无人机向下飞行的距离AD的长）为1258米．
2.（1）解：由题意可知：MN⊥AB，
在Rt△MNB中，BN2=BM2−MN2=152−122=81，
∴BN=9m，
∴AN=AB−BN=25−9=16m，
在Rt△ANM中，AM2=AN2+MN2=162+122=400，
∴AM=20m，
∴供水点M到喷泉A需要铺设的管道长AM为20m；
（2）证明：∵AM=20m，BM=15m，AB=25m，
∴AM2+BM2=202+152=252=AB2，
∴△AMB是直角三角形，∠BMA=90°．
3.（1）证明：在Rt△ABC中，AB=9，BC=12，
由勾股定理，得AC2=AB2+BC2=92+122=225，
∵AD2=172=289，CD2=64，
∴AD2=CD2+AC2=289，
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，
∴AC⊥CD．
（2）解：由（1），可得AC=15，∠ACD=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=12AB⋅BC+12AC⋅CD
=12×9×12+12×15×8
=114．
4.（1）解：∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°；
（2）解：海港C受台风影响．理由如下：
如图，过点C作CD⊥AB于D．
∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，
∴CD=AC⋅BCAB=300×400500=240km．
∵250>240，
∴海港C受到台风影响．
（3）解：如图，在线段AB上取点E，F，使EC=250km，FC=250km，则台风中心在线段EF上时正好影响C港口．
∴EC=FC，
∵CD⊥AB，
∴ED=FD，
在Rt△CED中，由勾股定理得：
ED=70km，
∴EF=140km，
∵台风的速度为40km/h，
∴140÷40=3.5h．
∴台风影响该海港持续的时间为3.5h ．
【题型8 勾股定理及其逆定理的综合求值】
1.解：∵∠EDC=90°， DC=15，DE=20，
∴CE=25，
∴AC=AE+CE=30，
∵BC=DB+DC=50， AB=40
∴AB2+AC2=2500=BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠A=90°
∴S四边形ABDE=S△ABC−S△CDE=450m2
2.解：如图，连接AC，
∵∠B=90°，AB=20，BC=15，
∴AC2=AB2+BC2=202+152=625，
∵CD=7，AD=24，
∴CD2+AD2=72+242=625=AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠D=90°．
3.24
【分析】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，根据勾股定理逆定理判定直角三角形，本题中判断△ABC是直角三角形是解题的关键．
连接AC，根据解直角△ADC求AC的长度，求证△ACB为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=△ABC面积−△ACD面积即可计算．
【详解】如图，连接AC．

∵DA=4m,CD=3m,∠D=90°，
∴AC=5m，
∴S△ACD=3×4×12=6m2，
在△ABC中，∵AC=5m,BC=12m,AB=13m，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
∴Rt△ABC的面积=12×5×12=30m2，
∵四边形ABCD的面积=30−6=24m2．
故答案为：24．
4.（1）解：∵根据图2：大正方形面积可表示为：c2或12ab×4+(b−a)2，
∴12ab×4+(b−a)2=c2，即2ab+b2−2ab+a2=c2，
∴a2+b2=c2．
（2）解：这个零件符合要求，理由如下：
在Rt△ABD中，根据勾股定理，可得：
BD2=AD2−AB2=392−362=225，
在△BCD中，BC2+CD2=92+122=225
∴BC2+CD2=BD2．
∴△BCD是直角三角形，∠C是直角．且∠ABD=90°
∴这个零件符合要求．
【题型9 利用勾股定理及其逆定理解决无刻度的尺规作图】
1.（1）解：如图①，

由题意知，AB2=22+42=20，BC2=22+12=5，AC2=32+42=25，
∴AC2=AB2+BC2，
∴格点C，AC，BC即为所作；
（2）解：如图②，作△BCD，CD、AB的交点为H，

∵CB=4=AE，∠CBD=90°=∠AEB，BD=3=EB，
∴△CBD≌△AEBSAS，
∴∠BCD=∠EAB，
∴∠BCD+∠ABE=∠EAB+∠ABE=90°，
∴∠BHC=180°−∠BCD+∠ABE=90°，
∴CH为△ABC的高，
由勾股定理得，AB=5，
∴S△ABC=12AB×CH=12BC×AE，即12×5×CH=12×4×4，
解得，CH=165．
2.45°或45度
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2=BD2=12+22=5，PB2=12+32=10，求得PD2+DB2=PB2，于是得到∠PDB=90°，根据三角形外角的性质即可得到结论，正确的作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：延长AP交格点于D，连接BD，
∴PD2=BD2=12+22=5，PB2=12+32=10，
∴PD2+DB2=PB2，
∴∠PDB=90°，
∴△PBD为等腰直角三角形，
∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°，
故答案为：45°．
3.（1）解：等腰△ABC如图所示：
（2）解：直角△ABM如图所示：
4.（1）解：如图①、图②即为所求．
（2）解：如图③即为所求．