山东省实验中学2026届高三上学期科创班12月阶段性测试数学试卷含解析（word版）

这是一份山东省实验中学2026届高三上学期科创班12月阶段性测试数学试卷含解析（word版），文件包含山东省实验中学2026届高三上学期科创班12月阶段性测试数学试题详细解析docx、山东省实验中学2026届高三上学期科创班12月阶段性测试数学试题docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
1. 2−4i=
A. 2 B. 4 C. 25 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数模的概念直接求解.
【详解】由题意: z=22+42=25 .
故选: C
2. 已知集合 M={−2,−1,0,1,2},N={x∣−10 ,
且 c=2 ,由双曲线性质得 c2=a2+b2 ,即 a2+b2=4 ①,
双曲线过点 2,−2 ,
将其代入标准方程得: −22a2−22b2=1 ，化简为 4a2−2b2=1 ②，
联立①②，得 a2+b2=44a2−2b2=1 ，
解得 a2=2,b2=2 ,
所以双曲线方程为 y22−x22=1 .
故选: D.
6. 一个正四棱锥的高是 2 ，底面边长也为 2 ，则正四棱锥的侧面积是( )
A. 43 B. 83 C. 45 D. 85
【答案】C
【解析】
【分析】利用正四棱锥的性质及勾股定理即可求出侧面积.
【详解】
由正四棱锥顶点在底面的投影是底面正方形的中心,
所以根据题意,可知 OP=2,AB=BC=CD=AD=2 ,
在直角三角形 POE 中,有 PE=PO2+OE2=4+1=5 ,
所以三角形 PBC 的面积为 12×2×5=5 ,
即正四棱锥的侧面积是 45 ,
故选: C
7. 现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 位志愿者到三个社区做志愿服务工作，每个社区至少安排1人，每位志愿者只到一个社区，其中甲、乙安排在同一个社区的概率为( )
A. 325 B. 15 C. 625 D. 310
【答案】C
【解析】
【分析】先求出将 5 位志愿者到三个社区做志愿服务工作的分法种数，然后就甲、乙所安排的小区的志愿者人数进行分类讨论, 利用计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】将甲、乙、丙、丁、戊 5 位志愿者到三个社区做志愿服务工作,
每个社区的人数分别为3、1、1或2、2、1,
所以不同的分法种数为 C53+C52C32 A22 A33=10+10×32×6=150 种;
现在考虑甲、乙安排在同一个社区，若甲、乙所安排的小区有 3 人，则还需从另外 3 人中抽1人， 此时分法种数为 C31 A33=18 种;
若甲、乙所安排的小区只有他们两人，此时只需将剩余 3 人分为两组，则分法种数为 C32 A33=18 种. 综上所述,甲、乙安排在同一个社区的概率为 18+18150=625 .
故选: C.
8. 若函数 fx=2sinx+csx−3,x∈0,π 的两个零点分别为 x1 和 x2 ,则 csx1+x2= ( )
A. −35 B. −15 C. 15 D. 35
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件,利用辅助角公式化简 fx ,再利用函数零点的意义及正弦函数的性质求得 φ=π2−x1+x22 ,进而求出 csx1+x22 ,最后利用二倍角的余弦求值.
【详解】函数 fx=2sinx+csx−3=5sinx+φ−3 ,其中 sinφ=55,csφ=255 , 由 fx1=fx2=0 ,得 sinx1+φ=sinx2+φ=35 ,而 x1+φ,x2+φ∈φ,π+φ , 因此 x1+φ+x2+φ=π ,即 φ=π2−x1+x22 ,则 sinπ2−x1+x22=55 ,即 csx1+x22=55 ,
所以 csx1+x2=2cs2x1+x22−1=2×552−1=−35 .
故选: A.
【点睛】关键点点睛: 利用辅助角公式化简, 结合正弦函数的性质用零点表示辅助角是求解问题的关键.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下图是一个正方体的平面展开图, 则在该正方体中( )
A. AE//CD B. CH//BE C. DG⊥BH D. BG⊥DE
【答案】BCD
【解析】
【分析】由平面展开图还原为正方体, 根据正方体性质即可求解.
【详解】由正方体的平面展开图还原正方体如图,

由图形可知,
AE⊥CD ,故 A 错误;
由 HE//BC,HE=BC ，四边形 BCHE 为平行四边形，所以 CH//BE ，故 B 正确；
因为 DG⊥HC,DG⊥BC,HC∩BC=C ,所以 DG⊥ 平面 BHC ,所以 DG⊥BH ,故 C 正确; 因为 BG//AH ,而 DE⊥AH ,所以 BG⊥DE ,故 D 正确.
故选: BCD
10. 已知椭圆 C:x2a2+y23=1 的上顶点为 A ,左、右焦点分别为 F1,F2,△AF1F2 为正三角形,过 F1 的直线 l 与 C 交于 M,N 两点,则( )
A. 椭圆 C 的离心率为 12
B. MF1⋅MF2 的最大值为 3
C. MF1⋅MF2 的取值范围是 2,3
D. 当 l 倾斜角为 π6 时， △AMN 的周长为 8
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意, a=2c ,可求其离心率判断 A ,并可得椭圆 C:x24+y23=1 ; 根据椭圆定义和基本不等式判断 B ; 设 Mx,y ,利用向量数量积的坐标运算得 MF1⋅MF2=14x2+2 ,再根据椭圆上点 x 的范围可判断 C ; 当 l 倾斜角为 π6 时,直线 l 垂直平分 AF2 ,结合椭圆定义求 △AMN 的周长,判断 D .
【详解】对于 A ,根据题意, a=2c ,所以椭圆 C 的离心率 e=ca=12 ,
又 b2=a2−c2=3,c=1,a=2 ,
所以椭圆 C:x24+y23=1 ,故 A 正确;
根据椭圆定义，可知 MF1+MF2=2a=4 ，
所以 MF1⋅MF2≤MF1+MF222=4 ,当且仅当 MF1=MF2=2 时取等号,
所以 MF1⋅MF2 的最大值为 4,故 B 错误;
设 Mx,y ,又 F1−1,,0,F21,,0 ,
所以 MF1=−1−x,−y,MF2=1−x,−y ,
则 MF1⋅MF2=x2−1+y2=x2−1+3−34x2=14x2+2 ,
因为 −2≤x≤2 ,所以 MF1⋅MF2 的取值范围是 2,3,C 正确;
当 l 倾斜角为 π6 时,直线 l 垂直平分 AF2 ,
所以 △AMN 的周长为:
AN+AM+MN=AN+AM+NF1+MF1
=NF2+MF2+NF1+MF1=NF1+NF2+MF1+MF2=4a=8 ,
故 D 正确.
故选: ACD

11. 在正项数列 an 中,已知 a1=1,an+1=lnan+1 ,则()
A. an+1anan+1
C. a1+a2+a3+⋯+anxx+1 ,
又 an>0 ,所以 lnan+1>anan+1 ,故 B 项错误;
对于 C 项，由 B 项知， an−an+10,gx 单调递增;
−52