辽宁省七校协作体2025-2026学年高一上学期12月联考数学试卷及详细解析

这是一份辽宁省七校协作体2025-2026学年高一上学期12月联考数学试卷及详细解析，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．集合的子集个数为（ ）
A．3B．4C．7D．8
2．已知函数定义域为，则“”是“是奇函数”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．下列函数中，与是同一函数的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知，则
A．B．C．D．
5．已知幂函数是偶函数，且在上单调递减，则（ ）
A．B．C．0D．2
6．已知，且，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．D．4
7．设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知样本数据，（）（），则（ ）
A．若样本数据的极差为R，则样本数据的极差为
B．若样本数据的平均值为，则样本数据的平均值为
C．若样本数据的众数为N，则样本数据的众数为
D．若样本数据的方差为，则样本数据的方差为
10．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知偶函数满足：时，，则下列结论正确的有（ ）．
A．
B．，
C．的值域为
D．的解集为
三、填空题
12．函数且的图象过定点，则 ．
13．已知关于的不等式的解集为或，则的解集为
14．当时，，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知全集，集合，.
(1)将下图中的阴影部分表示的集合.

(2)已知，且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
16．某体育学校为储备人才，准备通过测试（按照测试成绩高分优先录取的原则）录用学生300人，其中测试成绩前100名的学生为第一梯队，剩余的200名学生为第二梯队.实际报名学生为1000人，测试满分为100分.测试后，对学生的测试成绩进行了抽样分析，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)估计此次测试的平均成绩；
(2)试估计该学校本次测试的录取分数，并判断测试成绩为88分的学生甲能否被录取？若能被录取，能否进入第一梯队？
17．已知函数．
(1)当时，证明：为偶函数；
(2)当时，直接写出的单调性，并解不等式；
(3)当时，是否存在实数a，使得的最小值为4，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．
18．已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为.
(1)求函数解析式，并求出关于的不等式的解集；
(2)求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值.
19． 对于二次函数，存在实数，使得成立，则称为关于参数的不动点.
(1)当时，求关于参数2的不动点.
(2)当时，函数 在上存在唯一一个关于参数的不动点，求实数的取值范围.
(3)对于任意的，总存在，使得函数有关于参数的两个相异的不动点，求实数的取值范围.
1．D
先用列举法写出集合，得出元素个数，再利用公式计算其子集个数.
【详解】由已知得集合，共有3个元素，所以其子集个数为.
故选：D.
2．B
根据奇函数的定义结合充分、必要条件分析判断即可.
【详解】因为函数定义域为，若为奇函数，则，
若，满足，但函数为偶函数，不是奇函数，
所以是为奇函数的必要不充分条件，
故选：B.
3．B
逐项验证函数的定义域和对应关系是否都相同即可.
【详解】由题意，函数的定义域为.
对于A，函数的定义域为，但，故A错误；
对于B，函数的定义域为，但，故B正确；
对于C，函数的定义域为，故C错误；
对于D，函数的定义域为，故D错误；
故选：B.
4．B
【详解】则．故选B．
5．B
【详解】函数在上单调递减，
所以，即，解得，
又因为，所以或或，
当或时，，其定义域为，，此时为奇函数，不满足题意；
当时，，其定义域为，，此时为偶函数，满足题意.
所以.
故选：B
6．D
利用将原式化为，进而结合基本不等式求解即可.
【详解】因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为4.
故选：D.
7．B
分类讨论解不等式，判断不可能的解集.
【详解】关于的不等式，
若，不等式为，解得，此时解集为；
若，方程，解得或，
时，不等式解得或，此时解集为；
时，，不等式解得，此时解集为；
时，，不等式解集为，
时，，不等式解得，此时解集为；
所以不等式的解集不可能是.
故选：B
8．A
根据函数的奇偶性以及对称性，即可求解.
【详解】由于为偶函数，故，
又是奇函数，故，所以，
故选：A
9．ACD
根据极差的定义即可判断A；根据平均数的性质即可判断B；根据众数的定义即可判断C；根据方差的性质即可判断D.
【详解】对于A，设样本数据中，最大值为，最小值为，则，
由于在上单调递增，
故样本数据中，最大值为，最小值为，
故，
则样本数据的极差为，故A正确：
对于B，由平均数的性质可得，样本数据的平均值为，故B错误；
对于C，根据众数的定义可得，样本数据的众数为，故C正确；
对于D，根据方差的性质可知，样本数据的方差为，故D正确，
故选：ACD．
10．AC
A选项，将指数式化为对数式，得到A正确；BC选项，由对数运算法则进行判断；D选项，由换底公式进行求解.
【详解】A选项，因为，所以，A正确；
B选项，因为，所以，B错误；
C选项，，C正确；
D选项，由A选项得，D错误.
故选：AC
11．BC
利用赋值法可判断A选项，利用消元法可得函数解析式即可判断B选项，利用均值不等式可得值域即可判断C选项，解不等式，结合偶函数可判断D选项.
【详解】A选项：取，则，所以，A选项错误；
B选项：由当时，，则，
解得，
当时，，则，
由函数为偶函数，所以当时，，B选项正确；
C选项：当时，，
又函数为偶函数，所以当，，
即函数的值域为，C选项正确；
D选项：当时。令，解得或，
又因为函数为偶函数，则的解集为，D选项错误；
故选：BC.
12．3
根据指数型函数定点问题，当指数求解即可．
【详解】令，则，故的图象过定点，
则，故．
故答案为：3．
13．
先由原不等式的解集确定二次方程的根与的符号，再通过根与系数的关系得到、与的关系，代入目标不等式后化简求解.
【详解】由的解集可知，，且方程的根为和.
由根与系数的关系，，得；，得.
将、代入，得.
因，两边除以得，即.
因式分解得，解得.
故答案为：.
14．
本题首先可根据当时得出，然后通过函数与函数的单调性将转化为，最后通过计算即可得出结果.
【详解】因为当时，，所以当时，，，
因为为增函数，函数为减函数，
所以即，
即，，解得，实数的取值范围是，
故答案为：.
15．(1)
(2)
【详解】（1）由，，
结合图象可得阴影部分表示的集合为；
（2）由“”是“”的必要不充分条件，则，
因为，所以，
即，
所以，
故实数的取值范围.
16．(1)79
(2)85分；能录取，但不能进入第一梯队．
（1）根据样本频率分布直方图估计平均数.
（2）根据样本频率分布直方图估计88分的学生所在的位置，进行判断.
【详解】（1）此次测试的平均成绩为：
.
（2）由题意可知，录取率为，能进入第一梯队的概率为；
设录取分数为，因为分数落在的概率为0.1，
分数落在的概率为0.4，
所以，令，解得，
所以录取分数大概为85分，进入第一梯队的分数大概为90分，
所以学生甲能被录取，但不能进入第一梯队．
17．(1)证明见解析
(2)在上递增，不等式解集为
(3)存在，
（1）当时，利用函数奇偶性定义可证明为偶函数；
（2）当时，根据指数函数的单调性可得的单调性，将不等式化为，再利用函数的单调性求解即可；
（3）当时，根据基本不等式求出函数的最小值，再根据的最小值为4，列方程求解即可，
【详解】（1）当时，，的定义域为R，定义域关于原点对称，
因为，所以是偶函数；
（2）当时，，
因为都是R上的单调递增函数，
所以在上递增，
不等式，即，
所以，
即不等式的解集为；
（3）当时，，且，
所以，当且仅当，即时等号成立，
因为的最小值为4，所以，
即存在，使得的最小值为4.
18．(1)，或；
(2)，取最小值时，取最大值时.
（1）根据给定条件，利用对数函数单调性求出最值列式求出，再利用单调性解不等式.
（2）由（1）的结论求出并换元，转化为二次函数求解.
【详解】（1）函数定义域为，且在上单调，
由函数在区间上的最大值与最小值之和为，
得，即，解得，
于是；
，
解，得或；
解，即，得或，
因此或，
所以不等式的解集或.
（2）由（1）知，，
令，由，得，，
当时，，此时；当时，，此时，
所以函数的值域为，取最小值时，取最大值时.
19．(1)
(2)或
(3)
（1）由不动点的定义解方程即可；
（2）将在上有两个不同解转化为函数有唯一交点，结合后双勾函数的性质即可得解；.
（3）由已知可得有两个不等的实根，即，将问题转化为对于任意的，总存在，使成立，进而转化为存在，，整理得存在，，令，，进而转化为求在上的最大值，进而解即可.
【详解】（1）当时，，
令，
即，解得或，
所以关于参数2的不动点为；
（2）当时，，
因为函数 在上存在唯一一个关于参数的不动点，
所以方程在上有唯一实数根，
即方程在上有唯一实数根，
则函数有唯一交点，
由双勾函数的性质可得，函数在上递减，在上递增，
当时，，当时，，
作出函数如图所示：

由图可知，或；
（3）由题意知，函数有关于参数的两个相异的不动点，
所以方程，即恒有两个不等实根，
则，
所以对于任意的，总存在，使成立，
即存在，，，
所以存在，，
即存在，，
即，，
令，，
对称轴为，
当，即时，，
所以，解得；
当，即时，，
所以，解得或，
综述所述，实数的取值范围为.