1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理 课件-2025-2026学年数学湘教版（2024）七年级下册教学课件

以下是苏科版七年级数学上册 1.2.2 完全平方公式教学课件幻灯片分页内容的大致介绍：第一课时：完全平方公式的推导与应用幻灯片 1：封面标题：1.2.2 完全平方公式副标题：苏科版七年级数学上册教师姓名、学校名称等信息幻灯片 2：学习目标经历完全平方公式（和的平方、差的平方）的推导过程，理解其与多项式乘法法则的联系，明确公式本质是特殊二项式相乘的简化。掌握完全平方公式的结构特征，能准确识别适用场景，熟练运用公式进行计算与化简，区分其与平方差公式的差异。能通过公式变形解决复杂问题（如含三项式的完全平方、公式逆用），体会数形结合与转化思想，提升运算效率。幻灯片 3：复习引入回顾旧知：平方差公式：\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)（特征：和 × 差，结果为平方差）；多项式乘法法则：计算\((a + b)(a + b)\)和\((a - b)(a - b)\)（引导学生发现这是 “相同二项式相乘” 的特殊形式）。计算热身：① \((x + 3)^2 = (x + 3)(x + 3) = x^2 + 3x + 3x + 9 = x^2 + 6x + 9\)；② \((2a - b)^2 = (2a - b)(2a - b) = 4a^2 - 2ab - 2ab + b^2 = 4a^2 - 4ab + b^2\)。情境设问：边长为\((a + b)\)的正方形，面积如何表示？方法一：\((a + b)^2\)；方法二：分割为边长为\(a\)的正方形、边长为\(b\)的正方形及两个长\(a\)宽\(b\)的矩形，面积和为\(a^2 + 2ab + b^2\)。两种方法结果相等，暗示\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)，引出本节课主题。幻灯片 4：探究新知 - 完全平方公式的推导一、和的平方公式（\((a + b)^2\)）代数推导：基于多项式乘法法则，对 “相同二项式和的平方” 展开：原式：\((a + b)^2 = (a + b)(a + b)\)第一步（逐项相乘）：\(a×a + a×b + b×a + b×b\)第二步（算积）：\(a^2 + ab + ab + b^2\)第三步（合并同类项）：\(ab + ab = 2ab\)，得\(a^2 + 2ab + b^2\)结论：\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)。几何验证：结合边长为\((a + b)\)的正方形面积分割（动画演示）：正方形面积 = 边长为\(a\)的正方形面积 + 边长为\(b\)的正方形面积 + 2 个长\(a\)宽\(b\)的矩形面积，即\(a^2 + b^2 + 2ab\)，与代数推导结果一致，直观验证公式正确性。二、差的平方公式（\((a - b)^2\)）代数推导：将 “差的平方” 转化为 “和的平方”，利用已推导公式：原式：\((a - b)^2 = [a + (-b)]^2\)代入和的平方公式：\(a^2 + 2×a×(-b) + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)结论：\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)。几何验证：边长为\((a - b)\)的正方形面积（从边长为\(a\)的正方形中减去两个长\(a\)宽\(b\)的矩形，补回重叠的边长为\(b\)的正方形）：面积 = \(a^2 - 2ab + b^2\)，与代数推导结果一致，强化公式理解。文字表述：两数和的平方，等于这两个数的平方和加上它们积的两倍；两数差的平方，等于这两个数的平方和减去它们积的两倍。幻灯片 5：探究新知 - 完全平方公式的结构特征公式统一剖析（对比\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)与\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)）：左边（因式特征）：相同二项式相乘（记为 “首项 + 尾项” 或 “首项 - 尾项” 的平方），形式为\((首 + 尾)^2\)或\((首 - 尾)^2\)；右边（结果特征）：“首平方 + 尾平方 + 积的两倍放中央”，符号由左边 “尾项的符号” 决定 —— 和的平方取 “+”，差的平方取 “-”，即：结果 = 首 ² + 尾 ² ± 2× 首 × 尾（“+” 对应和的平方，“-” 对应差的平方）。符号与字母拓展：首、尾项含负号：如\((-a + b)^2 = (b - a)^2 = b^2 - 2ab + a^2 = a^2 - 2ab + b^2\)（结果与\((a - b)^2\)一致）；首、尾项为单项式或多项式：如首项为\(3x\)、尾项为\(2y\)（\((3x + 2y)^2\)），或首项为\((x + y)\)、尾项为\(z\)（\((x + y + z)^2\)可转化为\([(x + y) + z]^2\)）。口诀辅助记忆：“完全平方有两项，首平方来尾平方；积的两倍放中央，符号跟着中间项（和为正，差为负）”。幻灯片 6：例题讲解 - 公式的基本应用例题 1：直接应用公式计算（找准 “首项” 与 “尾项”，确定符号）：① \((2x + 5)^2\)：解：首项 = \(2x\)，尾项 = \(5\)，和的平方取 “+”，原式 = \((2x)^2 + 2×2x×5 + 5^2 = 4x^2 + 20x + 25\)。② \((3a - 4b)^2\)：解：首项 = \(3a\)，尾项 = \(4b\)，差的平方取 “-”，原式 = \((3a)^2 - 2×3a×4b + (4b)^2 = 9a^2 - 24ab + 16b^2\)。③ \((-x + 2y)^2\)：解：变形为\((2y - x)^2\)（或直接视为\([(-x) + 2y]^2\)），首项 = \(2y\)，尾项 = \(x\)，原式 = \((2y)^2 - 2×2y×x + x^2 = 4y^2 - 4xy + x^2\)（或\(x^2 - 4xy + 4y^2\)，按字母降幂排列）。例题 2：含多项式的完全平方（整体代换思想）：① \((x + y + z)^2\)：解：将\((x + y)\)视为 “首项”，\(z\)视为 “尾项”，转化为和的平方：原式 = \([(x + y) + z]^2 = (x + y)^2 + 2×(x + y)×z + z^2\)再展开\((x + y)^2\)：\(x^2 + 2xy + y^2 + 2xz + 2yz + z^2\)（结果为三项式平方的展开式：各平方项 + 两两积的两倍）。② \((2a - b - 3c)^2\)：解：将\((2a - b)\)视为 “首项”，\(3c\)视为 “尾项”，转化为差的平方：原式 = \([(2a - b) - 3c]^2 = (2a - b)^2 - 2×(2a - b)×3c + (3c)^2 = 4a^2 - 4ab + b^2 - 12ac + 6bc + 9c^2\)。教师点拨：① 应用公式前先明确 “首项”“尾项”，避免混淆（如\((a - b)^2\)中 “尾项” 是\(b\)，而非\(-b\)）；② 计算 “积的两倍” 时需注意系数（如\((2x)^2\)是\(4x^2\)，\(2×2x×5\)是\(20x\)）；③ 多项式的完全平方可通过 “整体代换” 转化为两项式的完全平方，再逐步展开。幻灯片 7：例题讲解 - 公式的实际应用与易错辨析例题 3：简便计算（利用公式简化数字运算或代数式化简）：① \(101^2\)：解：变形为\((100 + 1)^2\)，代入和的平方公式：原式 = \(100^2 + 2×100×1 + 1^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201\)。② \(99^2 - 2×99×101 + 101^2\)：解：逆用完全平方公式（视为\((a - b)^2\)，其中\(a = 101\)，\(b = 99\)）：原式 = \((101 - 99)^2 = 2^2 = 4\)。易错辨析：判断下列计算是否正确，若不正确，请改正：① \((x + 2)^2 = x^2 + 4\)（错误，遗漏 “积的两倍”，正确：\(x^2 + 4x + 4\)）；② \((a - b)^2 = a^2 - b^2\)（错误，混淆完全平方与平方差公式，正确：\(a^2 - 2ab + b^2\)）；③ \((2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9\)（正确，首平方\(4x^2\)、尾平方\(9\)、积的两倍\(-12x\)，符号正确）；④ \((x + y)^2 = x^2 + xy + y^2\)（错误，积的两倍计算错误，正确：\(x^2 + 2xy + y^2\)）。对比强化：通过表格区分完全平方公式与平方差公式的核心差异：| 公式类型 | 左边形式 | 结果项数 | 结果特征 | 示例 ||----------------|-------------------------|----------|-----------------------------------|-----------------------|| 平方差公式 | \((a + b)(a - b)\)（和 × 差）| 2 项 | 首 ² - 尾 ²（平方差） | \((x + 3)(x - 3) = x^2 - 9\) || 完全平方公式 | \((a ± b)^2\)（相同二项式乘）| 3 项 | 首 ² ± 2× 首 × 尾 + 尾 ²（平方和 ± 两倍积）| \((x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9\) |幻灯片 8：练习巩固 - 分层训练基础题（直接应用公式）：① \((m + 4n)^2 = \)；② \((5x - 2y)^2 = \)；③ \((-2a + 3b)^2 = \)__________。提升题（公式变形与逆用）：① 已知\(a + b = 5\)，\(ab = 3\)，求\(a^2 + b^2\)的值（提示：\(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab\)）；② 计算\((x + 2y)^2 - (x - 2y)^2\)（提示：先展开或逆用平方差公式）。实际应用题：一个正方形的边长为\((3x - 2)\)米，若边长增加\(4\)米，求新正方形的面积（用含\(x\)的代数式表示，并化简）。学生独立完成，教师巡视，重点关注 “公式结构识别”“积的两倍计算”“符号判断”，完成后选取典型答案点评，针对易错点（如遗漏两倍积）强化口诀记忆。幻灯片 9：课堂总结知识回顾：完全平方公式的两种形式（和的平方：\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)；差的平方：\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)），代数推导与几何验证，结构特征 “三项式，首尾平方加 / 减两倍积”。方法提炼：应用公式三步骤：① 辨形式（判断是和的平方还是差的平方）；② 定首尾（确定首项、尾项，注意符号）；③ 算结果（首平方、尾平方，积的两倍放中央，符号匹配）。衔接预告：完全平方公式与平方差公式是整式乘法的核心公式，后续学习因式分解（公式法）时需逆用这些公式，需熟练掌握公式的正用与逆用，为后续知识奠定基础。幻灯片 10：作业布置基础题：完成教材对应习题，计算完全平方公式相关题目（共 6-8 题，涵盖直接应用、符号变形、系数变形）。提升题：① 已知\((x + y)^2 = 25\)，\((x - y)^2 = 9\)，求\(xy\)和\(x^2 + y^2\)的值；② 计算\((a + b + c)^2 - (a - b - c)^2\)（提示：逆用平方差公式）。实践题：设计一个 “正方形面积变化” 问题（如边长增加或减少某一长度），使计算过程可应用完全平方公式，写出问题描述、列式及化简过程，与同学交换检查。【2024新教材】湘教版数学 七年级下册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 复习导入完全平方公式公式口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减.平方差公式 注意： 公式中的 a 与 b 既可以是数，又可以是单项式 和 多项式.探究新知运用乘法公式计算：(x+1)(x2+1)(x-1)(x+1)(x2+1)(x-1)利用多项式的乘法的交换律和结合律以及平方差公式，可得= [(x+1)(x-1)](x2+1)= (x2-1)(x2+1)= x4-1运用乘法公式计算：(1) (a+b+c)2(a+b+c)2= (a+b)2+2·(a+b)·c+c2= a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2将(a+b)看作一个整体(2) (a-b+c) (a+b-c)(a-b+c) (a+b-c)= [a-(b-c) ] [a+(b-c) ]= a2 - (b-c)2= a2 - (b2-2bc+c2)= a2 - b2+2bc-c2添括号时注意符号的变化。将(b-c)看作一个整体运用乘法公式计算：(1) (a+b)2+ (a-b)2(a+b)2+ (a-b)2解：= a2+2ab+b2+a2-2ab+b2= 2a2+2b2 (a+b)2-(a-b)2(a+b)2- (a-b)2= a2+2ab+b2-a2+2ab-b2= 4ab(2) (a+b)2-(a-b)2(a+b)2- (a-b)2= [(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)]= 2a·2b= 4ab运用乘法公式计算：(x+y)3(x+y)3解：= (x+y) (x+y)2= (x+y) (x2+2xy+y2)= x3+2x2y+xy2+yx2+2xy2+y3= x3+3x2y+3xy2+y3先填空：(1) 152=100×1×______+25(2) 252=100×2×______+25(3) 352=100×______×______+______由此猜测：十位数字是a、各位数字是5的两位数可以表示为__________,它的平方可表示为100×______×______+______23342510a+5a(a+1)251.运用乘法公式计算：（1）(x-2)(x+2)(x2+4)； 解: (x-2)(x+2)(x2+4) =(x2-4)(x2+4) = x4-16（2）(x+1)2(x-1)2； 解: (x+1)2(x-1)2 = [(x+1)(x-1)]2 = (x2-1)2 = x4-2x2+1[教材P21 练习第1题]解:(a-b-c)2 = [a - (b + c)]2 = a2 - 2a(b + c) + (b + c)2 = a2 - 2ab - 2ac + b2 + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc.(3)(a-b-c)2（4）(x+2y-1)(x+2y+1)；解：(x+2y-1)(x+2y+1) = (x+2y)2-1 = x2+4xy+4y2-1（5）(2x+y-1)(2x-y+1)；解：[2x+(y-1)] [2x-(y-1)] = (2x)2- (y-1)2 = 4x2-(y2-2y+1) =4x2-y2+2y-1[教材P22 练习第2题]解：(3x-2)2-(2x+5)2 =[ (3x-2)+(2x+5)] [ (3x-2)-(2x+5)] =(5x+3) (x-7) =5x2-32x-21 3.若n是整数，则(n+3)2-(5n+9)一定能被2整除，试说明理由[教材P22 练习第3题]解：(n+3)2-(5n+9)= n2+6n+9-(5n+9)= n2+6n+9-5n-9= n2-n= n(n-1)化简后得n(n-1)，因为n为整数,则n(n-1)为一个奇数乘以一个偶数，则结果必然为偶数，所以一定能被整除。4. 一个正方形的边长增加 2 cm，它的面积就增加 16 cm2， 求这个正方形原来的边长。答：这个正方形原来的边长为 3 cm.解 设正方形原来的边长为 x cm.列方程，得 (x +2)2 = x2+16 ，解得 x = 3.x2+4x+4 = x2+16 4x = 126.一个正方形花圃的边长增加到原来的 2 倍还多 1 m，它的面积就增加到原来的 4 倍还多 21 m2 , 求这个正方形花圃原来的边长。解：设正方形花圃原来的边长为 x m. 由数量关系，得 (2x+1)2 = 4x2+21， 化简，得 4x2+4x +1= 4x2 +21， 即 4x = 20， 解得 x = 5.答: 这个正方形花圃原来的边长为 5 m。 AA. 4B. 2C. 1D. 02.计算：       CA. 512B. 516C. 520D. 1 032    506课堂小结完全平方公式公式口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减.平方差公式 注意： 公式中的 a 与 b 既可以是数，又可以是单项式 和 多项式.必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！