5.3 分式的乘除(第1课时） 课件-2025-2026学年浙教版（2024）数学七年级下册教学课件

第 1 页：封面页标题：5.3 分式的乘除（第 1 课时）—— 分式的乘法副标题：浙教版七年级下册数学・分式运算的核心类型（1）配图：分数乘法与分式乘法对比示意图（左：\(\frac{2}{3}×\frac{4}{5}=\frac{8}{15}\)；右：\(\frac{a}{b}×\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}(b,d≠0)\)）、分式乘法约分流程图（先因式分解→找公因式→约分→相乘）底部信息：核心素养目标：类比迁移能力、运算规范意识、逻辑推理能力、化简应用能力第 2 页：情境导入 —— 从 “分数乘法” 到 “分式乘法”旧知衔接（双重回顾）分数乘法法则：分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，能约分的先约分再相乘（如\(\frac{3}{4}×\frac{2}{5}=\frac{3×2}{4×5}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}\)，或先约分\(\frac{3}{\cancel{4}^2}×\frac{\cancel{2}^1}{5}=\frac{3×1}{2×5}=\frac{3}{10}\)）分式的基本性质：分子分母同乘（除）非零整式，值不变（为分式约分提供依据）情境案例（工程效率问题）问题：某工程队完成一项工程，原计划每天完成总工程量的\(\frac{1}{x}\)，实际每天的效率是原计划的\(\frac{x+1}{x-1}\)倍（\(x>1\)），求实际每天完成总工程量的几分之几？分析：实际效率 = 原计划效率 × 倍数，即计算\(\frac{1}{x}×\frac{x+1}{x-1}\)，这是分式与分式相乘的问题。思考：分式乘法是否与分数乘法有类似法则？如何计算\(\frac{1}{x}×\frac{x+1}{x-1}\)？引出课题：分式的乘法。第 3 页：新知讲解 1—— 分式乘法法则的推导与归纳法则推导（类比分数）分数乘法示例：\(\frac{2}{3}×\frac{5}{4}=\frac{2×5}{3×4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}\)（分子相乘作分子，分母相乘作分母，再约分）分式乘法类比：若\(\frac{a}{b}\)、\(\frac{c}{d}\)为分式（\(b≠0\)，\(d≠0\)），则\(\frac{a}{b}×\frac{c}{d}=\frac{a×c}{b×d}\)（分子相乘作分子，分母相乘作分母），再通过约分化为最简分式。代数验证：设\(\frac{a}{b}=m\)，\(\frac{c}{d}=n\)（\(m\)、\(n\)为整式），则\(a=bm\)，\(c=dn\)，故\(\frac{a}{b}×\frac{c}{d}=m×n=\frac{bm×dn}{b×d}=\frac{bdmn}{bd}=mn\)，与\(\frac{a×c}{b×d}=\frac{bm×dn}{b×d}=mn\)相等，法则成立。法则归纳（文字 + 符号）文字表述：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母；如果得到的积不是最简分式，需要进行约分。符号表示：\(\frac{A}{B}×\frac{C}{D}=\frac{A×C}{B×D}\)（其中\(B≠0\)，\(D≠0\)，\(B×D≠0\)，\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)为整式）核心技巧：“先约分，再相乘”（约分可在分子与分母之间跨分式进行，减少后续计算量，如\(\frac{a}{b}×\frac{b}{c}=\frac{a×\cancel{b}}{\cancel{b}×c}=\frac{a}{c}\)）第 4 页：新知讲解 2—— 分式乘法的运算步骤与基础示例运算步骤（“一因式二约分三相乘四化简”）因式分解：将分子、分母中的多项式分别因式分解（如平方差、完全平方、提取公因式），便于找公因式约分；找公因式约分：找出分子与分母（含不同分式的分子分母）的公因式，逐一约去；分子分母相乘：将约分后的分子相乘作新分子，约分后的分母相乘作新分母；化简验证：检查结果是否为最简分式（分子分母无公因式），若不是，继续约分。基础示例（分类型讲解）类型 1：分子分母均为单项式的分式乘法计算：\(\frac{2x}{3y}×\frac{9y^2}{4x^2}\)解答：因式分解：分子分母均为单项式，无需额外分解；约分：\(\frac{\cancel{2x}^1}{\cancel{3y}^1}×\frac{\cancel{9y^2}^{3y}}{\cancel{4x^2}^{2x}}=\frac{1×3y}{1×2x}\)（公因式：2x、3y）；相乘：\(\frac{1×3y}{1×2x}=\frac{3y}{2x}\)；化简：\(\frac{3y}{2x}\)为最简分式，结果即为\(\frac{3y}{2x}\)。类型 2：含多项式的分式乘法（分子或分母为多项式）计算：\(\frac{x^2-4}{x+1}×\frac{x+1}{x-2}\)解答：因式分解：\(x^2-4=(x+2)(x-2)\)，其余为单项式或一次二项式；约分：\(\frac{(x+2)\cancel{(x-2)}}{\cancel{x+1}}×\frac{\cancel{x+1}}{\cancel{x-2}}=x+2\)（公因式：\(x-2\)、\(x+1\)）；相乘：约分后分子剩余\(x+2\)，分母剩余 1，故结果为\(x+2\)；化简：\(x+2\)为整式（可视为分母为 1 的分式），符合最简要求。第 5 页：新知讲解 3—— 分式乘法的进阶示例与符号处理进阶示例 1：含负号的分式乘法计算：\(\frac{-2a}{3b}×\frac{6b^2}{-a^2}\)解答：处理符号：先确定积的符号，负号个数为 2，积为正（“负负得正”），可先将符号提出：\((-1)×(-1)×\frac{2a}{3b}×\frac{6b^2}{a^2}=\frac{2a}{3b}×\frac{6b^2}{a^2}\)；约分：\(\frac{\cancel{2a}^1}{\cancel{3b}^1}×\frac{\cancel{6b^2}^{2b}}{\cancel{a^2}^a}=\frac{1×2b}{1×a}=\frac{2b}{a}\)；结果：\(\frac{2b}{a}\)（符号为正，无需额外标注）。进阶示例 2：多个分式相乘计算：\(\frac{x}{x-1}×\frac{x^2-1}{x^2}×\frac{2x}{x+1}\)解答：因式分解：\(x^2-1=(x+1)(x-1)\)；约分：\(\frac{\cancel{x}^1}{\cancel{x-1}^1}×\frac{(x+1)\cancel{(x-1)}}{\cancel{x^2}^x}×\frac{2\cancel{x}^1}{\cancel{x+1}^1}=\frac{1×1×2}{1×x×1}=\frac{2}{x}\)；结果：\(\frac{2}{x}\)（\(x≠0\)、\(x≠±1\)，确保所有分母不为 0）。符号处理技巧负号个数判断：分式乘法中，负号可出现在分子、分母或分式本身，总负号个数为偶数时，积为正；为奇数时，积为负（可先将负号统一提出，再计算绝对值的乘积）；避免符号混淆：若分子或分母为多项式且首项为负，可先提取负号（如\(\frac{2-x}{x+3}=-\frac{x-2}{x+3}\)），再进行乘法运算，减少符号错误。第 6 页：新知讲解 4—— 常见易错点与辨析易错点 1：忽略分母不为 0 的条件错误示例：计算\(\frac{x}{x-2}×\frac{x-2}{x+3}\)时，直接得\(\frac{x}{x+3}\)，未注明\(x≠2\)、\(x≠-2\)、\(x≠-3\)（\(x=2\)时原分式\(\frac{x}{x-2}\)无意义，\(x=-3\)时\(\frac{x-2}{x+3}\)无意义）正确示例：结果为\(\frac{x}{x+3}\)（\(x≠-3\)、\(x≠2\)、\(x≠0\)，需标注所有使原分式无意义的 x 取值）易错点 2：约分不彻底或错误约分错误示例：\(\frac{x^2}{x+1}×\frac{x+1}{x}=\frac{x^2×(x+1)}{(x+1)×x}=x\)（正确）；错误认知：\(\frac{x^2+1}{x}×\frac{x}{x+1}=\frac{x^2+1}{x+1}\)（正确，但若误将\(x^2+1\)分解为\((x+1)^2\)，得\(\frac{(x+1)^2}{x+1}=x+1\)，则错误）提醒：约分前需确保因式分解正确，不可随意拆分多项式（如\(x^2+1\)无法因式分解为含\(x+1\)的整式）。易错点 3：符号处理错误错误示例：\(\frac{-x}{y}×\frac{z}{-w}=\frac{-xz}{-yw}=-\frac{xz}{yw}\)（负号个数为 2，积应为正，错误）正确示例：\(\frac{-x}{y}×\frac{z}{-w}=\frac{(-x)×z}{y×(-w)}=\frac{-xz}{-yw}=\frac{xz}{yw}\)（积为正，正确）第 7 页：例题解析 —— 实际应用与综合练习例题 1（工程问题应用）问题：承接情境案例，若原计划每天完成总工程量的\(\frac{1}{x}\)，实际效率是原计划的\(\frac{x+1}{x-1}\)倍（\(x>1\)），且实际每天比原计划多完成\(\frac{2}{x(x-1)}\)，验证该关系是否成立。解答：实际效率：\(\frac{1}{x}×\frac{x+1}{x-1}=\frac{x+1}{x(x-1)}\)；实际比原计划多完成的量：\(\frac{x+1}{x(x-1)} - \frac{1}{x}=\frac{x+1 - (x-1)}{x(x-1)}=\frac{x+1 -x +1}{x(x-1)}=\frac{2}{x(x-1)}\)；结论：与题目给出的关系一致，验证成立。例题 2（几何问题应用）问题：一个长方形的长为\(\frac{x+2}{x-1}\)，宽为\(\frac{x-1}{x+3}\)（\(x>1\)，\(x≠-3\)），求长方形的面积（用最简分式表示）。解答：面积 = 长 × 宽 =\(\frac{x+2}{x-1}×\frac{x-1}{x+3}\)；约分：\(\frac{x+2}{\cancel{x-1}}×\frac{\cancel{x-1}}{x+3}=\frac{x+2}{x+3}\)；答：长方形的面积为\(\frac{x+2}{x+3}\)（\(x>1\)，\(x≠-3\)）。第 8 页：课堂练习 —— 分层巩固基础题（必做）计算下列分式乘法：(1) \(\frac{3a}{4b}×\frac{8b^2}{9a^2}=\)；(2) \(\frac{x^2-9}{x}×\frac{x}{x-3}=\)；(3) \(\frac{-2x}{y}×\frac{3y^2}{-4x^2}=\)____下列计算正确的是（ ）A. \(\frac{x}{y}×\frac{y}{x}=1\)（\(x≠0\)，\(y≠0\)） B. \(\frac{x+1}{x}×\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x+1}\) C. \(\frac{x^2}{x-1}×\frac{1}{x}=\frac{x}{x-1}\)（\(x≠0\)，\(x≠1\)） D. \(\frac{-a}{b}×\frac{-c}{d}=-\frac{ac}{bd}\)提升题（选做）计算：\(\frac{x^2-4x+4}{x^2-1}×\frac{x+1}{x-2}\)（提示：先因式分解完全平方和平方差）已知\(x=2\)，求代数式\(\frac{x^2-1}{x+2}×\frac{x+2}{x-1}\)的值（提示：先化简分式乘法，再代入求值）第 9 页：课堂小结与作业布置知识梳理（表格总结）内容关键要点分式乘法法则分子积作分子，分母积作分母；核心技巧 “先约分，再相乘”运算步骤因式分解→找公因式约分→分子分母相乘→化简为最简分式符号处理负号个数为偶数积为正，奇数积为负；可先提符号再计算常见易错点忽略分母不为 0 的条件、约分错误、符号处理错误实际应用工程效率、几何面积等，需结合实际意义确定字母取值范围作业布置教材习题 5.3 第 1（1）（3）（5）、2 题（基础巩固，规范书写因式分解与约分步骤）提升题（选做）：教材习题 5.3 第 4 题（含多项式的复杂分式乘法）实践任务：编一道分式乘法的实际应用题（如购物折扣、速度计算），按 “列分式→计算→化简→验证意义” 的步骤完成解答第 10 页：结束页标语：“分式乘法不难算，分子分母分别乘；先约分来再计算，符号正负看个数”学习提示：下节课将学习 “分式的除法”，分式除法可转化为分式乘法（除以一个分式等于乘它的倒数），可提前回顾 “倒数” 的概念及分式乘法法则配图：分式乘法知识思维导图（含法则、步骤、符号处理、易错点、应用场景）2024浙教版数学七年级下册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.分式的乘法法则：2.分式的除法法则： （1）整式与分式运算时，可以把整式看成分母是1的式子；（2）运算结果要化为最简分式或整式。典例1 计算：        解题通法分式相乘除的运算步骤分式乘除混合运算的步骤：一般地，分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算。在运算时，乘除是同一级运算，若没有括号，则应按照从左到右的顺序进行计算，若有括号，则先算括号里面的。典例2 计算：    1. 下列计算正确的是(　D　)D C D D －4　 【解】原式＝3 xy ·2 z ＝6 xyz .  6. [母题教材P136例1] 计算：       A必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！