黑龙江省龙东十校联盟2026届高三上学期12月月考 数学试卷

这是一份黑龙江省龙东十校联盟2026届高三上学期12月月考 数学试卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知是实数，是关于的方程的一个根，则（ ）
A．B．C．D．
3．“”是“函数的图象关于点对称”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知直线，，则和之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点，保持纵坐标不变，再将（ ）
A．横坐标变成原来的倍B．横坐标变成原来的倍
C．横坐标变成原来的倍D．横坐标变成原来的倍
6．已知函数是上的偶函数，当时，．则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
7．已知中，，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知正方体，点，，分别在棱，，上，且，，，过，，三点的平面与棱相交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知正三棱柱中，，分别为棱，的中点，则（ ）
A．平面B．
C．平面D．
10．过直线上的动点，作圆的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．直线恒过点B．线段的中点在一个定圆上运动
C．的取值范围是D．四边形面积的最小值
11．已知中，，且周长等于，面积等于，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．已知平面向量，．若，则 ．
13．已知等比数列，，，则数列的前项和等于 ．
14．曲线上的点到直线距离的最小值为 ．
四、解答题
15．已知△中，点在边上，平分，且△面积是△面积的倍．
(1)求的值；
(2)若，，求和的长．
16．已知数列的前项和为，且．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若．
①求的通项公式；
②若成等比数列，求的值．
17．已知四棱锥中，底面为菱形，侧面为正三角形，平面平面，， 为中点．
(1)求证：；
(2)求平面和平面夹角的余弦值．
18．已知椭圆（）的焦距是，点在上.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若直线交椭圆于两点，且坐标原点是△的重心，求△外接圆的面积.
19．已知实数，函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若，函数，设，求证：.
参考答案
1．A
【详解】 ，
．
故选：A．
2．C
【详解】因为是关于的方程的一个根，
所以，所以，解得，
故选：C
3．A
【详解】正切函数的对称中心为，
令，解得，
所以函数的对称中心为.
因为是的真子集，
所以“”是“函数的图象关于点对称”的充分不必要条件.
故选：A．
4．B
【详解】将直线方程化为：，
由两条平行线间距离公式得．
故选：B．
5．C
【详解】因为，所以将图象上所有点保持纵坐标不变，横坐标变成原来的倍，即可得到的图象．
故选：C．
6．B
【详解】因为函数是上的偶函数，所以图象关于直线对称．
当时，，所以在上单调递减．
所以不等式等价于，解得．
故选：B．
7．D
【详解】如图，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，
设，由可得，整理得，
其轨迹是以点为圆心，半径为的圆.点到直线距离的最大值为圆的半径长2，
所以的面积的最大值为．
故选：D．

8．A
【详解】因为点，，分别在棱，，上，且，，，
则，
，
设，则，
因为四点共面，所以共面．
设存在实数，使得，
所以，，，解得，．
即，所以．
故选：A．
9．ACD
【详解】如图，
因为平面平面，且平面，所以平面，故A正确；
因为平面，平面，，所以DE与是异面直线，故B错误；
取中点，连接，则，平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，所以平面平面，又平面，所以平面，故C正确；
因为，，，平面，所以平面，又平面，所以，即．故D正确．
故选：ACD
10．ABD
【详解】设点，则两切点连线的直线方程为，
因为，所以，
所以直线的方程为，
即，
所以当，即时，直线恒过定点，故A正确；
由垂径定理可知，因为直线经过定点，
所以，所以中点在以为直径的圆上运动，故B正确；
设圆的半径为，则，
因为，而，
所以的取值范围是，故C错误；
因为四边形的面积等于，
因为，所以，
即四边形面积的最小值等于，故D正确．
故选：ABD．
11．AC
【详解】由已知得，
整理得，
所以．故A正确．
由二倍角公式，，
整理可得， ，
若，则可知等式成立；
若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，
同理，
又，于是，
与条件不符，则不成立；
若，即，故，同理得，
故，则不成立．
综上讨论可知，，即．
所以，所以．故B错误．
由面积等于，故，
因为周长等于，，当且仅当时取等号，
所以．故C正确，D错误．
故选：AC．
12．
【详解】因为，，所以，
由得，解得.
故答案为：.
13．
【详解】由等比数列，，，
得，，所以，，
所以的前项和等于．
故答案为：63.
14．
【详解】的定义域为，
求导得，令得，即，解得或（舍去），
当时，，此时切点为，
所以曲线到直线的距离的最小值即为切点到直线的距离，
即为，
故答案为：
15．(1)
(2)，
【详解】（1）因为，，
因为，
所以，则，所以由正弦定理得；
（2）设到的距离为，
因为，，
因为，
所以，则，
因为，平方得，
因为，平方得，
整理得．
又因为，
所以．
16．(1)证明见解析；
(2)①；②或或．
【详解】（1）由题知，，
当时，．
两式相减得，
所以，
所以，
两式相减得．
化简得，
即对任意且都成立．
所以数列为等差数列.
（2）①.
，联立，
解得，所以．
②因为成等比数列，所以，
所以．
整理得．
因为，所以或或，
解得或或，均为正整数，符合题意.
17．(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）连接，在正三角形中，因为为中点，所以．
又因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以．
（2）因为平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，
所以．
如图，以为原点，，，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系,
底面为菱形， 为中点，由（1）知，则，
设，则，，，．
，，
设平面的一个法向量，
则，取．
，，
设平面的一个法向量，
则，取．
因为，所以，
所以平面和平面夹角的余弦值为0．
18．(1)
(2)
【详解】（1）方法1：因为，所以，
因为，所以，将点代入方程，
得，解得或，
因为，所以，所以，，
所以椭圆的离心率为.
方法2：因为，所以，所以焦点坐标和，
因为点在上，由椭圆定义可得
，即.
所以椭圆的离心率为.
（2）因为，所以椭圆的方程为，
设点，，的中点为，
因为是的重心，所以，
所以点的坐标为，
又因为，，
两式相减，可得，
设直线的斜率为，所以，得，
所以直线的方程为，即，
将代入，
得，，，
将其代入，可解得两点坐标，不妨设，；
方法1：因为轴，且，
所以，，
设外接圆的半径为，
由正弦定理可得，所以.
所以外接圆的面积为.
方法2：设的中点为，
又因为直线的斜率等于，
所以线段的垂直平分线方程为，
即，
又因为线段的垂直平分线方程为，
由可解得，
所以外接圆圆心坐标为，
设外接圆的半径为，
则，
所以外接圆的面积为.
方法3：设外接圆的方程为，
则，解得，
所以外接圆的方程为，
即，
所以外接圆的面积为.
19．(1)在区间上单调递增，在区间上单调递减
(2)证明见解析．
【详解】（1）因为，，，
所以当时，函数的定义域为；
当时，函数的定义域为．
．
当时，因为，所以，，，单调递增；，，，单调递减．
当时，因为，所以，，，单调递减，无单调递增区间．
当时，因为，所以，，，单调递增； ，，，单调递减．
综上所述，当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；
当时，在区间上单调递减，无单调递增区间；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（2）当时，
．
则，
设函数（），
则．
令
因为，
所以在区间上单调递增．
因为，所以，即，
所以，即，
所以在区间上单调递增．
因为，所以，
所以当时，，
因为，由此可得.