初中数学沪科版（2024）八年级上册一次函数与二元一次方程教案设计

这是一份初中数学沪科版（2024）八年级上册一次函数与二元一次方程教案设计，共20页。教案主要包含了思考与交流，探究活动，应用举例，拓展提升，达标测评，知识网络，教学反思，课堂小结等内容，欢迎下载使用。

第2课时 二元一次方程组的图象解法
(续表)
第3课时 一次函数的简单应用——双函数图象问题
(续表)
(续表)
课题
第1课时 二元一次方程的图象解法
授课人
教
学
目
标
1.使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系.
2.会将二元一次方程转化为一次函数,并能作出其对应的图象.
3.通过学生的思考和操作,提示出方程与图象之间的关系,引入二元一次方程的图象解法.同时培养学生初步的数形结合的意识和能力.
4.通过对二元一次方程与一次函数之间的关系的探究,培养学生数形结合的数学思想观念.
5.通过学生的自主探索,提示出方程和图象之间的对应关系,加强新旧知识的联系,培养学生的创新意识,激发学生学习数学的兴趣,使学生体验数学活动充满探索与创造.
教学
重点
二元一次方程和一次函数的关系.
教学
难点
将二元一次方程转化为一次函数,并作出其对应的图象.
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体课件
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
活动
一:
创设
情境
导入
新课
【思考与交流】
前面我们已经研究了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系,那么一次函数与二元一次方程之间有什么联系呢?
学生活动:学生讨论交流.
从学生已有的知识经验入手,通过类比的方法引导学生探究一次函数与二元一次方程之间的关系,这样既拓展了学生的知识面,也激发了学生的求知欲和探究热情,同时也非常自然地引入了新课.
活动
二:
探究
与
应用
【探究活动】
活动一:我们知道二元一次方程3x+2y=6可以转化成一次函数的形式:y=-32x+3,对于这个函数,任意给出自变量x的一些值,可以求得对应的y值,列表如下:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
…
学生活动:学生自主探究并进行交流.
教师点拨:将表中每一对x,y的值代入方程3x+2y=6都成立,所以每组有序实数对(x,y)都是方程3x+2y=6的解.可见,二元一次方程3x+2y=6有无数多组解,解的全体叫作二元一次方程的解集.
活动二:试以上述表格中的有序实数对(x,y)为点的坐标,在坐标平面内描点作图.
学生活动:学生自主探究并进行交流.
教师点拨:从图象上可以看出是一条直线,这条直线就是一次函数y=-32x+3的图象.
师生合作交流:师生合作交流归纳出下列知识:
一般地,一个二元一次方程可以转化成一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的形式,所以,每个二元一次方程都对应一个一次函数,也对应一条直线.
试一试:画出二元一次方程3x+4y=12所对应的直线.
教师点拨:画二元一次方程3x+4y=12所对应的直线时,可先将方程转化为一次函数y=-34x+3,然后再作出一次函数y=-34x+3的图象即可.
学生活动:学生自主探究得出答案.
解:先将二元一次方程3x+4y=12转化为一次函数y=-34x+3,然后确定出一次函数的图象与坐标轴的两个交点为点(4,0)与点(0,3),最后经过交点作出图象如图12-3-4.
图12-3-4
思考:一次函数图象上的点的坐标与相应的二元一次方程的解有什么关系?
学生活动:学生自主探究并与同学讨论交流.
教师活动:组织学生分组讨论交流并引导学生归纳出下列结论:
二元一次方程的每组解都是相应一次函数图象上的点的坐标;反之,一次函数图象上的任一点的坐标都是相应二元一次方程的解.
通过“探究活动”与“讨论与交流”活动的设计引导学生进行操作、尝试与探究,在学生通过自主探究获得初步的感性认识的基础上,组织学生进行合作交流,从而引导学生归纳出二元一次方程与一次函数之间的关系.
活动
二:
探究
与
应用
【应用举例】
例1 下面四条直线,其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x-2y=2的解的是(C)
图12-3-5
进一步巩固一次函数与二元一次方程之间的关系,并能学以致用.
【拓展提升】
例2 已知一次函数y=2x-3.
(1)试判断点(2,1)是否在该函数的图象上;
(2)试判断x=2,y=1是不是方程2x-y=3的解.
例2的设计是为了巩固新知识,使学生进一步理解和掌握新知识.
活动
三:
课堂
总结
反思
【达标测评】
1.教材P50练习T1,T2.
2.教材P54习题12.3中的T1.
当堂检测,及时反馈学习效果.
【知识网络】
提纲挈领,重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
本节课的重点是探究一次函数与二元一次方程之间的关系,由于同学们已经有了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间关系的知识经验做储备,因此学习本节课的知识时可通过类比的方法来学习,这样探究、理解并掌握本节课的知识就比较容易了.
②[讲授效果反思]
本节课从学生已有的知识经验入手,运用类比的方法引导学生进行操作探究,从而较好地完成了本节课的教学任务,使学生理解并掌握了本节课所学的新知识.从课堂上的教学情况来看,学生对方程组的解的确定还有点困惑,需要在下节课的教学中进一步复习和巩固.
③[师生互动反思]


④[习题反思]
好题题号
错题题号
反思,更进一步提升.
课题
第2课时 二元一次方程组的图象解法
授课人
教
学
目
标
1.认识二元一次方程的图象表示法,从图形的角度理解二元一次方程的解,了解二元一次方程组的图象解法.
2.学生在活动中体会“从特殊到一般”的认识事物的方法,体验数形结合的研究方法.
3.经历用图象法解二元一次方程组的过程,培养学生解决问题的能力.
4.在探究学习的过程中培养学生的合作精神、探究意识.
教学
重点
利用图象法来判断二元一次方程组的解的情况.
教学
难点
利用图象法解决生活中的问题.
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体课件
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
活动
一:
创设
情境
导入
新课
上节课我们学习了二元一次方程与一次函数的关系,现在共同回顾学过的知识点:
(1)一次函数与二元一次方程是可以相互转化的,它们虽然形式不同,但实质是相同的.
(2)一次函数y=kx+b的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的解.
(3)以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图象上.
(4)二元一次方程对应的一次函数的图象是一条直线,它有无数组解.
那么二元一次方程组的解与方程组中两个方程对应的函数图象有怎样的关系?
复习图象法解二元一次方程有关知识,意在温故而知新,在引导学生回忆和巩固所学知识的同时引入新课.
活动
二:
探究
与
应用
例1 (1)在平面直角坐标系中画出直线l1:y=-12x+1与直线l2:y=2x+6的图象;
(2)如果直线l1和l2相交于点P,写出点P的坐标为( , );
(3)检验点P的坐标是不是下面方程组的解?
x+2y=2,2x−y=−6.
学生活动:学生探究得出答案并与同学交流.
师生合作交流:师生合作交流得到下列结论:
两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.
教师点拨:二元一次方程组的解可以通过作图象的方法来求解,反之,方程组的解就是图象交点的坐标.
本环节先通过图象法解方程组,从而直观上让学生初步感受一次函数图象上点的坐标与相应方程组的解之间的关系,在此基础上,引导学生归纳出一次函数的图象与相应方程组的解之间的关系以及方程组a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2中未知数前面的系数之比、常数项之比与方程组的解之间的关系,学生对新知识的理解和掌握也就容易多了.
活动
二:
探究
与
应用
例2 利用函数图象法解方程组:5x−2y=4,10x−4y=8.
师生合作交流:师生合作交流得出答案.
例3 利用函数图象解方程组:3x+2y=−2,6x+4y=4.
学生活动:学生自主探究得出答案.
【探究活动】
活动一:观察上述函数图象,分析图象的特点与方程组的解的情况之间有什么关系?
学生活动:学生自主探究并与同学进行交流.
教师活动:组织学生进行交流,并引导学生归纳出如下结论:
两直线相交时,相应的方程组只有一组解;两直线重合时,相应的方程组有无数组解;两直线平行时,相应的方程组无解.
活动二:上述例题直观地说明二元一次方程组的解有三种情况.当把其中的各个二元一次方程组化为标准形式:a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2后,比较一下每例中两个方程中x的系数之比、y的系数之比以及常数项之比,从中你发现了怎样的规律?
学生活动:学生自主探究并与同学进行交流.
教师活动:组织学生进行交流,并引导学生归纳出如下结论:
对于方程组a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2,(1)当a1a2≠b1b2时,方程组有唯一一组解;(2)当a1a2=b1b2=c1c2时,方程组有无数组解;(3)当a1a2=b1b2≠c1c2时,方程组无解.
例2设计的目的是引导学生探究出一次函数图象的交点与二元一次方程组的解之间的关系.
【应用举例】
例1 既不解方程组也不画图,你能判断下列方程组的解的情况吗?
(1)3x−y=7,x+2y=0;
(2)12x−y=1,x−2y=2;
(3)4x−y=2,12y=2x+1;
(4)4x−3y−9=0,x−2y−1=0.
学生活动:学生自主探究得出答案.
解:(1)因为31≠-12,所以原方程组有唯一一组解.
(2)因为121=-1-2=12,所以原方程组有无数组解.
(3)因为4-2=-112≠21,所以原方程组无解.
(4)因为41≠-3-2,所以原方程组有唯一一组解.
活动
二:
探究
与
应用
【拓展提升】
例2 某单位有职工几十人,想在节假日期间组织到外地H处去旅游,当地有甲、乙两家旅行社,它们服务质量基本相同,到H地旅游的价格都是每人100元,经联系协商,甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠;乙旅行社表示单位先交1000元后,给予每位游客六折优惠.问该单位选择哪家旅行社,使其支付的旅游总费用较少.
教师点拨:选择哪个旅行社的关键是先求出旅游的总费用与游客人数之间的函数表达式,然后利用图象比较出它们的大小关系,从而确定出选择的方案.
解:设该单位参加旅游的有x人,甲旅行社的总费用为y1元,乙旅行社的总费用为y2元.根据题意得
y1=80x,y2=60x+1000.
解方程组y=80x,y=60x+1000,
得x=50,y=4000.
从而可得两个函数图象的交点坐标为(50,4000).
在同一直角坐标系内作出两个函数的图象,如图12-3-12,观察图象可得:
当x=50时,y1=y2,选择甲、乙旅行社都一样;
当x