安徽省2025_2026学年高一数学上学期期中质量检测试题含解析

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1．满分150分，考试时间120分钟．
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
3．本卷命题范围：人教版必修第一册第一章、第二章、第三章、第四章指数函数结束．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可．
【详解】由命题否定的定义可知，命题“”的否定是
“”．
故选：D．
2. 已知全集、集合、集合如Venn图所示，则的子集个数为（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 32
【答案】D
【解析】
【分析】根据Venn图求，根据元素个数求子集个数.
【详解】由Venn图可知：，
所以的子集个数为，
故选：D．
3. 已知，下列计算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数幂运算性质进行计算即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，1，故C错误；
对于D，，故D错误．
故选：B．
4. 已知函数的定义域为，则“的最小值为2025”是“025”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据逻辑命题的充分性与必要性推导即可．
【详解】若“的最小值为2025”，则“025”恒成立，所以充分性成立；
若“025”不一定有“最小值为2025”，所以必要性不成立．
故选：A．
5. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数单调性判断即可.
【详解】由，
又因为在上单调递增，
所以，所以，
因为在上单调递减，
所以，
所以．
故选：A．
6. 某培养皿中微生物的含量与时间（单位：小时）的关系满足函数，且第3小时时其含量为10，第7小时时其含量为40，若第小时时其含量为80，则（ ）
A. 11B. 10C. 9D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据求出、的值，即可求出函数解析式，再代入计算可得.
【详解】由题意得，
因为第3小时时其含量为10，第7小时时其含量为40，
所以，解得，
所以，
由，解得．
故选：C．
7. 已知在上是单调函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分段函数的单调性建立关于a的不等式组，解之即可求解.
【详解】因为为R上单调函数，
则或，
解得或．
故选：D．
8. 已知函数，若对于，都有或成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先分析的取值情况，再根据一次函数与二次函数的性质列出不等式求解.
【详解】当时，当时，，不合题意；
当时，，
当时，当时，；当时，，
若对于，都有或成立，
只需在时恒成立，
若，即时，满足题意；
若，即时，只要即可，
解得，则．
综上可知，
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，下列说法错误的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】通过举反例可判断A；根据不等式的基本性质可判断B；通过作差比较可判断D。
【详解】对于A，若，，则，故A错误；
对于B，，，，即，
又，所以，故B正确；
对于C，若，满足，但，故C错误；
对于D，若，则，因为的正负不确定，
所以的正负不确定，故D错误．
故选：ACD
10. 已知幂函数的图象与坐标轴有交点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 对定义域内任意实数，都有
C. 对定义域内任意实数，都有
D. 函数在上单调递增
【答案】BC
【解析】
【分析】由函数为幂函数以及图象与坐标轴有交点，分析得出参数即可判断选项A，利用函数单调性判断选项B，利用作差法和分析法判断即可得出选项C，在内取特殊值根据单调性分析即可得出选项D.
【详解】对于A，由题意知，解得，
又的图象与坐标轴有交点，
所以，故A错误；
对于B，由A选项知函数，
且函数在上单调递增，
所以对于定义域内任意实数，
当时，，则，
当时，，则，故B正确；
对于C，由函数，设，
所以
，
所以，故C正确，
对于D，
，
由，
要证明，
即，
即，
所以即，
由，，
所以函数在上不单调递增，故D选项不正确.
故选：BC．
11. 已知，函数的图象类似于汉字“囧”，称其为“囧函数”，“囧函数”的图象与轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，则当时，下列结论正确的是（ ）
A. 函数是偶函数
B. 函数的“囧点”为
C. 函数的图象关于直线对称
D. 当时，的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由，可得，再确定定义域，即可判断A，由“囧点”的概念即可确定B；根据与的关系判断C；再根据单调性确定最值即可．
【详解】当时，，，
对于A的定义域为，定义域关于原点对称，且，
所以函数是偶函数，故A正确；
对于B，当时，，所以函数的图象与轴的交点为，
“囧点”为，故B正确；
对于C，由，得，
时，，
所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；
对于D，当时，，
所以在上，单调递增，在上，单调递减，
所以当时，的最大值为，故D正确，
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数且的图象过定点，则___________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据指数型函数定点问题，当指数求解即可．
【详解】令，则，故的图象过定点，
则，故．
故答案为：3．
13. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】分情况讨论和，结合二次函数单调性及函数值判断参数范围.
【详解】当时，不等式为，恒成立；
当时，令，则在上恒成立，
因为函数的图象的对称轴为，且图象过点，
故当时，在上单调递减，在上单调递增，
则，解得；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
则，解得；
综上，的取值范围是．
故答案为：．
14. 已知函数的定义域为，对定义域内任意实数，都有，当时，，且，则不等式的解集为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由题求出，，再根据判断函数的奇偶性，利用单调性的定义判断函数的单调性，进而解不等式.
【详解】令，则，得；
令，则，得；
令，则，所以．
又函数的定义域关于原点对称，所以函数为偶函数．
因为，又1，所以．
因为，
所以原不等式等价于．
当时，，因为当时，，
所以，因为，
所以，
所以，所以函数在上是增函数，
又函数为偶函数，所以原不等式又等价于，
即或-16，解得或，
所以不等式的解集为．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 已知集合．
（1）若，求；
（2）若且，求的取值范围．
【答案】（1）或.
（2）
【解析】
【分析】（1）利用指数函数性质解不等式得出结合，将代入得出集合，在利用集合运算计算即可；
（2）由且建立不等式组解出即可.
【小问1详解】
，
时，，
所以，
所以或.
【小问2详解】
因为，所以集合，
又，所以或，
解得，
所以的取值范围是.
16. 设二次函数的两个零点分别为．
（1）若，求实数的值；
（2）若，，求实数的取值范围．
【答案】（1）或10.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数韦达定理，代入求出参数值即可.
（2）根据二次函数单调性，以及零点存在定理，列出不等式组，求出参数范围.
【小问1详解】
二次函数的两个零点为和，
可知时，有，
又由，可得，
代入得，解得或10.经检验均满足.
【小问2详解】
因为，，且函数图象开口向上，
则，即，
解得，
即实数的取值范围为.
17. 已知函数，且在上的最小值为．
（1）求的值；
（2）求在区间上的最大值；
（3）当，且时，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）33 （3）
【解析】
【分析】（1）令，由二次函数性质计算可解；
（2）由二次函数性质求解即可；
（3）由函数单调可知在上恒成立，采用分离常数法令，由二次函数性质求解即可.
【小问1详解】
令，
则开口向上，且对称轴，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得；
【小问2详解】
由（1）知，时，，
在上单调递减，在上单调递增，
又，所以最大值为.
【小问3详解】
由（1）知，在上单调递增，
又，
由，
得在上恒成立，
所以问题即为在上恒成立，
所以，
设，令，则，
所以.
由二次函数性质可知函数在区间上单调递减，
所以当时，，
所以，即的取值范围为.
18. 由于某种有害化学物质泄漏对湖泊造成了污染，现决定向湖中投放净化剂，1个单位的净化剂在水中逐步溶化，水中的净化剂浓度与时间的关系，可近似地表示为只有当湖泊中净化剂的浓度不低于2时，才能对污染产生有效的净化作用．
（1）判断函数的单调性（不必证明）；
（2）如果只投放1个单位净化剂，则能够维持有效净化作用的时间有多长？
（3）若一共投放两次净化剂，第一次投放1个单位的净化剂，当湖泊中的净化剂浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的净化剂，此后，每一时刻湖泊中的净化剂浓度认为是各次投放的净化剂在该时刻相应的净化剂浓度的和，求第二次投放净化剂后湖泊中净化剂浓度的最大值．
【答案】（1）函数在上单调递减，在上单调递增
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用函数单调性的定义以及一次函数的性质判断即可；
（2）根据题意建立不等式，解不等式分析即可；
（3）根据题意利用基本不等式和函数单调性求最值分析得出结论.
【小问1详解】
当时，令，
任取，且，
所以
，
因为，所以，
即，
所以，
又，所以，
所以，
所以函数在上单调递增，
当时，在上单调递减.
【小问2详解】
当时，令，
即，
整理得，
解得，
结合，可得满足不等式，
当时，令，解得，
结合，得到，
所以能维持有效净化作用的时间为.
【小问3详解】
由（1）知，当时函数单调递增，
当时函数单调递减，
所以当时，第一次投放的净化剂浓度开始下降，
第二次投放后，当时，
，
当且仅当，即时等号成立，
当时，.
综上，净化剂浓度的最大值为.
19. 已知奇函数定义域为，且．
（1）求的解析式；
（2）把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，记，若，求的最大值；
（3）若，函数在区间上的值域是，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）2. （3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质建立关于a，b的方程组，解之即可求解；
（2）根据函数的对称性可知的图象关于点对称，进而，求得，结合基本不等式计算可得，即可求解；
（3）根据不等式的性质可得，由（1），结合函数的单调性可得，进而的方程有两个互异实根，利用换元法（）可知关于的方程有两个互异正根，结合根的判别式计算即可求解.
【小问1详解】
因为是上的奇函数，所以，
由可得，
因为，所以，
即，验证知是奇函数，符合题意.
小问2详解】
把区间等分成份，
则等分点的横坐标为，
又为奇函数，
所以的图象关于点对称，
所以，
所以
因为，
当且仅当即时，等号成立.
由，得.
又，所以的最大值为2.
【小问3详解】
因为，所以，所以，
由，得，所以，
由（1）知，函数为上的增函数.
因为函数在区间上的值域是，
所以，即，
所以关于的方程有两个互异实根.
令，所以关于的方程有两个互异正根，
所以，解得，
所以.