广东省深圳市2026届高三上学期期中联考 数学试卷(含答案）

这是一份广东省深圳市2026届高三上学期期中联考 数学试卷(含答案），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合是不大于10的整数，则为（ ）
A．B．C．D．
2．复数的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，满足，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，且在上有且只有一个零点，则（ ）
A．0B．C．D．
7．已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则（ ）
A．B．C．D．1
8．如图，正四面体容器的容积为，里面装了体积为的水，固定容器底面一边将容器倾斜，当水面所在平面恰好过点且与棱分别交于点，则平面与平面的夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．某人收集了某城市居民年收入（即所有居民在一年内收入的总和）与商品销售额的10年数据，如表所示.下列结论中说法正确的是（ ）
A．居民年收入的第75百分位数是43.0亿元
B．商品销售额的平均数是40.1万元
C．居民年收入介于35到40亿元占比
D．A商品销售额与居民年收入成正线性相关
10．如图，直二面角中，，动平面分别交平面和平面于直线､直线，则下列命题正确的是（ ）
A．平面内不存在与平面平行的直线
B．平面内存在无数条直线与平面垂直
C．当平面，平面，平面两两垂直时，它们的交线也两两垂直
D．直线，直线中至少有一条与直线垂直
11．已知函数有大于0的极值，为自然对数的底，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．有两个零点且其乘积大于
三、填空题
12．已知正项等比数列中，，则 .
13．计算的值为 .
14．一个箱子中有大小质地完全相同的小球共5个，其中红球2个，蓝球3个.现依次不放回地从箱子中取球，直到取完所有红球为止.设取球次数为，则的数学期望 .
四、解答题
15．在中，角满足.
(1)求；
(2)若的角平分线交线段于点，求的面积.
16．已知等差数列的公差，前项和为，若.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
17．如图，在四棱锥中，，.
(1)求证：平面平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的正切值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.
18．已知抛物线上一点与焦点的距离为4，点到轴的距离为.
(1)求的方程；
(2)点为的准线上一动点，直线（为坐标原点）与交于另一点，过点作轴的垂线与交于点.
①求证：直线过定点；
②若，求的面积.
19．已知函数.
(1)是否可以为的极值点？请说明理由；
(2)证明：若在上单调，则在上单调；
(3)若有三个零点，证明：.
参考答案
1．C
【详解】由，解得或，
所以，
又是不大于10的整数，所以.
故选：C
2．A
【详解】复数，
所以所求共轭复数为.
故选：A
3．B
【详解】向量，则，
所以在上的投影向量为.
故选：B
4．B
【详解】设椭圆的长短半轴长分别为，半焦距为，则点为一等边三角形三个顶点，
因此，所以该椭圆的离心率.
故选：B
5．C
【详解】函数的定义域为，且，
所以为奇函数，
当时，因为，均在上单调递增，
所以在上单调递增，又为连续函数，
所以在上单调递增，
不等式，即，即，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：C
6．A
【详解】函数，由，得，而，解得，
则，由，得，
由在上有且只有一个零点，得，解得，
而，因此，，所以.
故选：A
7．B
【详解】由，则，所以，
所以曲线在点处的切线为，即，
因为与曲线只有一个公共点，
即有且仅有一个解，又，
所以有且仅有一个解，
令，即有且仅有一个零点，
则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又当时，当时，
所以，即，解得。
故选：B
8．D
【详解】依题意，平面，而平面平面，平面，
则，由，得，因此，
则，取中点，连接，连接，则为中点，
令正四面体的棱长为，则，，
而平面，则平面，
过点作直线，则，即平面平面，平面，
又平面，于是，是平面与平面的夹角，
在等腰中，，由，
得，
在中，，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
故选：D
9．ACD
【详解】对于A：居民年收入从小到大排列为31.1，32.2，32.9，35.8，37.1，38，39，43，44.6，46，
又，所以居民年收入的第75百分位数是43.0亿元，故A正确；
对于B：商品销售额的平均数是（万元），故B错误；
对于C：居民年收入介于35到40亿元共有4年，所以居民年收入介于35到40亿元占比，故C正确；
对于D：画出成对样本数据的散点图，从散点图看，商品销售额与居民年收入的样本数据呈现出线性相关关系．

设第年居民的年收入为亿元，商品销售额为万元，
则，，，，,
所以，样本相关系数
．
由此可以推断，商品销售额与居民年收入正线性相关，即商品销售额与居民年收入有相同的变化趋势，且相关程度很强，故D正确．
故选：ACD
10．BCD
【详解】对于A，在上取不与点重合的点，过点在平面内作直线，
则平面，而平面，因此平面，A错误；
对于D，假设直线，直线都不垂直于直线，则在平面内过点作
于，在平面内过作，由，得，
由直二面角，得平面平面，而平面平面，
则平面，，而平面，
于是平面，，因此与假设矛盾，假设错误，
则直线，直线中至少有一条与直线垂直，D正确；
对于B，由选项D知，不妨令，可得平面，又平面，
则平面平面，显然在平面内存在直线垂直于，
又平面平面，则这条直线垂直于平面，
因此平行于这条直线的所有直线都垂直于平面，B正确；
对于C，由选项D知平面平面，若平面平面，
在平面内取点，过点作，则可得平面，
，同理，而平面，则平面，
于是，又平面平面，同理得，
因此当平面，平面，平面两两垂直时，它们的交线也两两垂直，C正确.
故选：BCD
11．BCD
【详解】函数的定义域为，求导得，
对于A，当时，，函数在上单调递减，无极值，与已知矛盾，A错误；
对于B，当时，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值
，因此，整理得，B正确；
对于C，由选项B知，，，C正确；
对于D，由选项B知，，当从大于0的方向趋近于0时，，
当时，，因此函数有两个零点，不妨令，
则，即，令，则，
即函数的图象与直线有两个交点，由，求导得，
当时，；当时，，函数在上递增，在递减，
则，而，当时，恒成立，因此，，D正确.
故选：BCD
12．16
【详解】由正项等比数列的公比为，
则，即，则有，
所以.
故答案为：16
13．/
【详解】

故答案为：
14．
【详解】依题意的可能取值为、、、，
所以，，，
，
所以.
故答案为：
15．(1)；
(2).
【详解】（1）在中，由，得，
则，而，解得，
所以.
（2）由（1）知，，由的角平分线交线段于点，得，
，，
在中，由正弦定理得，
所以的面积为.
16．(1)
(2)
【详解】（1）因为，，又，
所以，解得，
所以；
（2）因为，即，所以，
所以，
所以，
则，
所以
，
所以.
17．(1)证明见解析
(2)存在，点在的中点
【详解】（1）取的中点，连接、，
因为，
所以，，
又，，所以四边形为平行四边形，所以，
所以，所以，即，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）依题意四边形为等腰梯形，取的中点，连接，则且，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，
当与点重合时，平面与平面重合，显然不符合题意；
设，则，
设平面的一个法向量为，
所以，取，
取平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，若，
由，解得（负值舍去），
又，
解得或（舍去），
解得，
所以存在点，在的中点时，平面与平面的夹角的正切值为.
18．(1)；
(2)①证明见解析；②.
【详解】（1）设点，由，得，
由点到轴的距离为，得，又，则，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）①由（1）得抛物线：的焦点，准线方程为，
设，由轴，且点在抛物线上，得，
直线方程为，由，得点，
当时，直线的斜率，其方程为，
整理得，因此直线过定点，当时，直线过点，
所以直线过定点.
②由①知，，
因此，，
所以的面积.
19．(1)否，理由见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【详解】（1）不可以为的极值点.理由如下：
函数的定义域为：.
.
若是的极值点，则，即，解得.
此时，，.
令，则.
令，则.
所以在上单调递增.
因为，所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以在处取得极小值，即最小值，最小值为.
所以在上恒成立，所以在上恒成立.
所以在上单调递增，无极值点.
故不可以为的极值点.
（2）函数的定义域为：.
.
当时，恒成立，所以在上单调递增，满足题意；
当时，令.
因为，当且仅当时，等号成立.
所以若在上单调，则只能单调递增.所以在上恒成立，即在上恒成立.
所以恒成立.
因为，当且仅当时，等号成立.
所以，即.
则，
令，则由（1）得在上恒成立，
所以在上恒成立，所以在上恒成立.
所以在上单调递增.
（3）有三个零点，所以.
不妨设.
由（2）知，且在上不单调.所以.
函数的定义域为：.
.
令，则，
令，则由（1）得在处取得极小值，即最小值，最小值为.
所以.
当时，；当时，.
令，则.
令，则.
所以在和上各存在一个零点，分别记为，则，即.
所以当时，；当时，；当时，.
所以在和上各存在一个零点，分别为且.
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
不妨设，则，
若，则；
若，则.
令，
则.
由知，.
所以.
令，则.
由，得，
令，则.
所以单调递增，即单调递增.所以.
所以单调递增，且，所以.
所以单调递增，所以，即.
所以，即，所以，即.
所以.第年
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
居民年收入/亿元
32.2
31.1
32.9
35.8
37.1
38.0
39.0
43.0
44.6
46.0
商品销售额/万元
25.0
30.0
34.0
37.0
39.0
41.0
42.0
44.0
48.0
51.0