重庆市第一中学校2025-2026学年高二上学期12月期中考试数学试题

这是一份重庆市第一中学校2025-2026学年高二上学期12月期中考试数学试题，共25页。试卷主要包含了 ⽅程， 已知曲线， 已知等差数列， 已知数列等内容，欢迎下载使用。
答卷前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、准考证号码填写在答题卡上.
作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上⽆效.
考试结束后，将答题卡交回.
⼀、单项选择题.本题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分.
双曲线的焦点到它的渐近线的距离为（）
A. 1B. 2C. D. 3
已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（）
A. 3B. C. D.
已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最⼩值时，（）
A. 4B. 5C. 6D. 7
已知数列是公差为的等差数列，则（）
B. C. 2D. 4
已知椭圆的左顶点为 A，点 P，Q 均在 C 上且关于 y 轴对称.若直线 AP，AQ
的斜率之积为，则椭圆 C 的离⼼率为（）
B. C. D.
已知椭圆的两个焦点为，，过原点的直线与该椭圆交于，两点，若
1. ⽅程
表示的曲线为（
）
A. 线段
B. 椭圆
C.
双曲线
D. 不表示任何图形
，的⾯积为 ，则的周⻓为（）
A. 12B.C.D. 6
，
，若
数列满⾜
成⽴，则正整
数的最⼤值为（）
A. 4B. 6C. 8D. 10
⼆、多项选择题.本题共 3 ⼩题，每⼩题 6 分，共 18 分.
已知直线，圆，则下列结论正确的是（）
直线 和圆总有公共点
直线 被圆截得的最短弦⻓为
若圆与圆有且只有⼀条公切线，则实数
当时，圆上恰有两个点到直线距离等于 1
已知直线 与抛物线相交于，两点，的焦点为，为坐标原点，则下列结论正确的是（）
若直线 过焦点，则为钝⻆
若，则直线的斜率为
若，则直线 过定点
若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为
11 将数列所有项排成如下数阵：
从第⼆⾏开始每⼀⾏⽐上⼀⾏多两项，且从左到右均构成以 2 为公⽐的等⽐数列，第⼀列数，，， ，…成等差数列，若，，则下列结论正确的是（）
A.B.
C. 位于第 45 ⾏第 89 列D. 4048 在数阵中出现 1 次
三、填空题.本题共 3 ⼩题，每⼩题 5 分，共 15 分.
已知等⽐数列的前 n 项和为，若，，则．
若直线与曲线相切，则.
双曲线（，）的右焦点为，若在圆上存在点 P，使得的中点在 C 的渐近线上，则双曲线 C 的离⼼率的取值范围是.
四、解答题.本题共 5 ⼩题，共 77 分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.
如图为正四棱锥，O 为底⾯ ABCD 的中⼼，，.
求点 B 到平⾯ PCD 的距离；
若 E 为 PB中点，求直线 DE 与平⾯ PBC 所成⻆的正弦值.
已知抛物线（）过点，其焦点为，若.
求的值以及抛物线的⽅程；
过点斜率为的直线交抛物线于，两点，求⾯积的取值范围.
已知数列满⾜，.
证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
设，记数列的前项和为.
求；
若，，求的取值范围.
若⼀个数列满⾜是公⽐为的等⽐数列，则称数列是公⽐为的⼆级等⽐数列.如数列：1，3，7，15，31，63…，此数列是公⽐为 2 的⼆级等⽐数列.已知数列中，，.
（1）记为数列前项的和，且.求数列的通项公式，并判断数列是否为⼆级等⽐数列，请说明理由；
已知双曲线（，）的渐近线⽅程为，且过点.按照如下⽅式依次构造点：过作斜率为 （为常数且）的直线与的下⽀交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.
若，求坐标；
证明：数列是等⽐数列，并求其公⽐（⽤表示）；
设为的⾯积，证明：对任意正整数，为定值.
（2）若数列
是公⽐为 3 的⼆级等⽐数列，是否存在实数，
，使得
？若
存在，求出
，
；不存在，请说明理由.
重庆⼀中⾼ 2027 届⾼⼆上期半期考试数学试题卷
注意事项：
答卷前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、准考证号码填写在答题卡上.
作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上⽆效.
考试结束后，将答题卡交回.
⼀、单项选择题.本题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分.
所以⽅程表示的曲线为椭圆.
故选：B.
2. 双曲线的焦点到它的渐近线的距离为（）
A. 1B. 2C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】求出双曲线的焦点坐标及渐近线⽅程，再利⽤点到直线的距离公式求解.
【详解】由对称性，不妨取双曲线的右焦点，渐近线⽅程为，
1. ⽅程
表示的曲线为（
）
A. 线段
【答案】B
B.
椭圆
C.
双曲线
D.
不表示任何图形
【解析】
【分析】
表示点
到点
，
的距离之和为
，结合
椭圆的定义即可进⾏判断.
【详解】
表示点
到点
，
的距离之和为
，即
，
【分析】利⽤导数的⼏何意义即可求解．
【详解】，
⼜因为曲线在点处的切线与直线垂直，
【答案】C
【解析】
【分析】先利⽤与等差数列前项和公式分析项的符号，再利⽤分析项的符号，最后判断的最⼩值即可.
【详解】由等差数列前项和公式得：，
因为，所以，即，
因为，所以，
⼜因为，可得，即，
由，可知数列前 6 项为负，第 7 项开始为正，
所以所求距离为
.
故选：C
3. 已知曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则的值为（）
A. 3
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
所以切线斜率
，解得
．
故选：D．
4. 已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，则当
取得最⼩值时，（）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
因此当取得最⼩值时，.
【分析】利⽤等差数列定义，结合对数运算求出等⽐数列的公⽐，进⽽求得答案.
【详解】由数列是公差为的等差数列，得，则，因此数列是公⽐为的等⽐数列，
所以.
故选：A
已知椭圆的左顶点为 A，点 P，Q 均在 C 上且关于 y 轴对称.若直线 AP，AQ
的斜率之积为
，则椭圆 C 的离⼼率为（
）
A.
B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设出点 坐标，利⽤斜率坐标公式，结合椭圆⽅程列式求出，进⽽求出离⼼率.
【详解】椭圆的左顶点，设点，则，
且，由直线 AP，AQ 的斜率之积为，得，
故选：C.
5. 已知数列
是公差为
的等差数列，则
（
）
A.
B.
C. 2
D. 4
【答案】A
【解析】
所以椭圆的离⼼率.
故选：A
已知椭圆的两个焦点为，，过原点的直线与该椭圆交于，两点，若 ，的⾯积为，则的周⻓为（）
A. 12B. C. D. 6
【答案】B
【解析】
即，故的周⻓为.
故选：B.
【分析】由题意可得
可得解.
【详解】
，则可得
，⼜
，再利⽤三⻆形⾯积公式与勾股定理计算即
，故，
则，故
，即
，
且有
，
故
，
数列满⾜
成⽴，则正整
，
，若
数的最⼤值为（）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】由可得数列为等差数列，则可得通项公式，从⽽可得，再利
⽤裂项相消法计算可得，最后解出不等式即可得.
【详解】由，则，即，
⼜，故数列是以 为⾸项， 为公差的等差数列，故，故；
则，
，解得
，故正整数 的最⼤值为.
则，
令
故选：D.
⼆、多项选择题.本题共 3 ⼩题，每⼩题 6 分，共 18 分.
已知直线，圆，则下列结论正确的是（）
直线 和圆总有公共点
直线 被圆截得的最短弦⻓为
若圆与圆有且只有⼀条公切线，则实数
当时，圆上恰有两个点到直线 的距离等于 1
【答案】ABD
【解析】
【分析】将直线⽅程变形，求出直线经过的定点，然后利⽤定点在圆的内部可判断A；根据过定点的直线与圆相交时最⼩弦⻓计算⽅法计算可判断B；利⽤圆⼼距与两圆半径之间的关系计算可判断 C；结合直线与圆的位置关系，利⽤点到直线的距离公式进⾏计算可判断D.
【详解】对于A，直线 的⽅程为，
变形可得，令，解得，
所以直线 恒过定点，
因为，所以定点在圆内部，则直线 和圆总有公共点，故A 正确；
对于B，因为直线 过定点，且点在圆内，
则经过，两点的直线与直线 垂直时，直线 被圆截得的弦⻓最⼩，
若圆与圆有且只有⼀条公切线，则两圆内切，则有，解得，故C 错误；
对于D，圆，其圆⼼为，半径为，
当时，直线 的⽅程为，
圆⼼到直线 的距离为，依题意需满⾜.
因为，，，满⾜，故圆上恰有两个点到直线 的距离等于 1.故D 正确.
故选：ABD.
已知直线 与抛物线相交于，两点，的焦点为，为坐标原点，则下列结论正确的是（）
若直线 过焦点，则为钝⻆
若，则直线的斜率为
此时圆⼼到直线 的距离为
，
所以最⼩弦⻓为
对于C，圆的⽅程
，故B 正确；
，即
，
其圆⼼为，半径为
，需满⾜
，
若，则直线 过定点
若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为
【答案】ACD
【解析】
【 分 析 】 根 据 条 件 写 出 ，， 选 项 A,证 明 ， 可 得 ，所以为钝⻆，选项B,由 ，求出的值，即可得到直线的斜率；选项 C,先设直线 ⽅程为 ，因为得到，代⼊直线⽅程得到
，所以直线 恒过定点；选项 D,根据条件设圆⼼为，半径为，因为外接圆与
抛物线的准线相切，所以有圆⼼到准线的距离等于半径
.
【详解】由题可知，设，
直线 过焦点，则设直线 ⽅程为，
联⽴⽅程得到，即
则
所以，所以为钝⻆，选项A 正确；直线的斜率为
因为，所以即
得
或
者，所以，选项B 错误；
设直线 ⽅程为，因为，所以，所以，代⼊直线⽅程得到，所以直线 恒过定点，选项C 正确；的顶点为
，其外接圆的圆⼼在的垂直平分线上，设圆⼼为，半径为，因为外接圆与抛物线的准线 相切，所以有圆⼼到准线的距离等于半径
，选项D 正确；
故选：ACD
将数列所有项排成如下数阵：
从第⼆⾏开始每⼀⾏⽐上⼀⾏多两项，且从左到右均构成以 2 为公⽐的等⽐数列，第⼀列数，，， ，…成等差数列，若，，则下列结论正确的是（）
B.
C. 位于第 45 ⾏第 89 列D. 4048 在数阵中出现 1 次
【答案】AB
【解析】
【分析】先分析数阵的⾏列项数规律，利⽤第⼀列的等差数列求出⾸项；再计算前 9 项和验证选项B；通过项数范围确定的位置；最后分解 4048 的形式判断其出现次数.
【详解】⾸先分析数阵结构：第⾏有项，
前⾏项数和为，
故第⾏第 1 列的项为.
第⼀列成等差数列，记为，其中.
选项A，已知，，等差数列公差，故，A 正确.
选项B，前 9 项对应前 3 ⾏（项数和）：第 1 ⾏：；
第 2 ⾏（等⽐数列，公⽐ 2）：，和为；第 3 ⾏（等⽐数列，公⽐ 2，⾸项）：
，
和为.
前 9 项和为，B 正确.
选项C，前 44 ⾏项数和为，第 45 ⾏有项，对应项数到，
故位于第 45 ⾏第 88 列，C 错误.
选项D，当时，，
当时，数阵中第⾏第列的项为.
令：
当时，，得，，符合条件；
当时，，得，，符合条件.故 4048 ⾄少出现 2 次，D 错误.
故选：AB
三、填空题.本题共 3 ⼩题，每⼩题 5 分，共 15 分.
已知等⽐数列的前 n 项和为，若，，则．
【答案】14
【解析】
【分析】由等⽐数列的性质得：，，成等⽐数列，即 2，4，成等⽐数列，由此能求出．
【详解】等⽐数列的前 n 项和为，，，由等⽐数列的性质得：，，成等⽐数列，
，4，成等⽐数列，
，
解得．
【分析】对进⾏求导得，结合导数的⼏何意义和切点同时在直线和曲线上列⽅程，即可求出答案.
【详解】由得，
设直线与曲线相切于点，
则，解得，所以.
故答案为：.
双曲线（，）的右焦点为，若在圆上存在点 P，使得的中点在 C 的渐近线上，则双曲线 C 的离⼼率的取值范围是.
【答案】
【解析】
【分析】设圆上的⼀点，得到中点坐标为，代⼊双曲线的渐近线⽅程，得到
，根据直线与圆存在公共点，结合，求得，进⽽求得离⼼率的取值范围.
故答案为 14．
【点睛】本题考查等⽐数列性质
应⽤，已知数列为等⽐数列，则
，
，
也成等⽐
数列．
13. 若直线与曲线
相切，则.
【答案】
【解析】
【详解】由双曲线的右焦点为，则，
⼜由圆的圆⼼为，半径为，设圆上的⼀点，可得的中点坐标为，
因为双曲线的渐近线⽅程为，可得，即，
⼜因为直线与圆存在公共点，
则圆⼼到直线的距离，
即，可得，
所以，解得，
所以双曲线的离⼼率的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题.本题共 5 ⼩题，共 77 分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.
如图为正四棱锥，O 为底⾯ ABCD 的中⼼，，.
求点 B 到平⾯ PCD 的距离；

若 E 为 PB 的中点，求直线 DE 与平⾯ PBC 所成⻆的正弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建⽴空间直⻆坐标系，求出平⾯ PCD 的法向量，然后利⽤点⾯距的向量公式求解即可；
（2）先求出平⾯ PBC 的法向量，然后利⽤线⾯⻆的向量公式求解即可.
【⼩问 1 详解】
以为坐标原点，、、⽅向为、、轴正⽅向建⽴空间直⻆坐标系.
由，，得，
故，，，，，
，，
由 E 为 PB 的中点，得.
，，，
设平⾯ PBC 的⼀个法向量为，则，
设平⾯ PCD 的⼀个法向量为
，则
，
取，可得平⾯ PCD 的⼀个法向量为
，⼜
，
所以点 B 到平⾯ PCD 的距离为
【⼩问 2 详解】
；
取，可得平⾯ PBC⼀个法向量为.
设直线 DE 与平⾯ PBC 所成⻆为，则，
故直线 DE 与平⾯ PBC 所成⻆的正弦值为.
已知抛物线（）过点，其焦点为，若.
求的值以及抛物线的⽅程；
过点斜率为的直线交抛物线于，两点，求⾯积的取值范围.
【答案】（1）的值为，抛物线的⽅程为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合抛物线的⽅程和定义列式求，即可得结果；
（2）设直线，，联⽴⽅程可得⻙达定理，进⽽可求和⾯积，结合函数的单调性求值域即可.
【⼩问 1 详解】
由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，
联⽴⽅程，解得，即，所以的值为，抛物线的⽅程为.
【⼩问 2 详解】
则
，
且点
在抛物线
（
）上，则
，即
，
由（1）可知：，，抛物线的⽅程为，
由题意可设：直线，，，且，联⽴⽅程，消去 x 可得，
则，可得，，
则，
⼜因为点到直线的距离，
则⾯积，
构造函数，
显然在内单调递增，且，，可知在内的值域为，
所以⾯积的取值范围为.
已知数列满⾜，.
证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
设，记数列的前项和为.
求；
若，，求的取值范围.
（ 2）（ i） 借 助 错 位 相 减 法 计 算 即 可 得 ；（ ii） 由 题 意 可 得， 构 造 数 列
，借助作商法可得数列单调性，即可求出数列的最⼤值，即可得解.
【⼩问 1 详解】
由，则，
即有，⼜，
故数列为以 为⾸项，为公差的等差数列，则，故；
【⼩问 2 详解】
，
则，
，
则
【答案】（1）证明⻅解析，
；
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）对
.
左右同除
后，结合等差数列定义即可得证，再利⽤等差数列性质计算
即可得的通项公式；

，
则；
，即，整理得，令，
令，解得，⼜，故，
则数列在时，单调递增，在时，单调递减，
⼜，
故的最⼤值为，故.
若⼀个数列满⾜是公⽐为的等⽐数列，则称数列是公⽐为的⼆级等⽐数列.如数列：1，3，7，15，31，63…，此数 列是公⽐为 2 的⼆级等⽐数列.已知数列中，，.
记为数列的前项的和，且.求数列的通项公式，并判断数列是否为⼆级等⽐数列，请说明理由；
若数列是公⽐为 3 的⼆级等⽐数列，是否存在实数，，使得？若存在，求出，；不存在，请说明理由.
【答案】（1），且数列是公⽐为⼆级等⽐数列.
（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）根据题意，求得，得到，进⽽求得，化简得到

，得到数列为等⽐数列，求得其通项公式，得到是公⽐为⼆级等⽐数列.
（2）设，得到，根据题意，求得，得到，利⽤累加法，求得
，得到，由，得到，求得，得到
，进⽽得到答案.
【⼩问 1 详解】
解：由为数列的前项的和，满⾜，且，，当时，可得；
当时，可得，
解得，所以，
当时，由，可得，
两式相减，可得，即，所以，⼜，
故，
⼜由，则，符合上式，
所以数列是以 为⾸项，公⽐为的等⽐数列，所以，所以，
设，可得，即，
所以数列是⾸项为 ，公⽐为 2 的等⽐数列，即数列是公⽐为的⼆级等⽐数列.
【⼩问 2 详解】
解：因为数列是公⽐为 3 的⼆级等⽐数列，即是公⽐为 3 的等⽐数列，
，
所以当时，，⼜，也满⾜该式，所以，故，
因为函数为增函数，
经计算，满⾜该不等式，⽽，均不满⾜，故，
所以，此时，即存在，使得成⽴.
已知双曲线（，）的渐近线⽅程为，且过点.按照如下⽅式依次构造点：过作斜率为 （ 为常数且）的直线与的下⽀交于点，令为关
设
，则
，
因
，可得
，
则
，解得，所以，
所以当
，
因为
，即
，
⼜因为
，所以
，
即
，所以
，代⼊可得
，
即
解不等式
，即
，可得
，
，
于轴的对称点，记的坐标为.
若，求的坐标；
证明：数列是等⽐数列，并求其公⽐（⽤表示）；
设为的⾯积，证明：对任意正整数，为定值.
【答案】（1）；
证明⻅解析，公⽐为；
证明⻅解析.
【解析】
【分析】（1）根据渐近线⽅程和所过定点即可求出双曲线⽅程，再联⽴直线即可求出答案；
（2）写出直线⽅程，将其与双曲线⽅程联⽴得到，从⽽得到，再根据等⽐数列
【⼩问 2 详解】
过斜率为 直线为：，
的定义即可证明；
（3）转化为证明，利⽤点差法得
，结合合⽐性质得，
同理得，再根据（2）中结论即可证明
.
【⼩问 1 详解】
∵渐近线为．⼜过点，
代⼊双曲线的⽅程得，，即双曲线的⽅程为
，
若，则过对应的直线⽅程为，与双曲线联⽴得：
或（舍去）．
代⼊直线⽅程求得该直线与双曲线得另⼀个交点
．
与双曲线联⽴得：，
因为，则，
由⻙达定理得，
.
将代⼊直线⽅程，并取相反数得
，
①，
②，
得，由条件可知⾸项为，
所以数列是公⽐为的等⽐数列．
【⼩问 3 详解】
要证明为定值，只需证明．
与求⾯积时，都看作以为底，
则原问题转化为⾼相等，即需证明两点到直线的距离相等，
进⽽转化为证明，即只需证明，以下为其证明.
将点的坐标代⼊双曲线⽅程得到两式作差并整理得：
，由合⽐的性质得，③，
同理可得④，
由第（2）问的①②可知数列是公⽐为的等⽐数列；数列是公⽐为的等⽐数列.
④式可化为⑤，
由③⑤两式得到：.
故，所以为定值.