浙江省湖州市长兴县龙山共同体2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

这是一份浙江省湖州市长兴县龙山共同体2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列事件中属于必然事件的是（ ）
A．三角形内角和为
B．抛掷一枚硬币，正面朝上
C．某运动员跳高的最好成绩是
D．从车间刚生产的产品中任意抽取一个是次品
2．已知线段是线段，的比例中项，其中，，则等于（ ）
A．4B．10C．25D．100
3．如图，两灯塔A、B间的距离恰好为暗礁所在圆的半径，要使船P不驶入暗礁区，则航行中应保持（ ）
A．大于B．小于C．大于D．小于
4．抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，已知，添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在边长为6的正方形中，以为直径画半圆，则阴影部分的面积是（ ）
A．9B．6C．3D．12
7．如图是平放在地上的油漆桶横截面，已知油漆桶的直径为，油漆面宽为，则现在油漆桶中油漆的最大深长为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（ ）

A．15B．18C．24D．36
9．已知二次函数，当时，的取值范围是，且在该二次函数的图象上有且仅有两个点到轴的距离等于3，则的值可以是（ ）
A．B．2C．3D．4
10．如图所示，由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形，P为的中点，连结交于点，若，则的值是（ ）
A．4B．3C．D．
二、填空题
11．已知，则的值为 ．
12．在一个不透明的袋子中装有8个白球，个红球，这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，则
13．物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小明发现，重物上升时，滑轮上点A 的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点A 转过的度数为时，重物上升了 （结果保留π）．
14．二次函数的图像过点，其部分图像如图所示，则关于的方程的根是 ．
15．如图，，射线和互相垂直，是上一个动点，点在射线上，，作并使，连接并延长交射线于点．若，则的长为 ．
16．图是一张长为米、球网高度为米的智能发球乒乓球桌，图是发球机从中线的端点的正上方米处的点发球，球呈抛物线飞行，当飞行的水平距离为米时，球达到最大高度米．记第一次落球点为，则的长为 ．球从点处弹起后飞行轨迹与段抛物线形状相同，且最大高度可达米，当球运行到点正上方处，运动员进行直线扣杀，球擦网而过，落点为．如图，则的长为 米．
三、解答题
17．如图，已知二次函数的图象经过点，．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)当时，求的取值范围．
18．一个不透明的口袋中装有3张分别标有数字，，4的卡片，它们的形状、大小完全相同．先从口袋中随机摸出一张卡片，记下数字为，在剩下的2张卡片中再随机摸出一张，记下数字为．
(1)第一次摸出标有数字4的卡片的概率是___________．
(2)用列表法或画树状图的方法，求点落在第二象限的概率．
19．如图，在中，，是边上一点，且，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
20．如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．

(1)求证平分，并求的大小；
(2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长．
21．学习了相似三角形相关知识后，小明想利用“标杆”测量教学楼的高度．如图，小明站在地面点处，他的同学在点处竖立“标杆”，使得点、、在一条直线上（点、、也在一条直线上）已知小明的目高为米，“标杆”为米，米，米，、、均垂直于地面，求教学楼的高度．
22．近年来，便携式加湿器因体积小、操作简单等优点迅速成为上班族的宠儿．某代理根据市场需求，销售一种便携式加湿器，每台进价为20元．供应商规定，每台售价不低于36元，且销售利润不高于进价的．经市场销售后发现：该产品月销售量（台）与售价（元/台）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
(1)求关于的函数表达式．
(2)当每台售价定为多少元时，商场每月销售这种家用加湿器获得的利润最大？最大利润为多少元？
23．如图，等腰内接于，．D为上一点，连结交于点E，连结并延长交延长线于点F．
(1)求证：．
(2)若．
①求证：．
②当时，求的值．
24．如图，四边形内接于，对角线平分，连接交于点．
(1)求证：．
(2)当，时，求的值．
(3)如图，在（）的条件下，若为直径，点分别在上，，且为中点，判断的面积是否为定值．若不是，求出其最大值，若是，求出其定值．
售价（元/台）
36
38
40
42
月销售量（台）
4000
3800
3600
3400
《浙江省湖州市长兴县龙山共同体2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题》参考答案
1．A
【分析】此题主要考查了随机事件，必然事件、不可能事件的概念等知识点，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据随机事件，必然事件、不可能事件的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．由三角形内角和定理可知：三角形内角和为，故A选项是必然事件，符合题意；
B．抛掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，不符合题意；
C． 某运动员跳高的最好成绩是是不可能事件，不符合题意；
D． 从车间刚生产的产品中任意抽取一个是次品属于随机事件，不符合题意．
故选A．
2．B
【分析】本题主要考查了比例线段，理解比例中项的概念是解题的关键．
根据比例中项的定义可得，然后代入a和b的值计算 c即可．
【详解】解：∵ c 是 a 和 b 的比例中项，
∴，
∵，，
∴，
∴（c 为线段，取正值）．
∴．
故选B．
3．B
【分析】本题考查了圆周角定理、三角形的外角性质、等边三角形的性质，根据题意作出辅助线，灵活运用圆周角定理是解题的关键．
连接，，，，根据圆周角定理解题即可．
【详解】解：连接，，，，如图所示：
∵，即为等边三角形，
∴，
∴，
又为的外角，
∴，即．
故选：B ．
4．D
【分析】本题考查了抛物线的平移，熟练掌握“上加下减，左加右减”是解题的关键．根据二次函数平移规律“左加右减，上加下减”进行变换即可．
【详解】解：∵ 抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位，
∴ 所得抛物线为：，
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
由题意可得，再由相似三角形的判定定理逐项分析即可求解．
【详解】解：，，
A、当时，，能证明相似，故选项A不符合题目要求，
B、当时，，能证明相似，故选项B不符合题目要求，
C、当时，不能判定与相似，故选项C符合题目要求，
D、当时，，能证明相似，故选项D不符合题目要求．
故选：C．
6．A
【分析】设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，证明BE=CE，得到弓形BE的面积=弓形CE的面积，则．
【详解】解：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OCE=45°，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE=45°，
∴∠EOC=90°，
∴OE垂直平分BC，
∴BE=CE，
∴弓形BE的面积=弓形CE的面积，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，熟知相关知识是解题的关键．
7．B
【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理，根据垂径定理和勾股定理即可求出答案，先求出的长，再由垂径定理求出的长，根据勾股定理求出的长，然后用即可求出结果．
【详解】解：过O点作垂直于的半径，交于点D，连接，如下图，
∵油漆桶的直径为，
∴，
∵，
∴，
∴
∴油漆桶中油漆的最大深长为．
故选：B．
8．B
【分析】连接,根据三角形重心的性质可知：P在上，由三角形中线平分三角形的面积可知：，证明和,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答．
【详解】解：如图，连接，
点P是的重心，点D是边的中点，P在上，
，
，
，
，
，
，
，
设的面积为m，则的面积为，的面积为，
四边形的面积为6，
，
，
的面积为9，
的面积是18．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中，准确作出辅助线是解题的关键．
9．B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据当时，的取值范围是，得到抛物线的开口向上，且抛物线与直线的交点的横坐标为和，进而求出的关系式，再根据该二次函数的图象上有且仅有两个点到轴的距离等于3，得到顶点的纵坐标在和3之间，进行求解即可．
【详解】解：∵二次函数，当时，的取值范围是，
∴抛物线的开口向上，且抛物线与直线的交点的横坐标为和，
∴，的两个根为和，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线的对称轴为，
∵该二次函数的图象上有且仅有两个点到轴的距离等于3，
∴当时，，
∴，
∴；
故的值可以是2；
故选：B．
10．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．
设，则，，延长到M，使，连接，证明，得到，，，进而得到，设，则，根据得到，可知，现由得到，求出，再得到，进而得到，求解即可．
【详解】解：∵，
∴设，则，
∴，
如图，延长到M，使，连接，
∵P为的中点，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
由得到，
解得：，
∴，
∵，
∴，
解得：
即．
故选：A．
11．
【分析】本题考查了分式的求值，解题的关键是熟练掌握分式的加减法运算法则．
将所求分式拆分为两个分式的和，利用已知条件代入计算即可．
【详解】解：由已知得，，
故答案为：．
12．2
【分析】本题考查了概率公式．
根据概率公式，摸到红球的概率等于红球数量与总球数的比值，列出方程求解．
【详解】解：总球数为，摸到红球的概率为．
，
，
．
经检验，是原方程的解．
故答案为2．
13．
【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
根据题意使用弧长公式计算即可．
【详解】解：根据题意，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了．
故答案为：．
14．，
【分析】本题考查了根据函数图像求一元二次方程的根．
根据对称轴得到关于直线的对称点为，结合函数图像作答即可．
【详解】解：由图可知对称轴为直线，
则关于直线的对称点为，
可知的根是，．
故答案为：，．
15．/
【分析】本题考查了全等三角形和相似三角形．熟练掌握全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，添加辅助线，是解题的关键．作于点G．证明，得，，由，得，即可得．
【详解】解：过点F作于点G，
则，
∵，
∴，
∴
，∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】根据题意建立直角坐标系求得过的抛物线解析式，进而得到点的坐标，然后再求得过的抛物线解析式，从而得到点的坐标，最后利用相似解得的长．
【详解】解：如图建立平面直角坐标系，
∴，顶点，
设，
把代入得：
，
∴，
即：，
当时，
，
解得：（舍），
∴，
∵从点处弹起后飞行轨迹与段抛物线形状相同，且最大高度可达米，
∴设段抛物线解析式为：，
把代入得：（舍），
∴，
当时，，
即：，
令与球网的交点为，作于，连接，
由题意得：，
∴，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了二次函数与实际问题、相似三角形的判定与性质、待定系数法求函数解析式，关键是建立恰当的直角坐标系用函数模型解决实际问题．
17．(1)二次函数的表达式为
(2)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求出二次函数的解析式是解决本题的关键．
（1）利用待定系数解答，即可求解；
（2）先求出二次函数的图象与x轴的交点，再根据该抛物线的开口向上，即可求解．
【详解】（1）解：将和代入解析式，
得，
解得：，
∴该二次函数的表达式是；
（2）解：当时，，
解得：或，
由图可得，该抛物线的开口向上，
∴当时，x的取值范围为．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了求概率．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列出表格，进而根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：共3种情况，4占一种，则第一次摸出标有数字4的卡片的概率是，
故答案为：；
（2）解：列表如下：
可知共6种情况，其中点落在第二象限的情况有种，
（落在第二象限）
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了等边对等角、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由等边对等角可得，再结合对顶角相等可得，即；再说明，进而证明结论；
（2）由勾股定理可得，即，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可．
【详解】（1）解：，
，
∵
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：在中，．
∴，
∵，
∴，即，解得：．
20．(1)见解析，
(2)
【分析】（1）根据圆周角定理得出，结合题意可得，再由三角形内角和定理得，最后由圆内接四边形对角互补可求解；
（2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵
∴
又∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，则．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形，则．
∵平分，
∴．
∵是直径，
∴，则．
∵四边形是圆内接四边形，
∴，则，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是直径，
∴此圆半径的长为．
【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键．
21．米
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造相似三角形解决问题是解题的关键．
过点作交于，垂足为，则四边形、、都是矩形，
即可得、、、长，进而求出、长，由得，利用相似比求出长，由即可得出．
【详解】解：如图，过点作交于，垂足为，则四边形、、都是矩形，
∴米，米， 米，米，，
∴米，米，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴米，
∴米．
22．(1)
(2)当元时利润最大，最大利润为元
【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用、不等式组的应用等知识点，明确题意、正确列出函数解析式是解题的关键．
（1）直接运用待定系数法求关于的函数表达式即可；
（2）先根据题意列不等式求得x的取值范围，再列出获得的利润与x的函数解析式，最后根据二次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设，分别把代入得：，解得：，
．
（2）解：由题意得：，
由题意可得：
，
当时，元．
答：每台售价定为45元时利润最大，最大利润为元．
23．(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据，，得 ，结合，得；
（2）①过点A作于G，根据等腰三角形性质得，根据，得，结合，∴得；②延长交于点H，连接，由垂径定理推论知过点O，得，可得，得，根据，得 ，，得，即得 ．
【详解】（1）解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①过点A作于G，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；

②延长交于点H，连接，
由①知，，，
∴过点O，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴, ，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，，
∴．
【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理及其推论，相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理等．等腰三角形性质，熟练掌握各定理及其性质是解决本题的关键．
24．(1)证明见解析
(2)
(3)面积为定值，定值为
【分析】（）由角平分线的定义及圆周角定理可得，进而即可证明；
（）利用相似三角形的性质可得，即得，进而由得到即可求解；
（）作交于点，作交于点，连接，由得，即得，得到，利用和可得，得到，即得到四边形是平行四边形，得，进而由得，即可判断求解．
【详解】（1）证明：平分，
，
，
，
，
∴；
（2）解：，
，
，
即，
∴，
∴，
，
，
，
；
（3）解：面积为定值，理由如下：
作交于点，作交于点，连接，
平分，
，
，
∵为直径，
，，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
，
∴，
∴，
，
的面积为定值，定值．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理的推论，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
B
D
C
A
B
B
B
A
4
4