湖南省湘潭市部分学校2025-2026学年高二上学期12月学情检测数学试卷（Word版附解析）

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考试时间：120分钟 满分：150
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰．
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．
1. 直线与直线的位置关系是（ ）
A. 平行B. 垂直C. 相交但不垂直D. 不能确定
2. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦点坐标为（ ）
A B. C. D.
3. 已知数列一个通项公式为，且，则等于（ ）
A B. C. 5D. 6
4. 若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，（ ）
A. 2B. C. D.
5. 双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为（ ）
A. 2B. 1C. D.
6. 法国天文学家乔凡尼·多美尼卡·卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称为卡西尼卵形线（CassiniOval）小张同学受到启发，提出类似疑问，若平面内动点与两定点所成向量的数量积为定值，则动点的轨迹是什么呢？设定点和，动点为，若，则动点的轨迹为（ ）
A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 抛物线
7. 在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，M为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（ ）

①圆的面积为；
②椭圆的长轴长为；
③双曲线两渐近线的夹角正切值为；
④抛物线的焦点到准线的距离为
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
8. 已知函数是定义在R上不恒为零的函数，对任意的x，均满足：，，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知公差为的等差数列是递减数列，其前项和为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则的最大值为7D. 取最大值时，
10. 已知直线：和圆：，则（ ）
A. 直线恒过定点B. 存在使得直线与直线：垂直
C. 直线与圆相离D. 若，直线被圆截得的弦长为
11. 如图是唐代纹八棱金杯，其主体纹饰为八位手执乐器的乐工，分布于八个棱面，乐工手执竖箜篌､曲项琵琶､排箫等，金杯无论造型还是装饰风格都有着浓郁的域外特征，是唐代中外文化交流的见证､该杯的主体部分可近似看作是双曲线与直线围成的曲边四边形绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线与轴交于两点，则（ ）
A. 的方程为
B. 的离心率
C. 的焦点到渐近线的距离为
D. 若为上任意一点，则的最大值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为___________．
13. 已知圆，直线（、不同时为0），当、变化时，圆被直线截得的弦长的最小值为______.
14. 已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列的通项公式为．
（1）计算的值；
（2）是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由．
16. 如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，，，D是棱PC的中点．
（1）求证：；
（2）若，求直线BC与平面ADB所成角正弦值．
17. 在平面直角坐标系中，设向量，，．
（1）若，求的值；
（2）设，且，求的值．
18. 已知圆经过，两点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆交于，两点，如果，求直线的方程；
（3）已知是圆上动点，求的最大值.
19. 已知为坐标原点，是椭圆左、右焦点，的离心率为，点是上一点，的最小值为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知是椭圆的左、右顶点，不与轴平行或重合的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且
①证明：直线过定点；
②设的面积为，求的最大值．