吉林省通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

这是一份吉林省通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题，共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
高一数学 12 月考
1. 命题 p ： x  0 ， x2  2x  a  0 的否定是（）
A. x  0 ， x2  2x  a  0
C. x  0 ， x2  2x  a  0
B. x  0 ， x2  2x  a  0
D. x  0 ， x2  2x  a  0
下列函数是偶函数且在(0, ) 上单调递增的为（ ）
2. 函数 y 
1
lg2 (x  2)
的定义域为（
）
A. (, 2)
B.
(2, )
C. (2, 3)  (3, )
D.
(2, 4) ∪ (4, )
函数 y  lga  x 1  2 过定点（
1, 0B. 1,1
）
C.
2, 2D. 2, 0
f ( x)  x  1
x
f (x)  e x
f (x) D.
f (x)  ln x
x
a  2x , x  0
已知函数 f  x    xa  R  ，若 f  f 1  1，则a  （ ）
2 , x  0
11
A. 4B. 2C. 1D. 2
已知向量 a  (1, 2) ， b  (1, 0) ， c  (3, 4) ，若
→  λ→ λ R) ，则实数λ （）
(ab )//c (
11
A. 2B. 1C. 2D. 4
vvvvv
已知向量a, b 满足 a  1， a  b  1，则a  (2a  b) 
A. 4B. 3C. 2D. 0
2
在△ABC 中，csC=
3
，AC=4，BC=3，则 csB=（）
11
B. C.
93
12
2D. 3
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
下列命题中，不正确的是（）

→→ →
b //c
若e 为单位向量，且 a //e ，则 aa e
B. 若，
→
a //b
→ ，则 a //c
 
→ → →→ 3
C. a a aa
D 若平面内有四点 A, B, C, D ，则必有 AC  BD  BC  AD
如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC ， BD 交于点 O，且 AE  2EC ，点 F 是 BD 上靠近点 D 的四等分点，则
（）
–––→
FE 
1 –––→
AC 
1 –––→
BD
–––→
FE 
1 –––→
AC 
1 –––→
BD
6464
–––→
FE 
5 –––→1
AB 
–––→
AD
–––→
FE 
5 –––→
AB 
1 –––→
AD
12121212
V ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则下列说法正确的是（）
A 若 A  B ，则sin A  sin B
若 A  30, b  4, a  3 ，则V ABC 有两解
若V ABC 为钝角三角形，则 a2  b2  c2
3
若 A  60, a  2 ，则V ABC 面积的最大值为
三、填空题（本题共 3 个小题，每题 5 分，共 15 分.）
已知函数 f  x  ax1 1 （ a  0 ，且a  1）的图象恒过定点 P ，则 P 的坐标为.
x2  6x  6, x  0
设函数 f  x  
3x  4, x  0
，若互不相等的实数x1 ， x2 ， x3 满足 f  x1  
f  x2  
f  x3  ，则
x1  x2  x3  x1x2 x3 的取值范围是.
已知 a  lg2 3 ， b  lg5 11， c  1.6 ，则这三个数从小到大的顺序是.
四、解答题（本题共 5 个小题，其中 15 题 13 分，16 题 18 分，17 题 15 分，18 题 14 分，19 题 17 分，共 77 分.）
已知集合 A  x a 1  x  2a ，集合 B  y y  x2，x  R ．
若8  A ，求 a 的取值范围；
若 A  B 非空，求 a 的取值范围．
按要求完成下列各小题.
（1）计算： sin2 120  cs180  tan 45  cs2 330  sin 210 ；
已知sin α π  2 cs α π ，求 2 sinα csα.
sinα csα
2
237
计算lg 7  lg 8  lg 3  22lg2 3   1lg1  lg 52  lg 2  lg 50  lg100
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市
的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取 100份作为样本，将样本的成绩（满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，L ，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图.
求频率分布直方图中 a 的值及样本成绩的第 75 百分位数；
求样本成绩的众数，中位数和平均数；
已知落在[50, 60) 的平均成绩是 54，方差是 7，落在[60, 70) 的平均成绩为 66，方差是 4，求两组成绩合并后的
平均数 z 和方差 s2 .
→→22→
已知a  1,2 3,b  sin x  cs x,sinxcsx  ，函数 f  x  a  b ．
求函数 f  x 的解析式及对称中心；
 πα2 35π
若 f  , 且α π ，求sinα的值．

 122 36
在锐角V ABC 中，角 A，B，C 分别为 a，b，c 三边所对的角，若b 3, f B   1，求V ABC 周长的取值范围．
 
若函数 f  x 在区间a, b 上的值域恰为 1 , 1  ，则称区间a, b 为 f  x 的一个“倒域区间”．已知定义在4, 4
 b a 
上的奇函数 g  x  ，当 x 0, 4 时， g  x  x2  2x ．
求 g  x  的解析式；
若关于 x 的方程 g  x  mx  m 在0, 4 上恰有两个不相等的实数根，求实数 m 的取值范围；
求函数 g  x  在4, 0 内的“倒域区间”．
CCCBACBA9ABC10AC11ABD12 (1, 2) .13
  52 , 6 
3

14b  a  c
15【小问 1 详解】
由已知有 a 1  8  2a  4  a  7 ，故 a 的取值范围是4  a  7 ．
【小问 2 详解】
2a  0
由已知，集合 B  x x  0 ， A  B 非空，则2a  a 1，

解得 a  1 ，故 a 的取值范围 a  1 ．
16【小问 1 详解】
sin2 120  (
3 )2  3 , cs180  1 , tan 45  1.
24
cs(330 )  cs 330  cs(360  30 )  cs 30 3 ，
2
则cs2 (330 )  (
3 )2  3 .
24
sin(210 )  sin 210  sin(180  30 )  sin 30  1 .
2
然后将化简后的值代入原式计算：
sin2 120  cs180  tan 45  cs2 (330 )  sin(210 )  3 11 3  1  1 .
4422
【小问 2 详解】
根据sin(α π)  sinα， cs(α π)  csα，则 sinα 2 csα，即 tanα 2 .
然后将所求式子化为关于tanα的式子： 2 sinα csα 2 tanα1  2  2 1  3  1.
【小问 3 详解】
sinα csα
tanα12 13
根据对数换底公式lg
b  lgc b ，可得lg 7  lg 8  lg 3  lg 7  lg 8  lg 3  lg 8  3lg 2  3 .

c
alg a
237
lg 2 lg 3 lg 7lg 2lg 2
2lg 3224
根据指数运算法则可得2
2  .
2lg2 33
2
因为 lg1  0 ，所以(
1)lg1  (
1)0  1 .
2
根据lg 50  lg(510)  lg 5 1，则lg 2  lg 50  lg 2  (lg 5 1)  lg 2  lg 5  lg 2 .
根据(lg 5)2  lg 2  lg 5  lg 2  (lg 5  lg 2)  lg 5  lg 2 ，
又因为lg 5  lg 2  lg(5 2)  lg10  1，所以(lg 5)2  lg 2  lg 5  lg 2  lg 5  lg 2  1.
又因为lg100  lg102  2 .
然后将化简后的值代入，原式 3  4 11 2  9  4  3  3  6  25 .
333
17【小问 1 详解】
由每组小矩形的面积之和为 1，得0.05  0.1  0.2  10a  0.25  0.1  1 ，解得 a  0.030 ，
成绩在[40,80) 内的频率为0.05  0.1 0.2  0.3  0.65 ，在[40, 90) 内的频率为0.05  0.1 0.2  0.3  0.25  0.9 ，显然第 75 百分位数 m (80, 90) ，由0.65(m 80)0.025  0.75，解得 m  84 ，
所以第 75 百分位数为 84.
【小问 2 详解】
由 70  80  75 ，得样本成绩的众数为 75，
2
成绩落在[40,70)内的频率为0.05  0.1 0.2  0.35 ，
成绩落在[40,80) 内的频率为0.05  0.1 0.2  0.3  0.65 ，
故中位数在[70,80)内，由70 
0.5  0.35
0.65  0.35
10  75 ，得样本成绩的中位数为 75，
由45 0.05  55 0.1 65 0.2  75 0.3  85 0.25  95 0.1  74 .
得样本成绩的平均数为 74.
【小问 3 详解】
由频率分布直方图知，成绩在[50, 60) 的市民人数为100  0.1  10 ，成绩在[60, 70) 的市民人数为100  0.2  20 ，
所以 z  54 10  66  20  62 ， 30
10  20
总方差为 s2  110  7  (54  62)2   20  4  (66  62)2   37 .
18【小问 1 详解】
22π 
6
由题意可得 f  x  sin
x  cs
x  2 3 sin x cs x  cs 2x 
3 sin 2x
2 sin  2x   ，

令2x  π  kπk  Z ，解得 x   π  1 kπk  Z ，则对称中心为  π
kπ, 0 k  Z .
6122
 122
 1

【小问 2 详解】
 παπ 2 3
π 3
1223
由 f    2 sin α   
3
，则sin α   ，
3
6
3
1 sinα
2

3 
π 

由 5π α π ，则 7π α π  4π ，可得csα π   
 ，
所以sinα sin

3
α
π

π   sin α
π cs
π
 cs α
π sin
π


3
3 


3 
3


3 
3

 316 33 2  3
3  2    3  2 6.

【小问 3 详解】
f B π 
π 1
由  2 sin  2B  6   1，则sin  2B  6   2 ，

由0  B  π ，则 π  2B  π  7π ，解得2B  π  5π ，即 B  π ，
2666663
a
由正弦定理可得sin A
c
sin C
b
sin B
3
sin π
3
 2 ，则 a  2 sin A ， c  2 sin C ，
3
3
V ABC 的周长 a  b  c  2 sin A  2 sin C  2 sin A  2 sin  2π  A 
 3
 2 sin A  
2π cs A  cs 2π sin A  3sin A 

3
3 cs A 
 π  ，
3
2 sin 33

2 3 sin  A6 
3

0  A  π
2π  A  π
π π2π
π  3

sin A
由题意可得
，解得，则
2ππ623
A 
6
，所以
3
6 
2 ,1 ，
0  A 

32

故a  b  c3  3, 3 3 .
19【小问 1 详解】
当 x 4, 0 时，则x 0, 4 ，
由奇函数的定义可得 g  x  g x   (x)2  2 x  x2  2x ，
x2  2x, 0  x  4

所以 g  x  x2  2x, 4  x  0 .
【小问 2 详解】
当 x 0, 4 时，方程 g  x  mx  m ，即 x2  m  2 x  m  0 ，设 h  x  x2  m  2 x  m, 0  x  4 ，
h 0  m  0
3

h 4  16  4 m  2  m  0
由题意知Δ  (m  2)2  4m  0
，解得2
 4  m  0 ，
m  2
0  4
2
3
则实数 m 的取值范围为2 4, 0.
【小问 3 详解】
 
因为 g  x 在区间a, b 上的值域恰为 1 , 1  ，
 b a 
a  b
a  b

其中 a  b 且a  0, b  0 ，所以11 ，则，
由题意， 4  a  b  0 ，
 
ba
ab  0
而 g  x 在4, 1 上单调递减，在1, 0 上单调递增，
故当 x 4, 0 时， g(x)
min
 g 1  1，所以 1  1，
b
则4  b  1，所以4  a  b  1 ，
g a  a2  2a  1
a



则g b  b2  2b  1
b
4  a  b  1

a   15

，解得2，
b  1
 1
5 ,  
所以 g  x 在4, 0 内的“倒域区间”为
2
1 .
