安徽省2025_2026学年高一数学上学期10月联考试题含解析

这是一份安徽省2025_2026学年高一数学上学期10月联考试题含解析，共14页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径 0，本卷命题范围， 下列命题中为全称量词命题的是等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2.答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应
题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域
内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，一元二次函数、方程与不等式.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若全集 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据补集的运算直接求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：B.
2. 命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称量词命题与存在性量词命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称量词命题与存在性量词命题的关系得：
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命题“ ， ”的否定是“ ， ”.
故选：A.
3. 已知集合 ，则 M 的真子集个数为（ ）
A. 15 B. 16 C. 31 D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，求得 ，结合集合真子集个数的计算方法，即可求解.
【详解】因 集合 ，
所以真子集个数为 .
故选：C.
4. 若实数 a，b 满足 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质判断 AB；举例判断 C；根据基本不等式判断 D.
【详解】因为 ，所以 ， ，则 ， ，故 AB 错误；
取 ， ，满足 ，但 ，故 C 错误；
而 ，故 D 正确.
故选：D.
5. 已知集合 ， ，则满足 的实数 的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据包含关系分类讨论求解即可.
【详解】若 ，则 ，此时 ，不满足元素的互异性；
若 ，则 ，不成立；
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若 ，则 ，解得 或 （舍去），
当 时， ，不满足元素的互异性，
所以不存在实数 ，使得 .
故选：A.
6. 如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为 50m3，为了合理利用地形，
要求垃圾池靠墙一面的长为 5m，如果池底每平方米的造价为 200 元，池壁每平方米的造价为 180 元（不计
靠墙一面的造价），设垃圾池的高为 ，墙高 5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高 应为（ ）
A. B. 3 C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，再求各面面积，得出总造价，利用基本不等式求最值.
【详解】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为 ，长为 5m，高为 ，宽 ， ，
则总造价 ，
当且仅当 ，即 时取等号，且 ，
所以当垃圾池的高为 时，垃圾池总造价最低.
故选：C.
7. 若 x，y 是正实数，则 是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可.
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【详解】取 ， ，则 成立，但 ，即充分性不成立；
若 ，则 ，必要性成立.
故选：B
8. 若 ，且 ，则 a 的最大值为（ ）
A 2 B. C. 4 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据基本不等式可得 ，当且仅当 时等号成立，取 ，
，进而求解即可.
【详解】若 ， ，由 ，可得 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
取 ， ，
得 ，
所以 ，则 ，当且仅当 ， 时等号成立，
所以 的最大值为 8.
故选：D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列命题中为全称量词命题的是（ ）
A. 对 ， B. ，
C. 三角形至少有两个锐角 D. 有些实数的相反数是其本身
【答案】AC
【解析】
【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义判断各选项.
【详解】对于 A，命题表示任意的实数 ，都有 ，因此为全称量词命题；
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对于 B，命题表示存在实数 ，使得 ，因此为存在量词命题；
对于 C，命题表示所有的三角形至少有两个锐角，因此为全称量词命题；
对于 D，命题表示存在一些实数的相反数是其本身，因此为存在量词命题.
故选：AC.
10. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若 ，则 B.
C. D. 的最小值为 2
【答案】BC
【解析】
【分析】举例判断 A；利用不等式的性质判断 BC；根据基本不等式求解判断 D.
【详解】对于 A，当 时，满足 ，但 ，故 A 错误；
对于 B，当 时， ， ，
当 时， ，
当 时， ， ，故 B 正确；
对于 C，由 ，
所以 ，故 C 正确；
对于 D，由 ，
等号成立的条件是 ，即 ， ，这显然不成立，故 D 错误.
故选：BC.
11. 已知集合 ，则（ ）
A. 满足 的集合 Q 有 8 个
B. 满足 的集合 Q 有 8 个
C. 集合 P 的所有子集中的元素之和为 240
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D. 当非空集合 ，且对 ， 且 时，Q 有 12 个
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据子集的性质、并集的定义逐一判断即可.
【详解】对于 A，写出集合 的所有子集，在每个子集中添上元素 1，2，就是符合条件的 Q，有 8
个，A 正确；
对于 B，写出集合 的所有子集，在每个子集中添上元素 3，4，5 就是符合条件的 Q，有 4 个，B 错误；
对于 C，含有元素 的子集有 个，所以集合 P 的所有子集中的元素之和为
，C 正确；
对于 D，符合条件的 Q 有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
，共 12 个，D 正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 不等式 的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】移项通分，然后利用一元二次不等式的解法可得答案.
【详解】不等式 可化为 ，通分整理得 ，
等价于 ，
解得： ，故不等式 的解集为 .
故答案为： .
13. 若二次函数 的图象与 x 轴无交点，则实数 a 的取值范围是_____.
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【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的判别式进行求解即可.
【详解】因为函数 与 x 轴无交点，
所以 ，即 ，所以实数 a 的取值范围是 .
故答案为：
14. 若命题“存在正数 a，b，使得 ”是假命题，则实数 k 的最大值为______.
【答案】 ##0.5
【解析】
【分析】转化问题为 恒成立，进而根据基本不等式求解即可.
【详解】因为“存在正数 a，b，使得 ”是假命题，
所以“对任意正数 a，b， ”为真命题，
即 恒成立，
因为 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以实数 的最大值为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 用列举法表示下列集合：
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（1）小于 3 的自然数组成的集合；
（2）方程组 的解集；
（3）不等式 的解集.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】确定出集合中的元素，然后写出集合即可.
【小问 1 详解】
小于 3 的自然数有 ，集合表示为 .
【小问 2 详解】
解 ，得 ，集合表示为 .
【小问 3 详解】
由不等式 ，
当 时， ，不满足题意；
当 时， 恒成立，
由 ，得 ，即 ，解得 ，
所以原不等式的解集为 .
16. 已知集合 ， .
（1）若 ，求 ；
（2）若 是 的必要条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
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（2）
【解析】
【分析】（1）先求出集合 ，再根据并集的定义求解即可；
（2）由题意可得 ，进而根据包含关系求解即可.
【小问 1 详解】
由 ，
当 时， ，
所以 .
【小问 2 详解】
由（1）得 ， ，
因为 是 的必要条件，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
17. 已知 .
（1）比较 与 的大小；
（2）若 满足 ，求 的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用作差比较法，即可求解；
（2）根据题意，化简得到 ，结合基本不等式，即可求解.
【小问 1 详解】
由
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，
因为 ，可得 ，且 ，且 ，
所以 ，所以 .
【小问 2 详解】
因为 且满足 ，
所以 .
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 16.
18. 已知关于 的不等式 的解集构成集合 A，其中 .
（1）若 ，求 A；
（2）若 A 中有 4 个整数，求 a 的取值范围；
（3）若 ，解关于 x 的不等式 .
【答案】（1） 或
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可；
（2）根据含参一元二次不等式的解法分情况讨论求出集合 A，再结合 A 中有 4 个整数求解即可；
（3）由 可得 或 ，进而分情况讨论求解即可.
【小问 1 详解】
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当 时，不等式为 ，
即 ，所以 ，
所以 或 .
【小问 2 详解】
当 时，该不等式可化为 ，即 ，不满足题意；
当 时，该不等式可化为 ，
所以 ，则 或 ，
因为 ，所以 ， ， ，
若 A 中有 4 个整数，则这 4 个整数分别为 1，2， ， ，
则 ；
同理可得 时， 或 ，
因为 ，所以 ， ， ，
若 A 中有 4 个整数，则这 4 个整数分别为 1，2， ， ，
则 ，即 .
综上所述， 的取值范围是 .
【小问 3 详解】
因为 ， ，所以 ，解得 或 .
不等式 ，可化为 ，
该不等式等价于 ，
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当 时， ，该不等式等价于 ，
因为 ，则 ，
所以原不等式的解集为 ；
当 时， ， ，解不等式得 或 ，
所以原不等式的解集为 .
综上所述，当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
19. 已知 a，b，c 均为实数，集合 ，集合
.
（1）若 A 中只有 1 个元素，写出 a，b，c 满足的条件（只需写出三种情况）；
（2）若 ， ， .
（i）求 A，B；
（ii）若集合 C 满足对 ，恒有 ，且对 ，恒有 ，判断命题“对
， ”的真假，并给出证明.
【答案】（1）答案见解析
（2）（i） ， ；（ii）真，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，分 和 两种情况讨论求解即可；
（2）（i）根据题设可得 ，求出 ，即可求解；
（ii）根据题设定义求证即可.
【小问 1 详解】
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由题意，A 中只有 1 个元素，有以下 2 种情况：
①当 时，方程 没有实根，则集合 中只有 1 个元素，
所以 或 ；
②当 时，方程 有实根 ，则 或 ，
所以 或 或 或 ，
即 或 或 或 .
综上所述， 或 或 或 或 或 .
【小问 2 详解】
（ⅰ）当 时， ，
因 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，
由 ，得 ，
所以 ，
.
（ⅱ）命题“对 ， ”为真，证明如下：
由 ， ，得 ，
由 ， ，得 ，
由 ，得 ，
由 ， ，得 ，
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由 ， ，可得 ，可得对 ，都有 .
由 ， ，得 ，
由 ，得 ，
由 ， ，得 ，
由 ， ，可得 ，可得对 ，都有 ，
所以对 ，都有 .
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