第15章 轴对称图形与等腰三角形【章末复习】-2025-2026学年2024沪科版数学八年级上册教学课件

第 15 章 轴对称图形与等腰三角形 章末复习幻灯片 1：封面标题：第 15 章 轴对称图形与等腰三角形 章末复习副标题：构建知识网络，突破综合题型 —— 轴对称与等腰三角形全攻略配图：包含 “本章知识框架图”“轴对称与等腰三角形核心关联图”“典型综合题型示意图” 的组合图署名：授课教师：XXX 日期：2025 年 9 月幻灯片 2：知识框架总览（构建体系）一、本章知识脉络 二、核心知识定位基础层：轴对称图形的定义、等腰三角形的定义是后续学习的前提；关键层：线段垂直平分线、角平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定是核心工具；关联层：轴对称图形的性质（如垂直平分线、角平分线）与等腰三角形的性质（如三线合一）相互支撑，形成闭环。幻灯片 3：核心知识点 1—— 轴对称图形（基础回顾）一、轴对称图形与两个图形成轴对称对比维度轴对称图形（单个图形）两个图形成轴对称（两个图形）核心特征沿一条直线折叠，自身两部分完全重合沿一条直线折叠，两个图形完全重合对称轴作用划分图形的对称部分连接两个图形的对称关系内在联系沿对称轴分割成两部分，这两部分成轴对称将两个图形看作整体，整体是轴对称图形示例等腰三角形、正方形、圆镜子中的人像与真实人像、折叠后的剪纸两部分二、线段垂直平分线与角平分线（轴对称的核心工具）1. 线段垂直平分线性质定理判定定理作图依据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上到线段两端点距离相等的点确定垂直平分线（两弧交点）应用：证线段相等、确定对称点应用：定对称轴、证直线为垂直平分线步骤：两弧（大于 1/2 线段长）交点连线2. 角平分线性质定理判定定理作图依据角平分线上的点到角两边距离相等到角两边距离相等的点在角平分线上到角两边距离相等的点确定角平分线（两弧交点）应用：证线段相等、求距离应用：定角平分线、证点在角平分线上步骤：顶点弧→交点弧→射线连接三、平面直角坐标系中的轴对称对称轴点 P (x, y) 的对称点 P' 坐标有两个角相等的三角形是等腰三角形已知角的关系，证边相等、判定等腰三线合一逆用若三角形中一条线段既是中线又是高（或角平分线），则为等腰三角形已知线段特殊关系，判定等腰垂直平分线应用若点在另两边垂直平分线上，则两边相等，为等腰三角形结合作图或坐标，判定等腰三、特殊等腰三角形 —— 含 30° 角的直角三角形与等边三角形1. 含 30° 角的直角三角形性质（正向）逆用（反向）应用场景30° 角所对的直角边等于斜边的一半直角边等于斜边一半→该直角边所对锐角为 30°线段长度计算、角度判定、实际测量（如测高）示例：∠A=30°，∠C=90°→BC=½AB示例：BC=½AB，∠C=90°→∠A=30°结合等腰、等边三角形解决综合问题2. 等边三角形（特殊等腰三角形）性质判定与轴对称的关联三边相等，三角均为 60°；三条三线合一三边相等；三角均为 60°；有一个角为 60° 的等腰三角形有 3 条对称轴（三条边的垂直平分线）应用：角度计算、线段相等证明应用：判定特殊三角形、构造对称图形对称轴交点为中心，具有高度对称性幻灯片 5：核心关联 —— 轴对称与等腰三角形的内在联系一、轴对称是等腰三角形的本质属性等腰三角形的对称轴：等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线，同时也是顶角的平分线、底边的高（三线合一），这一属性源于轴对称图形的 “折叠重合” 特征；等腰三角形的性质推导：“等边对等角”：沿对称轴折叠，两腰重合→两底角重合→角相等；“三线合一”：沿对称轴折叠，顶角平分线、底边中线、底边高重合→三线合一。二、等腰三角形是轴对称的重要载体线段垂直平分线的应用：等腰三角形的底边垂直平分线是对称轴，利用垂直平分线性质可证腰相等、底角相等；角平分线的应用：等腰三角形的顶角平分线是对称轴，利用角平分线性质可证底边高与中线重合；作图与对称：作等腰三角形时，可先作底边的垂直平分线，再在对称轴上取点确定顶点，确保对称性。三、典型关联题型示例例题：如图，在等腰△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的高，求证：AD 是△ABC 的对称轴，且 BD=CD，∠BAD=∠CAD。证明：∵ AB=AC，AD 是 BC 边上的高（已知），∴ AD 是 BC 边上的中线且 AD 平分∠BAC（等腰三角形三线合一），即 BD=CD，∠BAD=∠CAD；沿 AD 折叠，点 B 与点 C 重合，点 AB 与 AC 重合，∴ △ABD 与△ACD 完全重合，∴ AD 是△ABC 的对称轴（轴对称图形定义）。幻灯片 6：典型题型突破（综合应用）题型 1：轴对称图形的识别与作图例题 1：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标为 A (1, 2)、B (3, 1)、C (2, 4)，（1）判断△ABC 是否为轴对称图形，若是，求出对称轴；（2）作出△ABC 关于 y 轴的对称图形△A'B'C'，并写出顶点坐标。解析：（1）计算各边中点与斜率：AB 中点 (2, 1.5)，AB 斜率为 (1-2)/(3-1)=-0.5，故 AB 垂直平分线斜率为 2，方程为 y-1.5=2 (x-2)；验证 C (2,4) 是否在该直线上：4-1.5=2.5，2 (2-2)=0，2.5≠0，故 AB 不是对称轴；同理验证 AC、BC 的垂直平分线，发现无对称轴，故△ABC 不是轴对称图形；（2）对称点坐标：A'(-1, 2)，B'( -3, 1)，C'( -2, 4)，描点连线得△A'B'C'。题型 2：等腰三角形的性质与判定综合例题 2：如图，在△ABC 中，∠B=∠C，点 D、E 在 BC 上，BD=CE，求证：△ADE 是等腰三角形。证明：∵ ∠B=∠C（已知），∴ AB=AC（等角对等边），即△ABC 是等腰三角形；在△ABD 和△ACE 中：\(\begin{cases} AB=AC（已证）， \\ ∠B=∠C（已知）， \\ BD=CE（已知）， \end{cases}\)∴ △ABD≌△ACE（SAS）；∴ AD=AE（全等三角形对应边相等），∴ △ADE 是等腰三角形（等腰三角形定义）。题型 3：含 30° 角的直角三角形的实际应用例题 3：如图，某小区有一棵倾斜的大树，树干与地面成 30° 角，树干底部距离房屋窗户底部 B 点的水平距离 BC=6 米，窗户底部 B 点到地面的高度 AB=3 米，若大树顶端 D 恰好接触到窗户顶部 A，求大树的长度 AD。解析：作 DE⊥地面于 E，由树干与地面成 30° 角，得∠DCE=30°；四边形 ABCE 是矩形，故 AE=BC=6 米，DE=AB=3 米；在 Rt△CDE 中，∠DCE=30°，DE=3 米，故 CD=2DE=6 米（含 30° 角的直角三角形性质）；大树长度 AD=AE + CD=6 + 6=12 米？（修正：实际图形中 AD 为斜边，需重新分析，正确应为：在 Rt△ADE 中，∠DAE=30°，DE=3 米，故 AD=2DE=6 米）；答案：AD=6 米。幻灯片 7：中考真题分类演练（实战提升）一、基础选择题题目 1（2024・江苏中考）：下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. 等腰三角形 B. 正方形 C. 角 D. 平行四边形解析：A：是轴对称图形，不是中心对称图形；B：既是轴对称图形（4 条对称轴），又是中心对称图形；C：是轴对称图形，不是中心对称图形；D：不是轴对称图形（非特殊），是中心对称图形；答案：B。二、中档证明题题目 2（2024・浙江中考）：如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 平分∠BAC，交 BC 于 D，E 是 AD 延长线上一点，且 BE=CE，求证：△ABE≌△ACE。证明过程：证明：1. ∵ AB=AC，AD平分∠BAC（已知）， ∴ BD=CD，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）， 即AD是BC的垂直平分线；2. ∵ E是AD延长线上一点，BE=CE（已知）， ∴ E在BC的垂直平分线上（线段垂直平分线判定）；3. 在△ABE和△ACE中： $\begin{cases} AB=AC（已知）， \\ BE=CE（已知）， \\ AE=AE（公共边）， \end{cases}$ ∴ △ABE≌△ACE（SSS）。三、压轴综合题题目 3（2024・广东中考）：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，点 D 是 AC 的中点，点 E 在 AB 上，且 DE⊥AB，求△BDE 的面积。解析：由含 30° 角的直角三角形性质得：AB=2BC=4，AC=√3BC=2√3；D 是 AC 中点，故 AD=√3；在 Rt△ADE 中，∠A=30°，AD=√3，故 DE=½AD=√3/2，AE=√3DE=3/2；BE=AB - AE=4 - 3/2=5/2；△BDE 的面积 =½×BE×DE=½×(5/2)×(√3/2)=5√3/8；答案：5√3/8。幻灯片 8：易错点总结与解题技巧一、常见易错点概念混淆：混淆 “轴对称图形” 与 “两个图形成轴对称”（前者是单个图形，后者是两个图形）；混淆 “线段垂直平分线” 与 “角平分线” 的性质（前者是到线段两端点距离相等，后者是到角两边距离相等）。性质应用错误：等腰三角形 “三线合一” 误用（仅适用于底边的三线，腰上的三线不重合）；含 30° 角的直角三角形性质误用（非直角三角形中，30° 角对边与斜边无 1:2 关系）。作图规范问题：线段垂直平分线作图时，半径小于 1/2 线段长（导致两弧无交点）；角平分线作图时，第二次画弧半径与第一次不同（导致交点到角两边距离不等）。二、实用解题技巧“标记法” 分析图形：在图形中标注相等的边、角及对称轴，直观识别对称关系与等腰特征；“逆向推导法”：从求证结论出发，反向思考需用到的性质或判定（如证线段相等，优先考虑等腰性质、垂直平分线性质）；“分类讨论法”：等腰三角形问题中，未明确顶角与底角、腰与底边时，需分类讨论（如已知等腰三角形两边长为 3 和 5，求周长）；“辅助线添加法”：等腰三角形：遇底边问题，添加底边的高（触发三线合一）；轴对称问题：遇不对称图形，添加对称轴或对称点（构造轴对称图形）。幻灯片 9：本章复习总结与备考建议一、知识总结核心脉络：轴对称图形（定义→性质→工具：垂直平分线、角平分线）→等腰三角形（定义→性质→判定→特殊类型），层层递进，相互关联；关键工具：线段垂直平分线与角平分线是连接轴对称与等腰三角形的桥梁，需熟练掌握其性质【2024新教材】沪科版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫作轴对称图形，这条直线叫作它的对称轴.2.轴对称：平面内两个图形在一条直线的两旁，如果沿这条直线折叠，这两个图形重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴.一、轴对称图形与轴对称新课导入3. 轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形轴对称 区别联系图形 轴对称图形是指( )个具有特殊形状的图形，只对( ) 个图形而言轴对称是指( )个全等图形的位置关系，必须涉及( )个图形如果把轴对称图形沿对称轴 分成两部分，那么这两个图形 就关于这条直线成轴对称如果把两个成轴对称的图形 看成一个整体，那么整个图形就是一个轴对称图形一一两两新课导入4. 轴对称的性质：① 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；② 反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.新课导入1. 线段中垂线的性质定理： 线段垂直平分线上的点和线段两端的距离相等.2. 逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.二、线段的中垂线新课导入1. 定理①： 等腰三角形的两个底角相等.（等边对等角）2.性质②： 等腰三角形的顶角的平分线垂直平分底边. （三线合一）. 推论： 等边三角形的三个角相等，每个内角都等于 60°.三、等腰（边）三角形新课导入3.等腰(边)三角形的判定及含 30° 角的直角三角形的性质：判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边).推论①：三个角都相等的三角形是等边三角形.推论②：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半.新课导入1. 性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等.2. 判定定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.四、角平分线的性质与判定新课导入例1 如图，△ABC 和△A′B′C′ 关于直线 MN 对称，△A″B″C″ 和△A′B′C′ 关于直线 EF 对称.(1) 画直线 EF;(2) 直线 MN 与 EF 相交于点 O，试探究∠BOB″ 与直线 MN，EF 所夹锐角 α 的数量关系.【分析】连接△A′B′C′ 和△A″B″C″中的任意一对对应点，作所得线段的垂直平分线即为直线 EF，根据轴对称的性质可求角的数量关系.考点一 轴对称图形与轴对称新课讲解ABCA′B′C′A″B″C″解：（1）如图，连接 B′B″，作线段 B′B″ 的垂直平分线EF，则直线 EF 是△A′B′C′ 和△A″B″C″ 的对称轴；（2）连接 B″O，B′O，BO.因为 △ABC 和△A′B′C′ 关于直线 MN 对称，所以∠BOM =∠B′OM.因为△A″B″C″ 和△A′B′C′ 关于直线 EF 对称，所以∠B′OE =∠B″OE.所以∠BOB″ = 2(∠B′OM + ∠B′OE) = 2α.MN新课讲解 轴对称和轴对称图形的概念是本章的重点，通过观察日常生活中的轴对称现象，理解轴对称图形和轴对称的概念的区别与联系；学习轴对称变换，不但要会画一个图形关于某直线的对称图形，还要会进行简单的图案设计，利用轴对称作图确定最短路线等.方法归纳1.下面的图形是轴对称图形吗? 如果是，你能指出它的对称轴吗?新课讲解2. 如图所示，作出△ABC 关于直线 l 的对称图形．解：△A′B′C′ 就是所求作的图形.l新课讲解例2 如图，AD 是 BC 的垂直平分线，点 C 在 AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB + BD 与 DE 有什么关系？【分析】运用线段的垂直平分线的性质进行线段之间的转化即可.解：∵ AD 是 BC 的垂直平分线， ∴ AB = AC，BD = CD.∵ 点 C 在 AE 的垂直平分线上，∴ AC = CE，∴AB = AC = CE.∴ AB + BD = DE.考点二 线段的垂直平分线新课讲解3.如图，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AC = 5 cm，△ABD 的周长等于 13 cm，则△ABC 的周长是 cm.18 对于求线段之间的数量关系、图形周长的和差关系等问题可以用线段的垂直平分线的性质来简化，部分题目可以结合等腰三角形的“三线合一”来思考.针对训练新课讲解例3 如图所示，在△ABC中，AB = AC，BD⊥AC 于 D.求证： ∠BAC = 2∠DBC.【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角∠BAC 的平分线，来获取角的数量关系.考点三 等腰（等边）三角形的性质与判定新课讲解∵ AB = AC，∴ AE⊥BC.∴∠2 +∠C = 90°.∵ BD⊥AC，∴∠DBC +∠C = 90°.∴∠2 =∠DBC.∴∠BAC = 2∠DBC.新课讲解 在涉及等腰三角形的有关计算和证明中，常见的辅助线的作法是作顶角的平分线(或底边上的高、中线)，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质，实现线段或角之间的相互转化.方法归纳4. 如图，△ABC 中，∠A = 36°，AB = AC，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，则图中的等腰三角形共有 个.35. 如图，已知等边△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、BC 上，把△BDE 沿直线 DE 翻折，使点 B 落在 B1 处，DB1，EB1 分别交边 AC 于 M、H 点. 若∠ADM = 50°，则∠HEC 的度数为 .70°新课讲解分析：由角平分线的性质易想到过点 P 向∠ABC 的两边作垂线段 PE、PF，构造角平分线模型.例4 如图，∠1 =∠2，点 P 为 BN 上的一点，∠PCB + ∠BAP = 180°.求证：PA = PC.考点四 角平分线的性质与判定新课讲解证明：过点 P 作 PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为 E，F.又∵∠1 =∠2，∴ PE = PF，∠PEA =∠PFC = 90°.∵∠PCB + ∠BAP = 180°，∠BAP +∠EAP = 180°，∴∠EAP = ∠PCB.在△APE 和△CPF 中，∴△APE≌△CPF (AAS).∴ AP = CP.新课讲解证法2 思路分析：由角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在的直线，所以可想到构造轴对称图形. 方法是在 BC 上截取 BD = BA，连接 PD (如图).则有△PAB≌△PDB，再证△PDC 是等腰三角形即可获证.B证明过程请同学们自行完成！【归纳拓展】角的平分线的性质是证明线段相等的常用方法.应用时可依托全等三角形发挥作用.作辅助线有两种思路，一种作垂线段构造角平分线模型；另一种是构造轴对称图形.新课讲解6. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E，F， DE = DF， ∠EDB = 60°，则 ∠EBF = °，BE = .60BF7.△ABC中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，且 BC = 8，BD = 5，则点 D 到 AB 的距离是 .3E第6题图第7题图课堂练习8. 如图所示，已知△ABC 中，PE∥AB 交 BC 于点 E，PF∥AC 交 BC 于点 F，点 P 是 AD 上一点，且点 D 到 PE 的距离与到 PF 的距离相等，判断 AD 是否平分∠BAC，并说明理由．解：AD 平分∠BAC．理由如下：∵D 到 PE 的距离与到 PF 的距离相等，∴点 D 在∠EPF 的平分线上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4. ∴ AD 平分∠BAC．P 课堂练习         返回13.（1） 【观察与发现】       返回线段的垂直平分线轴对称角平分线等腰三角形轴对称图形线段角性质及判定课堂小结等腰三角形等腰三角形的判定：等角对等边.等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半.课堂小结必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！