北京市大兴区高二下学期期中检测数学试卷（解析版）-A4

这是一份北京市大兴区高二下学期期中检测数学试卷（解析版）-A4，共16页。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 若，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数定义计算求解.
【详解】因为，则.
故选：D.
2. 已知等比数列满足，，则（ ）
A. B. C. 8D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】由等比数列性质得到，相乘得到答案.
【详解】由等比数列性质可得，
又，故，所以，
所以.
故选：C
3. 已知数列满足，，则（ ）
A. 5B. 10C. 11D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】应用递推公式计算求解.
【详解】因为数列满足，，
，
则.
故选：B.
4. 若函数的导函数的图象如图所示，则的极小值点是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据极值点的定义即可结合导函数的图象求解.
【详解】根据极小值点的定义可知，极小值点导数左负右正，故只有当时，函数取得极小值，故极小值点为2.
故选：D
5. 已知数列的前项和，则是（ ）
A. 公差为2的等差数列B. 公差为3的等差数列
C. 公比为2的等比数列D. 公比为3的等比数列
【答案】A
【解析】
【分析】根据数列的第项与前项和的关系，结合等差数列的定义进行求解即可.
【详解】因为，
所以当时，有，
，得，
当时，适合上式，
因为，
所以该数列是以2为公差的等差数列，
故选：A
6. 设为等比数列，则“存在，使得”是“为递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列递增性质及特殊数列结合必要不充分条件定义判断即可.
【详解】当“为递增数列”，则“，使得”，所以“存在，使得”是“为递增数列”的必要条件；
当，则，使得，但是“不为递增数列”，所以“存在，使得”是“为递增数列”的不充分条件；
故选：B.
7. 若函数有且仅有一个零点，则实数c的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求定义域，求导，得到函数单调性，结合函数走势，得到或，求出答案.
【详解】定义域为R，
，
令得或，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极大值，在处取得极小值，
且当趋向于时，趋向于，当趋向于时，趋向于，
要想函数有且仅有一个零点，需满足或，
即或，解得或
故选：D
8. 若，，，，是等差数列，1和3为此等差数列中两项，则的值不可能是（ ）
A. 4B. 0C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知等差数列的条件结合各个选项计算判断即可.
【详解】若，，，，是等差数列，分别取符合题意，A选项正确；
若，，，，是等差数列，分别取符合题意，B选项正确；
若，，，，是等差数列，分别取符合题意，C选项正确；
若，，，，是等差数列，，
因为是等差数列，且为数列中的项，则该数列为递减数列，设公差为，
设，其中且，
则，，
两式相除得，经检验，此方程在，上无解，
则不可能为，所以D选项不成立.
故选：D.
9. 设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，则当取得最小值时，t的值为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】求导，利用导数几何意义求出切线方程，从而求出与两坐标轴围成的三角形面积，求导，得到单调性和最值，得到答案.
【详解】，，，故，
故在点处的切线方程为，
令得，令得，
故，
，
令得，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值.
故选：A
10. 在下列不等式中，当时，关于x的不等式对任意的不能恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数根据导函数得出函数单调性计算判断A，B，C，应用特殊值计算判断D.
【详解】对于A：令单调递增，所以，所以A恒成立；
对于B：令，所以，所以恒成立，B选项恒成立；
对于C：令所以单调递增，所以，
所以，C选项恒成立；
对于D：取时，，D选项不能恒成立；
故选：D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 数列满足，且，则______.
【答案】5
【解析】
【分析】利用题中数列的递推公式依次代入求解即可.
【详解】因为，且，所以
当时，，
当时，，
当时，
故答案为：5
12. 将原油精炼为汽油、柴油等各种产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第时，原油的温度（单位：℃）为，则第时，原油温度的瞬时变化率为______℃/，此原油温度瞬时变化率的意义是______.
【答案】 ①. ②. 在第附近，原油温度大约以℃/的速率下降.
【解析】
【分析】这道题考查的是瞬时变化率的求法以及其几何意义.
【详解】自变量从变到的过程中，，
则该函数的平均变化率为，
当趋于时，平均变化率趋于，则在第时，原油温度的瞬时变化率为℃/，
即在第附近，原油温度大约以℃/的速率下降.
故答案为：；在第附近，原油温度大约以℃/的速率下降.
13. 已知是公比不为1的等比数列，将调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组的值依次为______（用数字作答）.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的通项公式表示各项，调整顺序后借助等差中项的概念建立等量关系求得的值，令可得结果.
【详解】设等比数列的公比为，则等比数列为，
不妨设调整顺序后的等差数列为，则，
∵，∴，解得或（舍），
令，则，，
∴满足条件一组的值依次为.
故答案为：（答案不唯一）.
14. 已知函数.当时，______；若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据导数得除法运算即可求出第一空；设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.
【详解】当时，，
则，
由，
得，
设切点为，则，切线斜率,
切线方程为，
因为切线过原点，
所以，
整理得：，
因切线有两条，
所以，解得或，
所以的取值范围是.
故答案为：；.
15. 已知函数数列满足，当时，..给出下列四个结论：
①若，则；
②若，则可能有4个不同的取值；
③对于任意的，不一定存在正整数m，使得，；
④对于任意的正整数，一定存在实数，使得，.
其中所有正确结论的序号是______.
【答案】①③④
【解析】
【分析】由已知得，若，分别对分类讨论即可判断②；若，求得即可判断①；③当时，计算可判断；④，进而可得，可判断．
【详解】①若，则
，所以，①正确；
②，所以，若，
当时，，解得．
当时，则，解得，当时，则，解得；
当时，，解得，当时，则，解得，当时，则，解得（舍去）；
综上可得：可以取3个不同的值：4，，．因此②错误．
③当时，，，，
所以不存在正整数，，故③正确．
④先考虑数列的周期性，
对于，则，，
，，，要使是周期数列，
则有，解得，
从而存在，使得数列是周期数列，周期为，
从而要使周期为，只需，即即可，
对于任意的正整数，一定存在实数，使得，，故④正确．
故答案为：①③④
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知函数.
（1）求在区间上的最值；
（2）在直角坐标系内，画出的大致图象；
（3）直接写出一个a值，使在区间上存在最大值.
【答案】（1）最小值0；最大值4
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用导数求出函数的极值点，以及求出函数在区间端点的函数值，比较大小即可得解.
（2）结合（1）中的单调性以及两个极值点，两个区间端点，用光滑的曲线连接，即可得出的大致图象；
（3）结合（1）和（2）的图象即可取得满足题意的a值.
【小问1详解】
由得.
由解得或.
与在区间上的情况如下：
由以上表格可知，当时，取得极小值；又，
所以的最小值为0，最大值为4.
【小问2详解】
令，即，解得或，
所以函数图象过点，；
由（1）知，函数图象过点，，且在上单调递减，
在和上单调递增，且x轴下方有图象.
【小问3详解】
结合图象可取
17. 已知等差数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和的最大值；
（3）若等比数列满足，，问：是否存在最大值与最小值？说明理由.
【答案】（1）
（2）25 （3）存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由等差数列的通项公式可求得，，从而得到结果；
（2）利用等差数列前项和公式得到，由二次函数单调性易得的最大值；
（3）先求出等比数列的通项公式，然后分奇偶项讨论单调性即得结果.
【小问1详解】
设等差数列的公差为d，
由题意知
解得，.所以的通项公式为.
【小问2详解】
的前n项和.
所以当时，取得最大值.
【小问3详解】
由（1）知，，，
因为等比数列满足，，所以，.
所以等比数列的公比为，.所以.
所以，.
故当时，取得最小值.当时，取得最大值.
18. 已知无穷数列满足，，令.
（1）求，的值；
（2）证明：数列是等比数列，写出数列的通项公式；
（3）记数列的前n项和为，求，并判断数列：，，，…，，…的单调性.
【答案】（1）2，4 （2）证明见解析，
（3），数列：，，，…，，…是递增数列.
【解析】
【分析】(1)利用递推思想，由去求出即可；
(2)利用等比数列的递推思想去证明等比数列，然后利用等比数列公式求通项即可；
(3)利用等比数列求和公式求和，再利用递推思想证明数列单调性即可.
【小问1详解】
因为，，，
所以，.
【小问2详解】
因为，所以.
由(1)知，所以是以2为首项，2为公比的等比数列.
所以的通项公式为.
【小问3详解】
由(2)知，.所以.
故数列的通项公式为.
数列的前n项和
.
因为当时，，
所以数列：，，，…，，…是递增数列.
19. 已知函数.
（1）若，求a的值；
（2）设，讨论函数的极值点个数；
（3）若在区间上存在极值，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；
（2）答案见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）求出导数，利用给定导数值求出.
（2）利用导数分类探讨函数的单调性，进而确定极值点个数.
（3）利用（2）的结论，列出不等式求解.
【小问1详解】
函数，求导得，
因为，所以.
【小问2详解】
由（1）知，令，而，则，
①当时，即，此时，则，
所以在上单调递增，无极值点；
②当时，即，有两个不等的实根，，
当或时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
因此是的极大值点，是的极小值点，
所以当时，没有极值点；当时，有2个极值点.
【小问3详解】
若在区间上存在极值，由（2）知，，解得，
所以a的取值范围是.
20. 已知函数.
（1）设曲线在点处的切线为.
（ⅰ）求切线的方程；
（ⅱ）证明：除切点外，曲线在切线的下方；
（2）设，令函数，求函数的单调区间.
【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
（2）单调减区间为和，无增区间.
【解析】
【分析】（1）（ⅰ）利用导数的几何意义求其切线方程即可；
（ⅱ）将问题转化为，利用导数研究函数单调性，结合最值即可证；
（2）求出，设，利用导数即可求出函数单调性.
【小问1详解】
（ⅰ）因为，所以，
所以，.所以切线l的方程是，
（ⅱ）因为，
令，则除切点之外，曲线在直线的下方等价于，
，
当时，，，所以，故单调递减；
当时，，，所以，故单调递增.
所以，
所以除切点之外，曲线在直线的下方.
【小问2详解】
由知，的定义域为，
所以，
设，则.
当时，，所以，故单调递增；
当时，，所以，故单调递减.
所以.
故对于，.
所以的单调减区间为和，无增区间.
21. 给定项数为的数列，若数列满足，则称数列具有性质，定义.
（1）判断数列1，2，4，6是否具有性质P，并说明理由；
（2）若数列具有性质，求证：为等差数列的必要不充分条件是为常数列；
（3）已知数列共有n项，各项互不相等，对于，，若具有性质，记，且，求的所有取值.
【答案】（1）具有性质，理由见解析
（2）证明见解析 （3）和
【解析】
【分析】（1）依据性质的定义判断；
（2）必要性结合等差数列的定义可证，不充分性，可举反例；
（3）当可结合否定，当、时举例；当时，列举的所有可能性，推出矛盾.
【小问1详解】
因为，所以数列1，2，4，6具有性质.
【小问2详解】
先证必要性，
若是等差数列，设公差为，
则，所以为常数列，
所以“为常数列”是“为等差数列”的必要条件；
再证不充分性，
若是常数列，设，
则当时，摆动数列：，，，，…，具有性质，
且，故，，，，…，不是等差数列，
所以“为常数列”不是“为等差数列”的充分条件，
因此，为等差数列的必要不充分条件是为常数列.
【小问3详解】
当时，因为，
所以，不符合；
当时，数列：3，2，4，1，
此时，符合；
当时，数列：2，3，4，5，1，
此时，符合；
以下证当时，不存在满足题意的，
因为，且数列具有性质，
所以，且，
所以有以下三种可能：
①②③
当时，
因为，且数列各项互不相等，
所以，，…，是公差为1（或）的等差数列，
当公差为1时，由，得或，
或与已知矛盾，
当公差为时，同理得出与已知矛盾；
所以当时，不存在n满足题意.
其他情况同理，不存在n满足题意.
综上，n的所有取值为4和.
x
0
1
-
+
4
单调递减
0
单调递增
4