2025-2026学年天津市第一百中学、咸水沽第一中学高二上学期11月期中联合考试数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年天津市第一百中学、咸水沽第一中学高二上学期11月期中联合考试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线x+ 3y−1=0的倾斜角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
2.双曲线C:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，则其渐近线方程( )
A. y=± 33xB. y=± 3xC. y=± 32xD. y=± 63x
3.设x，y∈R，向量a=(x,1,1)，向量b=(1,y,1)，c=(3,−6,3)，且a⊥c，b//c，则2a+b=( )
A. 10B. 3C. 4D. 3 2
4.设m∈R，则“m=0”是“直线l1：x+m2y+6=0与直线l2：(m−2)x+3my+2m=0平行”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5.与椭圆x212+y216=1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( )
A. y23−x2=1B. y2−x23=1C. 34x2−38y2=1D. 34y2−38x2=1
6.过椭圆C：x216+y29=1的中心作直线l交椭圆于M，T两点，F1是椭圆的左焦点，则▵MF1T周长的最小值是( )
A. 17B. 14C. 6+2 7D. 8+2 7
7.我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上．已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地距离(天宫空间站与地球距离的最小值)不变，远地距离(天宫空间站与地球距离的最大值)扩大为变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为( )
A. 13B. 2−12C. 3−12D. 3−13
8.已知椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，M为椭圆C上任意一点，P为曲线E：x2+y2−6x−8y+24=0上任意一点，则|MP|−MF1的最小值( )
A. 2 5−5B. 4 2−1C. 3 2−5D. 5−1
9.设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，双曲线C上的两点A,B关于原点对称，且满足FA⋅FB=0，|FB|0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.点P在双曲线右支上，直线PF2的斜率为3.若▵PF1F2是直角三角形，且面积为3，则双曲线的方程为 ．
15.已知圆x2+y2=8上两点Ax1,y1，Bx2,y2，O是坐标原点，∠AOB=120°，则x1+y1−5+x2+y2−5的最大值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
已知圆C经过点A(1,3)和B(2,4)，且圆心C在直线2x−y−1=0上，
(1)求圆C的标准方程；
(2)过点M(3,−1)作圆C的切线l，求直线l的方程；
(3)求直线y=3x−2被圆C所截得的弦长|MN|．
17.(本小题15分)
长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2 3，AA1=3，E、F分别为A1D1，C1B1中点，CG=2GC1．

(1)求证：GF⊥平面FBE；
(2)求直线AC1与直线BG所成角的余弦值；
(3)求三棱锥D−FBE的体积．
18.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，P,Q分别是AB，AC1的中点，平面B1BCC1⊥平面ABC，AC⊥BC，▵B1BC为等边三角形，CB=2CA=4．
(1)求证：PQ//平面BCC1B1；
(2)求平面BCC1B1与平面B1PQ的夹角的余弦值；
(3)求直线A1B与平面B1PQ所成角的正弦值．
19.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，已知过F1的直线l与椭圆交于M，N两点，且▵MNF2的周长为4 2，短轴长为2
(1)求椭圆C的方程；
(2)若在直线x=−2上存在一点P，使得▵MPN为等边三角形，求直线l的方程．
20.(本小题17分)
已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A，已知点P(a,c)，M(−1,0)，且▵PAM的面积为c2+12c．
(1)求椭圆的离心率；
(2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B(异于点A)，且PM平分∠AMB，求椭圆的方程．
参考答案
1.D
2.A
3.D
4.A
5.B
6.B
7.C
8.A
9.A
10.2x−y+5=0
11.3 2
12.−2或5
13.2 29
14.x22−y23=1
15.14
16.【详解】(1)∵A(1,3)和B(2,4)，
∴AB中点坐标为32,72，kAB=1，∴AB的垂直平分线的斜率为−1，
∴AB的垂直平分线方程为y−72=−x−32，即x+y−5=0，
联立x+y−5=02x−y−1=0，得x=2y=3,∴圆心为C(2,3)， 圆C的半径为r=|CA|=1，
故圆C的标准方程为(x−2)2+(y−3)2=1；
另解：设圆心C(a,2a−1)，
∵|CA|=|CB|，∴ (a−1)2+(2a−4)2= (a−2)2+(2a−5)2，∴a=2，
∴圆心C(2,3)，半径r=|CA|=1，
∴圆C的标准⽅程为(x−2)2+(y−3)2=1；
(2)当直线l斜率不存在时，直线l:x=3恰与圆C相切；
当直线l斜率存在时，设l:y+1=k(x−3)，即kx−y−3k−1=0
由圆心到直线kx−y−3k−1=0的距离d=|k+4| 1+k2=1，可得k=−158，
则l:y+1=−158(x−3)，即15x+8y−37=0，
综上所述，直线l的方程为x=3或15x+8y−37=0；
(3)圆心C(2,3)到直线3x−y−2=0的距离为d=1 10，
∴|MN|=2 r2−d2=2 12−1 102=3 105．

17.【详解】(1)因为F为B1C1中点，且CG=2GC1，
在直角▵C1FG中，可得FG2=C1G2+C1F2=12+( 3)2=4，
在直角▵BB1F中，可得BF2=BB12+B1F2=32+( 3)2=12，
在直角▵BCG中，可得BG2=BC2+CG2=(2 3)2+(2)2=16，
所以BG2=FG2+BF2，所以FG⊥BF，
在长方体ABCD−A1B1C1D1中，可得D1C1⊥平面BCC1B1，
因为GF⊂平面BCC1B1，所以D1C1⊥GF
又因为E,F分别为A1D1,B1C1的中点，可得EF//D1C1，所以EF⊥GF
因为FG⊂平面BCC1B1，所以EF⊥FG，
因为EF∩BF=F，且EF,BF⊂平面BEF，所以GF⊥平面BEF．
(2)以D为坐标原点，以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，因为AB=AD=2 3,AA1=3，

可得A(2 3,0,0),C1(0,2 3,3),B(2 3,2 3,0),G(0,2 3,2)，
则AC1=−2 3,2 3,3，BG=−2 3,0,2，
设直线AC1与直线BG所成角为θ，
则csθ=cs〈AC1,BG〉=AC1⋅BGAC1⋅|BG|=18 33×4=3 3322，
所以直线AC1与直线BG所成角的余弦值为3 3322．
(3)由(1)知：EF⊥平面BCC1B1，且FB⊂平面BCC1B1，所以EF⊥FB，
在直角▵BB1F中，BF= BB12+B1F2= 32+( 3)2=2 3，
可得S▵BEF=12EF⋅BF=12×2 3×2 3=6，
又由D(0,0,0),E( 3,0,3),F( 3,2 3,3),G(0,2 3,2)，
可得DE=( 3,0,3),FG=(− 3,0,−1)，
由(1)知：GF⊥平面BEF，所以平面BEF的一个法向量为FG=(− 3,0,−1)，
所以D到平面BEF的距离为d=DE⋅FGFG=62=3，
故三棱锥的体积为VD−BEF=13S▵BEF×d=13×6×3=6．

18.【详解】(1)证明：取BC中点H，因为▵B1BC为等边三角形，所以B1H⊥BC，
又因为平面B1BCC1⊥平面ABC，平面B1BCC1∩平面ABC=BC，B1H⊂平面B1BCC1，
所以B1H⊥平面ABC，又因为AC⊥BC，中位线HP//AC，所以HP⊥BC，
则以点H为原点，以HP，HC，HB1所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为CB=2CA=4，B1H=2 3，
所以可得H(0,0,0)，A(2,2,0)，C(0,2,0)，B(0,−2,0)，B10,0,2 3，C10,4,2 3，P(1,0,0)，Q1,3, 3，
向量PQ=0,3, 3，且平面BCC1B1的法向量为n1=(1,0,0)，
则PQ⋅n1=0，所以PQ⊥n1，又因为PQ⊄平面BCC1B1，
所以PQ//平面BCC1B1．
(2)由向量B1P=1,0,−2 3，PQ=0,3, 3，
设平面B1PQ的法向量为n2=(x,y,z)，
则n2⋅PQ=3y+ 3z=0n2⋅B1P=x−2 3z=0，令z= 3，得x=6,y=−1，
所以n2=6,−1, 3，又因为平面BCC1B1的法向量为n1=(1,0,0)，
所以cs〈n1,n2〉=n1⋅n2n1⋅n2=62 10=3 1010，
则平面BCC1B1与平面B1PQ的夹角的余弦值为3 1010．
(3)由A(2,2,0)，B(0,−2,0)，B10,0,2 3，
则向量BA1=BA+BB1=(2,4,0)+0,2,2 3=2,6,2 3，
平面B1PQ的法向量为n2=6,−1, 3，
设直线A1B与平面B1PQ所成角为θ，
则sinθ=cs〈BA1,n2〉=BA1⋅n2BA1⋅n2=122 13×2 10=3 130130 ，
即直线A1B与平面B1PQ所成角的正弦值为3 130130．

19.【详解】(1)依题意，4a=4 2且2b=2，解得a= 2,b=1，
所以椭圆方程为x22+y2=1．
(2)若▵MPN为等边三角形，则点P为MN的垂直平分线与直线x=−2的交点．
①当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x=−1，代入椭圆方程得12+y2=1，
解得y=± 22，此时|MN|= 2，
此时P(−2,0)，|PM|=|PN|= ± 222+12= 62≠|MN|，不满足题意；
②当直线l斜率为0时，显然不满足题意；
③当直线l斜率存在且不为0时，设直线l为y=k(x+1)，k≠0，
设直线l与椭圆交于不同的两点Mx1,y1，Nx2,y2，MN中点为H，
由方程组y=k(x+1)x22+y2=1，整理得2k2+1x2+4k2x+2k2−2=0，
则Δ>0，x1+x2=−4k22k2+1，x1x2=2k2−22k2+1，xH=x1+x22=−2k22k2+1，
所以|MN|= 1+k2x1−x2= 1+k2 x1+x22−4x1x2=2 2k2+12k2+1，
又直线PH的斜率为−1k，
所以|PH|= 1+1k2xP−xH= 1+1k2−2+2k22k2+1= 1+1k2⋅2k2+12k2+1，
因为三角形MPN为等边三角形，所以|PH|= 32|MN|，整理得k2=2，
即k=± 2，直线方程为y=± 2(x+1)

20.【详解】(1)由题意，A(a,0)，P(a,c)，M(−1,0)，▵PAM的面积为c2+12c，
则S▵PMA=12|AM||PA|=12×(a+1)×c=c2+12c，
即a=2c，所以椭圆的离心率为e=ca=12．
(2)由(1)知a=2c，则P(2c,c)，
而a2=4c2=4a2−b2，即3a2=4b2，则 3a=2b，则b= 32a= 3c，
则椭圆的方程为x24c2+y23c2=1，即3x2+4y2=12c2．
易知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=kx+m，则c=2ck+m，即m=(1−2k)c，
联立y=kx+m3x2+4y2=12c2，得3+4k2x2+8kmx+4m2−12c2=0，
因为直线与椭圆有唯一交点，所以Δ=(8km)2−43+4k24m2−12c2=0，
即m2=4k2+3c2，则4k2+3=(1−2k)2，解得k=−12，则m=2c，
所以xB=−8km23+4k2=c，yB=kxB+m=32c，即Bc,32c，kMB=32cc+1=32⋅cc+1，
所以直线MB的方程为y=3c2(c+1)(x+1)，即3cx−2(c+1)y+3c=0，
因为PM平分∠AMB，又点P到直线MA的距离为c，
则点P到直线MB的距离也为c，所以4c2+c 9c2+4(c+1)2=c，所以c2=1，
所以椭圆方程为x24+y23=1．