2025-2026学年四川省绵阳南山中学11月高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年四川省绵阳南山中学11月高二上学期期中考试数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x+ 3y−2=0的倾斜角α是( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
2.已知向量a→=(0,0,2)，b→=(1,−1,1)，则向量b→在向量a→上的投影向量为( )
A. (0,0,2)B. (0,0,1)C. (0,0,−1)D. (0,0,−2)
3.已知曲线C:x2+y2=12，从C上任一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为( )
A. x212+y23=1B. y212+x23=1C. x212+y26=1D. y212+x26=1
4.若直线l：2x−y+5=0与圆C：x2+y2−2mx+4my+5m2−5=0相切，则实数m的取值为( )
A. m=−52或m=0B. m=52或m=0C. m=0D. m=52
5.设点F1,F2为椭圆x25+y2=1的两个焦点，点P在此椭圆上，若PF1⋅PF2=0，则▵PF1F2的面积为( )
A. 52B. 2C. 1D. 12
6.已知直线l1:ax+3y−4=0与直线l2:2x+6y+1=0平行，直线l到l1的距离与l到l2的距离相等，则直线l的方程为( )
A. 4x+12y+7=0B. 3x+9y−5=0
C. 3x+9y+5=0D. 4x+12y−7=0
7.如图，等边三角形ABC中，AB=4，点D、E分别在边AB、边AC上，且AD=1，∠ADE=90°，将三角形ADE沿DE折起，将点A翻折至于点P处，使得平面PDE⊥平面BCED，则直线PB与CE所成角的正弦值为( )
A. 3 1020B. 31020C. −3 1020D. − 31020
8.已知点P是直线l:3x−4y+11=0上的动点，圆O:x2+y2=1关于直线x+y−1=0的对称圆记为圆O′，以PO′为直径的圆与圆O′交于A，B两点，则四边形APBO′的周长的最小值为( )
A. 2+2 3B. 2+2 2C. 2 3D. 2 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 直线y−y0=kx−x0 可以表示过点Px0 ,y0的所有直线
B. 直线mx+y+2m−1=0过定点(−2,1)
C. 平面直角坐标系内的所有直线都能用一般式方程表示
D. 经过点P(2,1)且斜率为 3的直线l的方程为 3x−y+ 3=0
10.在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中，点F1、F2分别为其左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A、B两点，则下列说法正确的是( )
A. 三角形F1AB的周长为定值
B. 若三角形F1AB为正三角形，则椭圆的离心率为 33
C. 坐标原点O可能是三角形F1AB的内心
D. 令t=ba，若存在∠F1AF2=90°，则t> 22
11.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=1，点P满足BP=λBC+μBB1，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则下列说法正确的是( )
A. 当λ+μ=1时，点P的轨迹为线段
B. 当λ=12时，有且仅有一个点P使得A1P⊥AP
C. 当μ=12时，三棱锥A1−PBC的体积为定值
D. 当λ=12时，有且仅有一个点P使得A1B⊥平面AB1P
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若椭圆x24+y2m=1(m>4)的离心率为12，则m= ．
13.已知a∈R，|a|≤6是直线l:x−2y=0与圆C:x2+(y+a2)2=5相交的 条件(填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”)
14.在平面直角坐标系中，点A在圆C：(x−1)2+(y+3)2=4上，点B在直线l：2x−y+4=0上，且OA⊥OB，则|OB||OA|的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知直线l1:2x−y+1=0，l2:x−2y+2=0，求下列直线l的一般方程：
(1)若直线l经过l1和l2的交点，且经过点P(1,0)；
(2)若直线l经过l1和l2的交点，且与直线l2垂直．
16.(本小题15分)
已知点A(0,−3)和点P3,32在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上
(1)求椭圆C的标准方程及离心率；
(2)若点B为直线x−2y+6=0与椭圆C的公共点，求▵ABP的面积．
17.(本小题15分)
在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=3，∠A1AB=∠A1AD=∠DAB=π3，点F、G分别为棱BB1、BC的中点，A1E=12EC，D1H=3HC，设AB=a，AD=b，AA1=c．
(1)用a，b，c表示EF并求出EF的值；
(2)求EF⋅GH的值．
18.(本小题17分)
如图，在正四棱锥P−ABCD中，所有棱长都相等，点E,F分别是棱PC,PB的中点，点G在棱AB上，且AG=λAB．
(1)若λ=12，证明：GF//平面BDE；
(2)若GF⊥BD，求λ的值；
(3)求平面BDE与平面PDG夹角余弦值的取值范围．
19.(本小题17分)
已知平面上两定点A(4,0)和B(1,0)，动点M满足|MA||MB|=2，记点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设点D在曲线C上运动，记点M为过D、B两点的弦的中点，若直线DB与直线l:x=32交于点N，证明：|BM|·|BN|恒为定值；
(3)若点P、Q在曲线C上，点S 2, 2满足直线PS、QS的斜率之积为−2，试问直线PQ是否过定点，若直线PQ过定点，求出该定点坐标；若直线PQ不过定点，请说明理由．
参考答案
1.D
2.B
3.A
4.A
5.C
6.D
7.B
8.A
9.BC
10.AB
11.ACD
12.163
13.必要不充分
14.45+2 55
15.【详解】(1)首先求直线l1和l2的交点，联立方程：2x−y+1=0x−2y+2=0,
解得x=0y=1，所以两直线交点坐标为(0,1)，已知直线l过点P(1,0)和点(0,1)，
则直线l的斜率k=1−00−1=−1，则直线l的方程为y−1=−1(x−0)，
即直线l的一般方程x+y−1=0．
(2)直线l2的方程为x−2y+2=0，化为斜截式得y=12x+1，
即斜率为：k2=12，与l2垂直的直线斜率k满足k×12=−1，
所以直线l的斜率为k=−2，直线l经过交点(0,1)，由点斜式得：
y−1=−2(x−0)，化为一般式为2x+y−1=0．

16.【详解】(1)因为点A(0,−3)和点P3,32在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，
所以02a2+(−3)2b2=132a2+322b2=1，解得a2=12b2=9，即a=2 3b=3，所以椭圆的方程为x212+y29=1；
所以c2=a2−b2=3，所以c= 3，所以椭圆C的离心率为e= 32 3=12；
(2)联立x−2y+6=0与椭圆x212+y29=1，消x得2y2−9y+9=0，
解得y=32或y=3，所以B−3,32或B(0,3)，
当B−3,32时，由点P3,32知直线BP方程为y=32，且|PB|=6，
点A(0,−3)到直线BP的距离为32+3=92，所以▵ABP的面积为12×6×92=272；
当B(0,3)时，由点A(0,−3)知直线AB方程为x=0，且|AB|=6，
点P3,32到直线AB的距离为3，所以▵ABP的面积为12×6×3=9；
综上，▵ABP的面积为272或9．

17.【详解】(1)因为点F为棱BB1的中点，所以BF=12BB1=12c，
由A1E=12EC得A1E=13A1C，所以AE⃗=AA1⃗+A1E⃗=c→+13A1C⃗
=c→+13A1A⃗+AB⃗+BC⃗=c→+13−c→+a→+b→=13a→+13b→+23c→，
又AF=AB+BF=a+12c，
所以EF=AF−AE=a+12c−13a+13b+23c=23a−13b−16c；
由题意a=b=2,c=3，∠A1AB=∠A1AD=∠DAB=π3，
所以a⋅b=2×2×12=2，a⋅c=2×3×12=3，b⋅c=2×3×12=3，
所以EF= 23a−13b−16c2= 49a2+19b2+136c2−49a⋅b−29a⋅c+19b⋅c
= 169+49+14−89−23+13= 52．
(2)因为点G为棱BC的中点，所以CG=−12BC=−12AD=−12b，
因为D1H=3HC，所以CH=14CD1=14CD+DD1=14−AB+AA1=−14a+14c，
所以GH=CH−CG=−14a+14c+12b，·
所以EF⋅GH=23a−13b−16c⋅−14a+14c+12b=−16a2−16b2−124c2+512a⋅b+524a⋅c−16b⋅c=−46−46−924+56+58−12=−34．

18.【详解】(1)当λ=12时，G是AB的中点，因F是PB的中点，则GF//PA，
连接AC，交BD于点O，连接OP,OE，
因四棱锥P−ABCD是正四棱锥，则OP⊥平面ABCD，且AC,BD互相垂直平分，
又E是PC的中点，则OE//PA，故GF//OE，
又GF⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，故GF//平面BDE．
(2)由(1)易得OA,OB,OP两两垂直，
故可以点O为坐标原点，分别以OA,OB,OP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．
设AB=4，则A(2 2,0,0),B(0,2 2,0),C(−2 2,0,0),D(0,−2 2,0),P(0,0,2 2)，
所以E(− 2,0, 2),F(0, 2, 2)，则BD=(0,−4 2,0)，AG=λAB=λ(−2 2,2 2,0)=(−2 2λ,2 2λ,0)，
则FG=AG−AF=(−2 2λ,2 2λ,0)−(−2 2, 2, 2)=(2 2−2 2λ,2 2λ− 2,− 2)
由GF⊥BD可得：
BD⋅FG=(2 2−2 2λ,2 2λ− 2,− 2)⋅(0,−4 2,0)=−4 2(2 2λ− 2)=0，解得λ=12．
(3)由上分析，BD=(0,−4 2,0),BE=(− 2,−2 2, 2)，
设平面BDE的法向量为m=(x,y,z)，则BD⋅m=−4 2y=0BE⋅m=− 2x−2 2y+ 2z=0，可取m=(1,0,1)；
又DG=DA+AG=(2 2,2 2,0)+(−2 2λ,2 2λ,0)=(2 2−2 2λ,2 2+2 2λ,0)，DP=(0,2 2,2 2)，
设平面PDG的法向量为n=(a,b,c)，则DP⋅n=2 2b+2 2c=0DG⋅n=2 2(1−λ)a+2 2(1+λ)b=0，可取n=(1+λ,λ−1,1−λ)
设平面BDE与平面PDG的夹角为θ，则csθ=|cs〈m,n〉|=|m⋅n||m||n|=2 2× (1+λ)2+(λ−1)2+(1−λ)2= 2 3(λ−13)2+83，
因λ∈[0,1]，则y=3(λ−13)2+83∈[83,4]，故可得csθ∈[ 22, 32]．
即平面BDE与平面PDG夹角余弦值的取值范围为[ 22, 32]．

19.【详解】(1)设M(x,y)，因为A(4,0)B(1,0)，|MA|=2|MB|，所以 (x−4)2+y2=2 (x−1)2+y2，
所以(x−4)2+y2=4(x−1)2+y2，化简可得x2+y2=4，
所以曲线C的方程为x2+y2=4．
(2)设直线DB为x=my+1，直线DB与曲线C交点为x1,y1,x2,y2，
联立x=my+1x2+y2=4
所以m2+1y2+2my−3=0，所以y1+y2=−2mm2+1，
D、B两点的弦的中点M的纵坐标为−mm2+1，
联立l:x=32与x=my+1，所以N的纵坐标为12m，
|BM|·|BN|= m2+1−mm2+1−0× m2+112m−0=12，
所以|BM|·|BN|恒为定值12；
(3)设直线PQ为x=ty+n，Px3,y3,Qx4,y4，
联立x=ty+nx2+y2=4,
所以t2+1y2+2nty+n2−4=0，
所以y3+y4=−2ntt2+1y3y4=n2−4t2+1,
又因为点S 2, 2满足直线PS、QS的斜率之积为−2，
所以y3− 2x3− 2×y4− 2x4− 2=−2，
所以y3− 2ty3+n− 2×y4− 2ty4+n− 2=−2，
所以y3− 2y4− 2=−2ty3+n− 2ty4+n− 2，
即得1+2t2y3y4+2nt−2 2t− 2y3+y4+2n2−2 2n+3=0，
化简得3n2+2 2nt−2t2−4 2n+2=0，
所以2n− 22− 2t−n2=0，
所以2n− 2− 2t−n=0或2n− 2+ 2t−n=0，
当2n− 2− 2t−n=0时，即n= 23+ 23t，直线PQ为x=ty+ 23+ 23t,x=ty+ 23+ 23，定点为 23,− 23；
当2n− 2+ 2t−n=0时，即n= 2+ 2t，
直线PQ为x=ty+ 2+ 2t,x=ty+ 2+ 2，定点为 2,− 2不满足直线PS、QS的斜率存在，不合题意舍；
当直线PQ为y=y0，Px3,y0,Q−x3,y0，直线PS、QS的斜率之积为−2，
所以y0− 2x3− 2×y0− 2−x3− 2=−2，所以y0− 22=−22−x32=−2−2+y02，
即得3y02−2 2y0−2=0，所以y0=− 23或y0= 2舍；
综上，直线PQ过定点 23,− 23；