5.4.3 同一个量的不同表示问题（课件）冀教版2025-2026学年七年级数学上册

幻灯片 1：封面标题：5.4.3 同一个量的不同表示问题幻灯片 2：学习目标理解 “同一个量的不同表示” 的含义，能识别问题中同一量的不同表达形式。掌握根据同一个量的不同表示建立等量关系列方程的方法。能运用该方法解决实际问题，提高分析和转化数量关系的能力。幻灯片 3：情境引入 —— 生活中的同一量不同表示展示场景：小明买了 3 支钢笔和 2 本笔记本，共花了 32 元。已知每本笔记本 5 元，每支钢笔多少元？（钢笔总价 + 笔记本总价 = 总花费，总花费可表示为 32 元，也可表示为钢笔总价与笔记本总价之和）一个长方形的周长是 40cm，长比宽多 5cm，求长方形的长和宽。（周长可表示为 40cm，也可表示为 2×(长 + 宽)）某班学生分组参加活动，若每组 6 人，则多 4 人；若每组 7 人，则少 3 人。该班有多少学生？（学生总数可表示为 6× 组数 + 4，也可表示为 7× 组数 - 3）提问：这些问题中都存在一个量可以用两种不同的方式表示，如何利用这种特点解决问题？引入：在实际问题中，常常会遇到同一个量可以通过不同的数量关系来表示的情况，利用这一特点建立等量关系是列方程解决问题的重要思路，本节课我们将学习如何解决这类问题。幻灯片 4：同一个量不同表示的核心思想概念：在一个问题中，存在某个关键量（如总价、总长度、总人数等），它可以通过两种不同的途径或数量关系用代数式表示出来，这两种表示形式所代表的是同一个量，因此它们相等，据此可建立方程。核心公式：量的第一种表示形式 = 量的第二种表示形式。关键步骤：确定问题中的关键量（即同一个量）；找到这个量的两种不同表示方法，分别用含未知数的代数式表示；根据 “两种表示形式相等” 列出方程。幻灯片 5：类型 1—— 经济问题中的同一量不同表示特征：涉及总价、单价、数量等，总价可通过不同商品的单价和数量表示，或通过总花费的不同构成表示。等量关系：总价的第一种表示 = 总价的第二种表示。例题 1：题目：某商店将一批苹果按原价提高 50% 后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每千克苹果仍获利 2 元。已知这批苹果的原价是每千克多少元？解答过程：设这批苹果的原价是每千克 x 元；关键量是每千克苹果的售价（也是成本 + 利润）；第一种表示：提高 50% 后标价为 (1 + 50%) x = 1.5x 元，8 折优惠卖出价为 1.5x×0.8 = 1.2x 元；第二种表示：获利 2 元，即售价 = 原价 + 2 = x + 2 元；等量关系：1.2x = x + 2；解方程：0.2x = 2 → x = 10；检验：原价 10 元，标价 15 元，8 折后 12 元，12 - 10 = 2 元，符合题意。答案：这批苹果的原价是每千克 10 元。幻灯片 6：类型 2—— 几何问题中的同一量不同表示特征：涉及几何图形的周长、面积、体积等，这些量可通过公式或边长、角度等关系用不同方式表示。等量关系：几何量的第一种表示 = 几何量的第二种表示。例题 2：题目：一个三角形的周长是 30cm，其中一条边是另一条边的 2 倍，第三条边比最短边长 5cm，求三角形三条边的长度。解答过程：设最短边的长度为 x cm，则另一条边为 2x cm，第三条边为 (x + 5) cm；关键量是三角形的周长；第一种表示：周长 = 30cm；第二种表示：周长 = x + 2x + (x + 5) = 4x + 5 cm；等量关系：4x + 5 = 30；解方程：4x = 25 → x = 6.25；三条边长度分别为 6.25cm、12.5cm、11.25cm；检验：6.25 + 12.5 + 11.25 = 30cm，符合题意，且满足三角形三边关系。答案：三角形三条边的长度分别为 6.25cm、12.5cm、11.25cm。幻灯片 7：类型 3—— 分配问题中的同一量不同表示特征：涉及人员分配、物品分配等，总人数或总物品数可通过不同的分配方案表示。等量关系：总数量的第一种表示 = 总数量的第二种表示。例题 3：题目：某班组织学生参加社会实践活动，若每辆车坐 4 人，则有 3 人没有座位；若每辆车坐 5 人，则刚好空出一辆车。问有多少辆车？多少名学生？解答过程：设共有 x 辆车；关键量是学生总人数；第一种表示：每车坐 4 人，3 人无座，总人数 = 4x + 3；第二种表示：每车坐 5 人，空出一辆车，即 (x - 1) 辆车坐满，总人数 = 5 (x - 1)；等量关系：4x + 3 = 5 (x - 1)；解方程：4x + 3 = 5x - 5 → x = 8；学生人数 = 4×8 + 3 = 35（名）；检验：8 辆车每车坐 4 人剩 3 人，共 35 人；每车坐 5 人需 7 辆车，35 人刚好，符合题意。答案：有 8 辆车，35 名学生。幻灯片 8：类型 4—— 浓度问题中的同一量不同表示特征：涉及溶液、溶质、浓度，溶质质量可通过溶液质量和浓度或稀释 / 浓缩前后的关系表示。等量关系：溶质质量的第一种表示 = 溶质质量的第二种表示。例题 4：题目：现有浓度为 20% 的盐水 500 克，要将其稀释成浓度为 10% 的盐水，需要加入多少克水？解答过程：设需要加入 x 克水；关键量是盐的质量（稀释前后盐的质量不变）；第一种表示：稀释前盐的质量 = 500×20% = 100 克；第二种表示：稀释后盐水总质量 = (500 + x) 克，盐的质量 = (500 + x)×10%；等量关系：(500 + x)×10% = 100；解方程：50 + 0.1x = 100 → 0.1x = 50 → x = 500；检验：加入 500 克水后盐水 1000 克，10% 的盐为 100 克，与原来盐质量相等，符合题意。答案：需要加入 500 克水。幻灯片 9：解决同一量不同表示问题的步骤第一步：审清题意：通读问题，明确问题中的已知条件和未知量，找出核心的 “同一个量”。第二步：设未知数：根据问题设合适的未知数（直接设或间接设），用含未知数的代数式表示相关量。第三步：找两种表示形式：针对确定的 “同一个量”，从不同角度或通过不同数量关系找到它的两种表达形式。第四步：列方程：根据 “两种表示形式相等” 建立一元一次方程。第五步：解方程：运用之前学过的方法解出方程的解。第六步：检验并作答：将解代入原问题，检验是否符合实际意义，最后写出答案。幻灯片 10：例题 5—— 综合应用问题题目：某书店推出优惠活动，购买图书不超过 100 元的按原价付款，超过 100 元的部分按 8 折付款。小明购买图书实际付款 180 元，他购买的图书原价是多少元？解答过程：设图书原价是 x 元；关键量是实际付款金额；因为 180 元 > 100 元，所以实际付款分两部分：100 元 + 超过 100 元部分的 8 折；第一种表示：实际付款 = 180 元；第二种表示：实际付款 = 100 + (x - 100)×0.8 = 100 + 0.8x - 80 = 0.8x + 20；等量关系：0.8x + 20 = 180；解方程：0.8x = 160 → x = 200；检验：原价 200 元，超过 100 元部分 100 元，8 折后 80 元，总付款 100 + 80 = 180 元，符合题意。答案：他购买的图书原价是 200 元。幻灯片 11：易错点提醒找不到关键量：无法识别问题中哪个量是可以用两种方式表示的同一个量，导致无法建立等量关系。表示形式错误：对同一个量的两种表示方法分析错误，例如在分配问题中，总人数的两种表示漏算或多算部分人数。忽略实际意义：解出方程后未检验解是否符合实际情况，例如几何问题中边长为负数，经济问题中价格为负数等。等量关系颠倒：错误地将两种表示形式的位置颠倒，但由于方程是等式，这通常不影响结果，但需注意逻辑合理性。单位不统一：在涉及不同单位的问题中，未统一单位就进行表示和计算，导致方程错误。幻灯片 12：巩固练习题目 1：某商品按定价的 8 折出售，仍能获得 20% 的利润，若该商品的进价为 100 元，求它的定价。（提示：售价可表示为定价 ×80%，也可表示为进价 ×(1 + 20%)）题目 2：一个长方形的长减少 5cm，宽增加 2cm 后变成正方形，且面积保持不变，求原长方形的长和宽。题目 3：某班同学去划船，若每条船坐 6 人，则少一条船；若每条船坐 8 人，则多一条船。问有多少条船？多少名同学？题目 4：有含盐 15% 的盐水 200 克，要使盐水含盐 20%，需要加盐多少克？（提示：加盐前后水的质量不变）解答：（学生解答后展示正确答案）题目 1 答案：设定价为 x 元，0.8x = 100×(1 + 20%) → x = 150 元。题目 2 答案：设正方形边长为 x cm，则原长 (x + 5) cm，原宽 (x - 2) cm，(x + 5)(x - 2) = x² → x = \(\frac{10}{3}\)，原长\(\frac{25}{3}\)cm，宽\(\frac{4}{3}\)cm。题目 3 答案：设船有 x 条，6 (x + 1) = 8 (x - 1) → x = 7，同学 48 名。题目 4 答案：设加盐 x 克，200×(1 - 15%) = (200 + x)×(1 - 20%) → x = 12.5 克。幻灯片 13：课堂总结核心思想：同一个量可以通过两种不同的方式表示，利用这两种表示形式相等建立方程。关键步骤：确定关键量→找到两种表示形式→列方程求解→检验作答。常见类型：经济问题、几何问题、分配问题、浓度问题等，核心都是围绕同一量的不同表示找等量关系。能力要求：提高分析问题中数量关系的能力，能准确识别同一量的不同表达形式。幻灯片 14：作业布置教材课后对应习题，练习同一个量不同表示问题的求解。某商店将彩电按进价提高 40% 后标价，然后在广告上写 “大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电仍获利 270 元，求彩电的进价。一个梯形的上底比下底短 5cm，高是 6cm，面积是 45cm²，求梯形的上底和下底的长度。某学校组织学生参加春游，若租用 45 座客车，则有 15 人没有座位；若租用同样数量的 60 座客车，则多出一辆车，其余车刚好坐满。问租用了多少辆车？参加春游的学生有多少人？有含酒精 70% 的溶液 500 克，要配制成含酒精 50% 的溶液，需要加入多少克水？2024冀教版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 当我们站在一望无垠的麦田中央,倾听流泻而出的风的声音,初升的日光照射在麦田上,绿油油的麦苗泛着青涩的光,犹如一幅美丽的图画.这幅美丽的图画离不开农民伯伯的辛苦劳动,大家知道农民伯伯是怎样施肥的吗?问题1:某农场要对一块麦田施底肥,现有化肥若干千克.若每公顷施肥400kg,则余下化肥800kg;若每公顷施肥500 kg,则缺少化肥300kg.那么,这块麦田的面积是多少公顷?现有化肥多少千克?设这块麦田为x公顷,由“若每公顷施肥400kg,那么余下化肥800 kg”,可得表示化肥质量的式子是怎样的?解:400x+800.由“若每公顷施肥500kg,那么缺少化肥300kg”,可得表示化肥质量的式子又是怎样的?解:500x－300.这两个代数式应有怎样的关系?解:化肥质量是相同的,所以有400x+800=500x－300.解:设这块麦田的面积是x公顷.由题意,得400x+800=500x－300.解得x=11.现有化肥为400x+800=5 200.答:这块麦田的面积是11公顷,现有化肥5 200千克.思考:此题是否还有其他解法?能否设现有化肥数为y千克? 思考:解决此类问题如何寻找等量关系?方案问题是较复杂的应用题之一,解决此类问题的思路是设问题中的多个未知量中的一个为x,利用与未知量密切相关的一个等量关系式表示出另一个未知量,最后利用另外一个等量关系列出方程,即同一个量的不同表示形式.问题2:某学校七年级师生进行了一次徒步活动.带队教师和学生以4 km/h的速度从学校出发,20 min后,小王骑自行车前往追赶.如果小王以12 km/h的速度骑行,那么小王要用多少时间才能追上队伍?此时,队伍已行走了多远?分析:小王追上队伍,也就是小王和队伍走过的路程相等;小王骑车行驶的路程=队伍行走的路程,如分析图所示.  追及问题中的等量关系:1.同地不同时出发:(1)s快=s慢.(2)v快t=v慢(t+a)(a为慢者先走的时间).2.同时不同地出发:(1)s快－s慢=s间隔距离.(2)t快=t慢.注意:计算时要统一单位.例1　甲、乙两人相距6 km,二人同时出发.同向而行,甲3小时可追上乙;相向而行,1小时后相遇.二人的平均速度各是多少?解:设甲每小时走x km,则乙每小时走(6－x)km,由题意,得3x=3(6－x)+6.解得x=4.所以乙每小时走6－4=2(km).答:甲的速度为每小时4 km,乙的速度为每小时2 km.例2　某人乘船由A地顺流而下到B地,然后又逆流而上到C地,共乘船4小时.已知船在静水中的速度为每小时7.5千米,水流速度每小时2.5千米,若A,C两地距离为10千米,求A,B两地间的距离.  D  返回 B  返回3. 现有一把无刻度的直尺和四块一样的矩形纸片，已知纸片的长度是其宽度的2倍，将纸片和直尺按如图所示的方式摆放在桌面上，则根据图中给出的数据可知直尺的长度是( )D   返回4. 我国古代数学的经典著作《九章算术》中有一道“盈不足术”问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五：人出七，不足三.问人数、羊价各几何？”译文：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱.问合伙人数、羊价各是多少？该问题中的羊价为_____钱.150  返回  √通过本节课的学习，你有哪些收获？回顾本节课的学习目标，看你是否完成了本节课的任务？这节课你还有哪些疑惑？必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！