2025-2026学年河南省商丘市睢县八年级（上）期中数学试卷 （含答案+解析）

这是一份2025-2026学年河南省商丘市睢县八年级（上）期中数学试卷 （含答案+解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列线段中，是△ABC的边AB上的高的是( )
A. B.
C. D.
3.如图，△ABC≌△CDA，AB和CD，BC和DA是对应边，则∠BAC的对应角是( )
A. ∠CAD
B. ∠DCA
C. ∠D
D. ∠ACB
4.下列“将三角形按边的相等关系分类”正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，图中的两个三角形全等，则∠α等于( )
A. 45∘
B. 60∘
C. 70∘
D. 75∘
6.下列命题是假命题的是( )
A. 有一个角是60∘的三角形是等边三角形B. 有两个角是60∘的三角形是等边三角形
C. 三个角都相等的三角形是等边三角形D. 三边相等的三角形是等边三角形
7.如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，∠B=20∘，则∠CAD的度数为( )
A. 50∘B. 60∘C. 70∘D. 80∘
8.如图，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若∠A=40∘，则∠1+∠2等于( )
A. 40∘
B. 60∘
C. 80∘
D. 90∘
9.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，BC=7，CD=4.按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于12EF的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G，则BG的长是( )
A. 5B. 4C. 3D. 2
10.如图，点A，C，D，E在Rt△MON的边上，∠MON=90∘，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，BH⊥ON于点H，DF⊥ON于点F，OE=6，BH=3，DF=4，图中阴影部分的面积为( )
A. 30B. 50C. 66D. 80
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如果座位表上“3列4行”记作(3,4)，那么座位表示上“5列2行”记为 .
12.在△ABC中，若AB=AC=5，∠B=60∘，则BC的长为 .
13.如图，已知∠BAD=∠CAD，欲证△ABD≌△ACD，必须添加一个条件，则你所添加的条件是 .
14.如图，四边形ABCD中，AC，BD交于点E，已知点E是AC的中点，S△CBD=11，则S△ABD= .
15.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=9，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE//BC，分别交AB、AC于点D、E，则△ADE的周长是 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上.
(1)画出△ABC的边BC上的高AD；
(2)画出△ABC的边AC上的中线BE.
17.(本小题8分)
如图，BA=BD，BC=BE，且∠ABD=∠EBC，求证AC=DE，请将下列证明过程补充完整：
证明：∵∠ABD=∠EBC，
∴∠ABD+______=∠EBC+______，
即______=______，
在△ABC和△DBE中，
∵BA=BD(______)，
∠______=∠______，
BC=______(已知)，
∴△ABC≌△DBE(______)，
∴AC=DE(______).
18.(本小题9分)
如图，某电信部门要在公路m、n之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄A、B的距离相等，到公路m、n的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点P表示出发射塔应建的位置.(保留作图痕迹，不写作法)
19.(本小题10分)
已知a，b，c是△ABC的三边长，a=4，b=6.
(1)求c的取值范围；
(2)若c是小于8的偶数，试判断△ABC的形状.
20.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于E，点F在边AC上，连接DF，且DF=DB.
(1)求证：△CFD≌△EBD；
(2)若∠BAC=42∘，求∠AFD的度数.
21.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，A(−4,2)，B(−2,3)，C(0,1).(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
(2)请仅用无刻度的直尺画出AC边上的高线BD(保留画图痕迹，不能有尺规痕迹)；
(3)请在y轴上确定点P，使得PA+PB的和最小(保留画图痕迹).
22.(本小题10分)
在△ABC中，AB=AC，BC=8，点M从点B出发沿射线BA移动，同时点N从点C出发沿线段AC的延长线移动，点M，N移动的速度相同，MN与BC相交于点D.
(1)如图①，过点M作ME//AC，交BC于点E.求证：△DME≌△DNC；
(2)如图②，过点M作MF⊥BC于点F，在点M从点B向点A(点M不与点A，B重合)移动的过程中，线段BF与CD的长度和是否保持不变？若保持不变，请直接写出线段BF与CD的长度和；若改变，请说明理由.
23.(本小题11分)
在学习角平分线性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请阅读下列材料，回答问题：
已知：△ABO为锐角三角形，求作：∠AOB的平分线.
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；
②分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
③画射线OC，则射线OC即为所求.
(1)如图1，射线OC就是∠AOB的角平分线的依据是______；
(2)课后老师留了一道思考题：在不限于圆规、直尺的条件下，思考还有没有其他作角平分线的方法？
下面是两位同学给出的两种方法：
①甲同学：用三角板按下面方法画角平分线：如图2，在已知∠AOB的边OA，OB上分别取OC=OD，再分别过点C，D作OA，OB的垂线，两垂线交于点P，画射线OP，则OP平分∠AOB.请你帮这位同学证明：OP平分∠AOB；
②乙同学：用圆规和直尺按下面方法画角平分线：如图3，以点O为圆心，以任意长为半径画弧与OA，OB分别交于点C，D，再以任意长为半径画弧与OA，OB分别交于点E，F，连接CF，DE交于点P，画射线OP，则OP平分∠AOB.你认为同学乙的这种作角平分线的方法是否正确：______(填“正确”或“错误”).
③丙同学：如图4，把直尺的一边落在∠AOB的边OA上，沿直尺的另一边画出直线CD，再把直尺的一边落在∠AOB的边OB上，沿直尺的另一边画出直线EF；CD与EF相交于点P，连接OP，则OP是∠AOB的角平分线.你认为丙同学的这种作角平分线的依据是：______；
(3)你还有什么作角平分线的方法(与以上作法原理不一样)？请用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，写出必要的文字说明.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A，B，D不是轴对称图形，C是轴对称图形，
故选：C.
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．
本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、由图可知，AD是△ABC的边BC上的高，不符合题意；
B、由图可知，AD不是△ABC的高，不符合题意；
C、由图可知，CD是△ABC的边AB上的高，符合题意；
D、由图可知，BD是△ABC的边AC上的高，不符合题意；
故选：C.
结合三角形边上的高，是指该边所对顶点向该边作垂线，由四个选项逐项验证即可得到答案．
本题考查三角形的高的定义及作图，熟记三角形的高及作图是解决问题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵△ABC≌△CDA，
∴∠BAC的对应角是∠DCA，
故选：B.
根据全等三角形的性质即可得出答案．
此题主要考查了全等三角形的性质，准确识图，理解全等三角形的性质是解决问题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：等腰三角形中包含等边三角形，即A选项符合题意．
故选：A.
将三角形按边的相等关系可以分为：不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中包括等边三角形，据此即可解答．
本题主要考查三角形的分类，掌握按边的相等关系的分类方法是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：因为图中的两个三角形全等，且∠α的对边为b，
所以∠α=180∘−45∘−75∘=60∘.
故选：B.
根据全等三角形的对应角相等，判断计算选择即可．
本题考查了全等三角形的性质，准确判定对应关系是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：A、有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形，故原命题错误，是假命题，符合题意；
B、有两个角是60∘的三角形是等边三角形，正确，是真命题，不符合题意；
C、三个角都相等的三角形是等边三角形，正确，是真命题，不符合题意；
D、三边相等的三角形是等边三角形，正确，是真命题，不符合题意．
故选：A.
利用等边三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等边三角形的判定方法，难度较小．
7.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∴∠B+∠BAD=90∘，
∵∠B=20∘，
∴∠BAD=70∘，
∴∠CAD=70∘，
故选：C.
首先根据等腰三角形三线合一的性质得到AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，然后根据直角三角形的两锐角互余得到答案即可．
本题考查了等腰三角形的性质，了解等腰三角形底边的高、底边的中线及顶角的平分线互相重合是解答本题的关键，难度不大．
8.【答案】C
【解析】解：∵∠A=40∘，
∴∠ADE+∠AED=180∘−∠A=140∘，
∵折叠，
∴∠ADA′=2∠ADE，∠AEA′=2∠AED，
∴∠ADA′+∠AEA′=2×140∘=280∘，
∴∠1+∠2=180∘−∠ADA′+180∘−∠AEA′=360∘−280∘=80∘；
故选：C.
根据三角形的内角和定理，折叠的性质，推出∠ADA′+∠AEA′的度数，再根据平角的定义，进行求解即可．
本题考查三角形折叠中的角度问题，掌握其相关知识点是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：由作图可知：DG平分∠ADC，
∴∠ADG=∠CDG，
∵AD//BC，
∴∠CGD=∠ADG(两直线平行，内错角相等)，
∴∠CGD=∠CDG(等量代换)，
∴CG=CD(等角对等边)，
∵BC=7，CD=4，
∴BG=BC−CG=7−4=3，则BG的长是3，
故选：C.
根据作图得到DG平分∠ADC，进而得到∠ADG=∠CDG，平行，得到∠CGD=∠ADG，进而得到∠CGD=∠CDG，推出CG=CD，再根据线段的和差关系，进行求解即可．
本题考查作图，角平分线的定义，平行线的性质，关键是相关知识的熟练掌握．
10.【答案】B
【解析】解：∵AE⊥AB，
∴∠EAB=90∘，
∴∠EAO+∠BAH=90∘，
BH⊥ON于点H，
∠BHA=90∘，
又∵∠MON=90∘，
∴∠EAO+∠AEO=90∘，
∴∠AEO=∠BAH，
在△OAE和△HAB中，
∠EOA=∠AHB∠AEO=∠BAHAE=AB，
∴△OAE≌△HBA(AAS)，
∴OE=HA，BH=AO，
∵OE=6，BH=3，DF=4，
∴HA=6，AO=3，
同理可得：△BHC≌△CFD(AAS)，
∴BH=CF=3，DF=CH=4，
∴OF=OA+AH+HC+CF=16，
∴S阴影=S梯形EDFO−2S△AOE−2S△HCB=12×(6+4)×16−2×12×6×3−2×12×4×3=50，
故选：B.
利用AAS可得△OAE≌△HBA，因而可得OE=HA=6，BH=AO=3，同理可得BH=CF=3，DF=CH=4，再利用S阴影=S梯形EDFO−2S△AOE−2S△HCB即可求解．
本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
11.【答案】(5,2)
【解析】解：由题意得座位表示上“5列2行”记为(5,2)，
故答案为：(5,2).
根据题意可知，第一个数表示列数，第二个数表示行数，据此解答即可．
本题考查了用有序数对表示位置，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
12.【答案】5
【解析】解：∵AB=AC=5，∠B=60∘，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=5.
故答案为：5.
判定△ABC是等边三角形，推出BC=AB=5.
本题考查等边三角形的判定和性质，关键是判定△ABC是等边三角形．
13.【答案】∠ADB=∠ADC(或∠B=∠C或AB=AC)
【解析】解：∵∠BAD=∠CAD，AD=AD，
添加∠ADB=∠ADC根据ASA即可推出△ABD≌△ACD；
添加∠B=∠C根据AAS即可推出△ABD≌△ACD；
添加AB=AC根据SAS即可推出△ABD≌△ACD，
综上所述，欲证△ABD≌△ACD，必须添加一个条件是∠ADB=∠ADC(或∠B=∠C或AB=AC).
故答案为：∠ADB=∠ADC(或∠B=∠C或AB=AC).
根据全等三角形的判定定理解答即可．
本题考查了全等三角形的判定，关键掌握全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS.
14.【答案】11
【解析】解：过点B作BG⊥AC于点G，过点D作DF⊥AC于点F，如图：
∵点E是AC的中点，
∴CE=AE，
∵S△ABD=S△ABE+S△AED=12AE⋅BG+12AE⋅DF，S△CBD=S△CBE+S△CED=12CE⋅BG+12CE⋅DF，
∴S△ABD=S△CBD=11，
故答案为：11.
过点B作BG⊥AC于点G，过点D作DF⊥AC于点F，分别表示出S△ABD和S△CBD进而即可得解．
本题考查了三角形的面积和高，作出正确的辅助线是解决本题的关键．
15.【答案】18
【解析】解：∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，
∴∠OBC=∠OBA，∠OCB=∠OCA；
∵DE//BC，
∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，
∴∠DOB=∠DBO，∠EOC=∠ECO，
∴DB=DO，EO=EC，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE
=AD+DO+EO+AE
=AD+DB+EC+AE
=AB+AC
=9+9
=18，
故答案为：18.
根据平行线的性质和角平分线的定义可证明∠DOB=∠DBO，∠EOC=∠ECO，得到DB=DO，EO=EC，再根据三角形周长计算公式列式求解即可．
本题主要考查了等角对等边，角平分线的定义，平行线的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
16.【答案】△ABC的边BC上的高AD，如图1即为所求；
△ABC的边AC上的中线BE，如图2即为所求．

【解析】(1)△ABC的边BC上的高AD，如图1即为所求；
(2)△ABC的边AC上的中线BE，如图2即为所求．
(1)根据三角形的高的定义画图即可；
(2)根据三角形的中线的定义画图即可．
本题考查作图-应用与设计作图、三角形的中线和高，解答本题的关键是熟练掌握三角形中线、高的定义．
17.【答案】∠DBC ∠DBC ∠ABC ∠DBE 已知 ∠ABC ∠DBE BE SAS 全等三角形的对应边相等
【解析】证明：∵∠ABD=∠EBC，
∴∠ABD+∠DBC=∠EBC+∠DBC，
即∠ABC=∠DBE，
在△ABC和△DBE中，
{BA=BD(已知)∠ABC=∠DBE(已证)BC=BE(已知))，
∴△ABC≌△DBE(SAS)，
∴AC=DE(全等三角形的对应边相等).
故答案为：∠DBC；∠DBC；∠ABC；∠DBE；已知；∠ABC；∠DBE；BE；SAS；全等三角形的对应边相等．
根据∠ABD=∠EBC得∠ABC=∠DBE，由此可依据“SAS”判定△ABC和△DBE全等，再根据全等三角形的对应边相等即可得出结论．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，准确地图，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
18.【答案】如图所示，点P即为所求作的点．

【解析】解：分别作出角的平分线和线段的中垂线，两线的交点即为所求，如图所示，点P即为所求作的点．
分别作出角的平分线和线段的中垂线，两线的交点即为所求．
本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
19.【答案】2