青岛市即墨区第二中学2025届九年级下学期中考二模数学试卷（含解析）

这是一份青岛市即墨区第二中学2025届九年级下学期中考二模数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图所示几何体的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（ ）
A．（40﹣40）cmB．（80﹣40）cm
C．（120﹣40）cmD．（80﹣160）cm
5．如图，直线和分别经过正五边形的一个顶点，，，则的度数为（ ）
A．32°B．38°C．46°D．48°
6．如图，在中，，，，以点为圆心，以2cm的长为半径作圆，则与的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．相切或相交
7．甲、乙两个同学一周五天做的数学题个数如表所示：
则下列结论正确的是（ ）
A．甲的平均数为12.5B．
C．乙的众数为12D．甲的极差为2
8．如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置时，若AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣B．π﹣2C．π﹣4D．π﹣2
9．如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ）
A．B．3C．D．4
10．如图，抛物线经过点，顶点为M，且抛物线与y轴的交点为B，则下列结论：
①当时，；
②；
③；
④的面积为．
正确的有（ ）
A．①③④B．②③④C．①②③D．①②④
二、填空题
11．计算：＝ ．
12．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
13．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围为 ．
14．如图，是的直径，为延长线上一点，切于点，平分，与的延长线交于点，，，则的长为 ．
15．如图，直线与双曲线交于点，点是直线上一点，且，过点作轴于点，作交双曲线于点，过点作于点，则 ．
16．一个不透明立方体的6个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，任意两对面上所写的两个数字之和为7，将这样的几个立方体按照相接触两个面上的数字之和为8，摆放成一个几何体，这个几何体的三视图如图所示，图中所标注的是部分面上所见的数字，则★所代表的数是 ．
三、解答题
17．尺规作图：如图，，点在射线上．
求作：，使得点在射线上，且边，，．
18．（1）先化简，再求值，其中．
（2）解不等式组，并将不等式组的解集在数轴上表示出来；
19．为了增强青少年的法律意识，呵护未成年人健康成长，某学校展开了法律知识竞赛活动，并从七、八年级分别随机抽取了名参赛学生，对他们的成绩进行了整理、描述和分析．
抽取七、八年级参赛学生的成绩统计图如下（不完整）：
说明：；；；；
抽取八年级参赛学生的成绩等级为“”的分数为：
，，，，，，，，，，，，，，，
抽取七、八年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)请将条形统计图补充完整；
(2)八年级这名学生成绩的中位数是________；
(3)在这次竞赛中，小明和小亮均得了分，但小明的成绩在其所在年级排名更靠前，可知小明是________（填“七”或“八”）年级的学生；
(4)该校七年级有名学生，八年级有名学生，若该校决定对于竞赛成绩不低于分的学生授予“法治先锋”称号，则请估计七、八年级获得“法治先锋”称号的学生共有多少人？
20．2025年苏迪曼杯有4支队伍进入四强，分别为中国队、韩国队、印尼队、日本队，将这4支队伍分别编号为A，B，C，D，将这4支队伍的编号分别印在4张完全相同的卡片上（除编号不同外，其余完全相同），把这些卡片背面朝上，洗匀放好．若小刚、小丽抽到相同队伍的卡片，则到现场看半决赛，否则在家观看比赛直播．要求小刚先从中随机抽取1张卡片，记下结果后放回，再次洗匀放好，小丽再抽取一张．用树状图或列表的方法求出两人抽到同一队伍的概率．
21．（科技成就）随着技术的发展，为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座坡度为的小山坡上新建了一座大型的网络信号发射塔（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块警示牌，当太阳光线与水平线成角时，测得信号塔落在警示牌上的影子长为3米．求信号塔的高．（结果精确到0.1米，参考数据：，，）
22．我们定义：在矩形中，每次沿长边的垂直平分线对折（即保持短边长度不变，长边变为原来的一半），得到一个新矩形，称为一次操作．若新矩形不是正方形，继续操作，直到得到正方形为止，操作的次数称为该矩形的“折叠阶数”．
例如：邻边长为8和2的矩形，第一次对折后为4和2的矩形（非正方形）第二次对折后为2和2的正方形，故折叠阶数为2．
(1)阶数计算：矩形邻边长为12和3，其折叠阶数为_______；
(2)逆推边长：若一个矩形的折叠阶数为3，且最终得到的正方形边长为5，原矩形的邻边长分别为_______，_______；
(3)代数关系：设矩形邻边长为a和b（），最终能够折成正方形，若其折叠阶数为n，则a=_____（用含b和n的式子表示a）．
23．2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买A、B两种机器人进行销售．已知每个种机器人比种机器人贵5万元，用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍．
(1)求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？
(2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批、两种机器人共100个，且种机器人数量不超过种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当种机器人提价种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案．
24．如图，中，为边上一点，为延长线上一点，且．过作，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)当时，判断四边形的形状，并说明理由．
25．如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为，两主塔塔顶距桥面的高度为，主索最低点P离桥面的高度为，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D．
（i）求主索到射灯光线的最大竖直距离；
（ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米．
26．在中，，动点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方匀速运动，速度为，连接，将沿翻折，得．设运动时间为t（s）（）．解答下列问题：
(1)当四边形为菱形时，求t的值；
(2)连接，，设的面积为S（），求S与t的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，以E为圆心为半径作圆E，使得圆E与相切？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．B
解：第一个图形是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
第三个图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
第四个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
故选：B．
2．D
解：A. ，故选项不符合题意；
B. ，故选项不符合题意；
C. ，故选项不符合题意；
D. ，故选项符合题意；
故选：．
3．C
解：从正面看到的视图是，
故选：C.
4．D
解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，
∴AC＝BD＝804040，
∴CD＝BD﹣（AB﹣BD）＝2BD﹣AB＝80160，
故选：D．
5．D
【详解】如图所示，
∵是正五边形，
∴内角和为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
6．A
解：如图，过C作CD⊥AB于D，
由题意得：AB×=5，AB=cm，
由勾股定理得：BC=cm，
Rt△BCD中，CD=BCsin∠B=3cm，
∵2cm＜3cm，
∴圆与AB相离，
故选： A．
7．B
解：，故A不符合题意
，
，
，
∵，
∴；故B符合题意；
∵，都出现2次，
∴乙的众数为12与，故C不符合题意；
甲的极差是，故D不符合题意；
故选：B．
8．D
解：连接，
四边形是矩形，
，
中，，，
，，
，
．
故选：D．
9．B
解：解法一：延长和，交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴
∵，
∴．
解法二：作交于点H
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
故选：B．
10．C
解：①抛物线的对称轴为：
，
∵，
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为，
∵抛物线开口向上，
∴当时，，故①符合题意；
②当时，，
∴，故②符合题意；
③把代入，得：，
解得：，
∴，
∴抛物线的顶点为，
∴，故③符合题意；
④设抛物线对称轴交轴于，则，如图：
∴，，，
当时，，
∴，
∴，
∴
，故④不符合题意，
综上，符合题意的有①②③，
故选：C．
11．7
【详解】原式＝4+
＝4+
=4+3
＝7．
故答案为7．
12．且
解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
∴且，
故答案为：且．
13．k≤4且k≠1
解：因为关于x的一元二次方程有实数根
所以
由得 ，解 得
所以实数k的取值范围为：k≤4且k≠1．
故答案为：k≤4且k≠1．
14．
解：如图，连接，
∵切于点，
，
∵平分，
,
，
，
，
，
，
，，
，
∵是的直径，
，
在直角中，由勾股定理得,
利用等面积法可得,
故答案为：．
15．
解：过点作轴于点，
∵轴于点，
∴，
∴，
∵点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵，，
∴，
设，则，
∴点的坐标为，
∴，
∴，
故答案为：．
16．3
解：由题意可以还原这个立体图形的形状，
左视图中2的对面是5；紧临的是3，其对面是4；再接下来是4，其对面是3；
主视图中小正方体正面是6，后面是1；左面是4，右面是3；上下两面就是2、5相对；
当底面是5，上面为2，紧临的是6，其对面是1；接触的两个面上的数字之和为8，则★应为7，不可能；
故底面只能是2，上面是5，紧临的是3，其对面是4；接下来紧临的还是4，★为其对面， 所以是3；
故答案为：3．
17．见解析
解：如图，即为所作.
18．（1）；；（2），见解析
解：（1）
，
当时，原式；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：
19．(1)补全条形统计图见解析；
(2)；
(3)七；
(4)估计七、八年级获得“法治先锋”称号的学生共有人．
（1）解：解：七年级等级人数为：（人），七年级等级人数为：（人），
补充完整后的条形统计图如下所示：
（2）解：将八年级学生成绩按从低到高顺序排列，，，，，，，，，，，，，，，，
结合条形统计图和八年级等级分数情况可知，第位和第位分别为，，
因此八年级这名学生成绩的中位数是，
故答案为：；
（3）解：∵七年级的中位数为，八年级的中位数为，
∴同样是分的情况下，在七年级的排名更靠前，
∴小明是七年级的学生，
故答案为：七；
（4）解：解：（人），
答：估计七、八年级获得“法治先锋”称号的学生共有人．
20．
解：
共有16种等可能结果，其中两人抽到同队伍的情况有4种，即、、、，
所以P（两人抽到同队伍）
21．信号塔的高为米
解：延长交直线于点B，过点E作于点G，如图，
根据题意有：，，，，，，，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴（米），
答：信号塔的高为米．
22．(1)2
(2)40，5
(3)
（1）解：，，
此时，矩形的长和宽相等，图形为正方形，
所以，折叠阶数为2；
（2）解：根据题意得，
，
所以，圆矩形的邻边长为40,5；
（3）解：根据题意得，
．
23．(1)种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元．
(2)购进了种机器人个，种机器人个；最大利润万元
（1）解：设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元，
由题意可得：
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴种机器人的价格为（万），
答：种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元．
（2）解：由题意可得：的售价为：万元，的售价为：万元，
设购买的数量为个，则的数量为个，
∴由题意可得：，
解得：，
∴，
∵利润，
∵
∴当越小时，利润最大，
把代入可得：，
∴最大利润为：万，此时购进了种机器人个，种机器人个．
答：安排购进了种机器人个，种机器人个时最大利润为万元．
24．(1)证明见解析
(2)四边形是菱形，理由见解析
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：四边形AGFE是菱形，理由如下：
连接，交于点，
由（）得，，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
即，
∴平行四边形是菱形．
25．(1)
(2)（i）最大距离为 （ii）
（1）解：由题意可知,抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为：，
由∵，
，
解得：，
∴解析式为：；
（2）(i)设直线为
将 ，代入可得
，解得：，
解析式为；
如图，作垂直为轴的直线交于，交抛物线于点，设点的坐标为则为 ，
当时，
，
故时有最大值；
当时，
，
时，随的增大而减小，，
∴当时，有最大值为：，
综上所述，最大距离为；
(ii)设平移后的直线为：，
联立 ，
，
当 时 ，
解得：，
时, ，
时, ，
∴向右最多平移 (米)，
故答案为: .
26．(1)；
(2)；
(3)不存在，理由见解析．
（1）解：当四边形为菱形时，连接交于点O，
则，
在中，，
，
由题意得，
∴，
∴
∴，即，
解得：；
（2）解：过E点作于F，由轴对称得：垂直平分，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：假设存在，过点E做于点M，由题意得：四边形为矩形，
∴
在中，，
∴，
当圆E与相切时，，
∴，
解得，
∵，
∴不存在以E为圆心为半径的圆E与相切．周一
周二
周三
周四
周五
甲
11
12
13
14
15
乙
12
12
13
14
14
年级
平均数
中位数
众数
七
八
________
小丽
小刚
A
B
C
D
A
B
C
D