2026届上海市奉贤区高三上学期一模数学试卷及答案解析

这是一份2026届上海市奉贤区高三上学期一模数学试卷及答案解析，共32页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
已知集合 A  0,4, B  2,5，则 A  B  ．(区间表示结果)
不等式 2x 1  3 的解集是．
在二项式 x 19 的展开式中， x5 的系数是．（用数字表示答案）
a
已知向量   1,1 ，则经过点1, 0 且与 a 垂直的直线方程为．
已知等比数列an的各项均为正数，若a1  a3  16 ，a2  a4  4 ，则该等比数列an的公比为．
从 3 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，只有 1 位女生入选，则不同的选法有
种．（用数字表示答案）
在正四棱台 ABCD  A1B1C1D1 中，异面直线 AA1 与 D1B1 所成角的大小为．
若函数 y 
a  2x 1
x
a  R  是偶函数，则实数
a  ．
2 1
5
若复数 z 满足 z ， z 1  Rez 1 ，则复数 z  ．
已知两个非负实数 a 、b 满足 a  2b  2 ，则a 12  b  42 的最小值是．

在平面中， e1 和 e2 是互相垂直的单位向量，向量 a 满足 a  6e1  1 ，向量 b 满足

b  6e1  b  8e2  20 ，则 a  b 的最大值是．
运动员关心的是在足球场上的哪些位置射门命中的角度较大．在真实的射门过程中，我们做一些假定：
将足球看成一个质点；
接近球门时，足球运动的轨迹与地面平行；
射门时，足球与球门之间无防守员；
足球场平面图是一个矩形；
标准足球场的长度为 105 米，宽度为 68 米，球门的宽度为 7.32 米；
如图，以线段 AB 所在直线为 y 轴，以线段 AB 的垂直平分线为 x 轴建立平面直角坐标系，
O 是球门中心，两门柱位置分别为点 A 、 B ，两个角球点为C 、 D ， EF 是半场分界线．
对于区域CDEF 内，射门点 P  x, y ，
对于每一个确定的横坐标 x ，可以找到唯一的 y ，可以证明横坐标不变时，y  0 时，APB最大．此时，点 P 在 x 轴上是最佳射门点．
对于每一个确定的纵坐标 y 3.66  y  34 ，同样可以找到唯一的 x ，当 x  时，
APB 最大．此时，点 P 是最佳射门点．
二、选择题（本题共 4 小题，13-14 每小题 4 分，15-16 每小题 5 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
设a 、b 为实数，且 a  b  0 ，则下列不等式一定正确的是（）
a4  b2
 b c
sina  sinb
a
c  0 时，    1

lna  lnb
设， ，是互不重合的平面，m，n 是互不重合的直线，给出四个命题：
①若 m∥， m ∥，则∥
②若 ， ，则 
③若 m ， m  ，则∥
④若 m∥， n  ，则 m  n
其中正确命题的个数是（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
曲线C 的方程为 Ax2  By2  2 （ A 、 B 不同时为 0），则下列说法正确的是（）
曲线C 不可能是直线
当 A  0 ， B  0 时，曲线是椭圆
若曲线C 是双曲线，则双曲线的渐近线与无关
曲线C 是抛物线
已知等差数列an的公差不为零， Sn 为其前 n 项和，存在正整数 k 满足 Sk  0 ，有两
个命题：
命题①：设数列公差 d ，则 d  S1  0 ．
命题②： i 、 j 均是小于 k 的正整数，则 Si  S j  Sk i Sk  j ．以上判断正确的是（）
命题①②都是真命题B. 命题①是真命题，命题②是假命题
C. 命题①②都是假命题D. 命题①是假命题，命题②是真命题三、解答题（本题共 5 小题，17-19 题每题 14 分，20-21 题每题 18 分，共 78 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
已知函数 f  x  1 sin2x 3 cs2x ．
22
当 x   5π , 13π  时，求函数 f  x 的值域；

 612 
在 ABC 中，角 A 、B 及C 所对边的边长分别为 a 、b 及c ，若 f C   0 ， a  2 ，
B  π ，求b ．
4
A 校高一年级共有学生 462 名，其中女生 224 名．为了解该校高一年级学生的身高和体
重情况，按分层随机抽样从中获取 66 名学生的身高（cm）和体重（kg），其中 66 名学生的
身高（从低到高排序三列，每列 22 人）汇总如左下表（隐蔽部分信息数据），身高的频率分布表如右下表（隐蔽了部分信息数据），66 名学生体重绘制茎叶图如右下图．
A 校 66 名高一年级学生身高数据
性别
身高
/cm
性别
身高
/cm
性别
身高
/cm
女
152
女
164
男
172
女
153
男
165
男
172
女
154
女
172
女
155
男
173
女
156
男
173
女
156
男
174
女
156
男
174
女
157
男
174
女
157
男
174
女
159
男
175
女
159
男
176
女
160
男
176
女
160
男
177
女
160
男
177
女
160
男
178
A 校 66 名高一年级学生身高的频率分布表
女
161
男
178
女
162
男
178
女
163
男
170
男
178
女
163
男
170
男
179
女
164
男
170
男
181
女
164
男
170
男
182
女
164
男
170
男
184
身高分组区间
频数
频率
累积频数
[151.5,154.5)
3
0.05
3
[154.5,157.5)
0.09
9
[157.5,160.5)
0.09
15
[160.5,163.5)
19
[163.5,166.5)
31
[166.5,169.5)
39
[169.5,172.5)
47
能否推算出身高 165cm 的具体人数？
求抽取的男生人数、抽取到的男生体重的中位数；
已知这 66 名学生中男生身高平均数为 173.1cm，方差为 25.9；女生身高平均数为 161.3cm，方差为 23.3．请计算该样本数据在区间x  2s, x  2s中包含样本数据的个数．
（其中 x 是样本平均数， s 是样本标准差）
如图，将直角三角形 SOA 绕直角边 SO 所在直线旋转一周形成圆锥 S  O ．已知圆锥 S  O 的底面半径为 3cm，圆锥的侧面积15πcm2 ．设 A 、B 是底面圆周上的两点，线段 AB不经过点O ．
求圆锥 S  O 的体积；
求证：直线 SA 与直线OB 是异面直线；
[172.5,175.5)
54
[175.5,178.5)
8
0.12
62
[178.5,181.5)
2
0.03
64
[181.5 184.5]
2
0 03
66
二面角 A  SO  B 的大小为
2π ，求直线 SA 与平面 SOB 所成角的大小．
3
x2y2
椭圆
 1a  b  0  ， P 是第一象限内椭圆上的点， A a, 0 ， B 0, b ，
a2b211
5
A B ，椭圆的离心率是 3 ． M t, 0 ， N t, 0 ， t  0 且t  a ．
1 12
求椭圆的方程并在下图 1 中作出椭圆的左焦点，写出作图依据；
如图 2，设t  1，三角形 PMN 的面积记为 S1 ，三角形 PA1B1 的面积记为 S2 ，若 S2  2S1 ，
求点 P 的坐标；
PM
MA
PN
NB
设 P  x0 , y0 ，连结 PM 与椭圆交于点 A ，连结 PN 与椭圆交于点 B ，判断
是否为定值？请说明理由．
记 y  f  x ， y  g x 分别为函数 y  f  x 和 y  g  x  的导数，存在 x0  R ，满
足 f  x0   g  x0  且 f  x0   g x0  ，则称 x0 为 y  f  x 和 y  g  x  的一个“ Ω 点”．
若函数 f  x  ax2 1与 g  x  lnx 存在“ Ω 点”，求实数 a 的值；
证明函数 f x   sinx 与 g  x  x2  2x  2 不存在“ Ω 点”；
已知函数 f  x  x2  a ， g  x  bex ，对任意的 a  0 ，判断是否存在b  0 ，使
x
得函数 y 
f  x 和 y  g  x  在区间0,  内存在“ Ω 点”，请说明理由．
2025 学年奉贤区第一学期奉贤区高三数学练习卷
一、填空题（本题共 12 小题，1-6 每小题 4 分，7-12 每小题 5 分，共 54 分．）
已知集合 A  0,4, B  2,5，则 A  B  ．(区间表示结果)
【答案】2, 4
【解析】
【分析】根据交集的定义即可得出答案.
【详解】由交集的定义可知 A  B  2, 4 .
故答案为： 2, 4
不等式 2x 1  3 的解集是．
【答案】1, 2
【解析】
【分析】根据绝对值不等式计算求解.
【详解】因为 2x 1  3 ，所以3  2x 1  3，所以1  x  2 ，
所以不等式 2x 1  3 的解集是1, 2 .
故答案为： 1, 2 .
在二项式 x 19 的展开式中， x5 的系数是．（用数字表示答案）
【答案】126
【解析】
【分析】根据二项式展开式计算求解.
【详解】二项式 x 19 的展开式中，通项公式为T
 Cr x9r ，
当 r  4 时， T  C4 x5 ，
r 19
59
x5 的系数是C4 = 9  8 7  6 =126 ．
91 2  3 4
故答案为：126 .
a
已知向量   1,1 ，则经过点1, 0 且与 a 垂直的直线方程为．
【答案】 x  y 1  0
【解析】
【分析】先根据向量垂直得出斜率，再点斜式得出直线方程进而得出一般式.

【详解】因为向量 a  1,1 ，则与 a 垂直的直线方程斜率为1，则经过点1, 0 且与 a 垂直的直线方程为 y  0   x 1 ，
即得 x  y 1  0
故答案为： x  y 1  0
已知等比数列an的各项均为正数，若a1  a3  16 ，a2  a4  4 ，则该等比数列an的公比为．
1
【答案】 ##0.25
4
【解析】
【分析】根据等比数列的通项关系作除法运算即可得公比的值.
【详解】设等比数列an的公比为 q ，
因为an各项均为正数，若 a1  a3  16 ， a2  a4  4 ，
则
a2  a4  q a1  a3   q  4  1 ，
a1  a3
a1  a3
164
故该等比数列a 的公比为 1 .
n4
1
故答案为： 4 .
从 3 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，只有 1 位女生入选，则不同的选法有
种．（用数字表示答案）
【答案】18
【解析】
【分析】根据组合数及乘法原理计算求解.
3 4
【详解】从 3 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，只有 1 位女生入选，则不同的选法有C1C2 =3×6=18 种．
故答案为：18 .
在正四棱台 ABCD  A1B1C1D1 中，异面直线 AA1 与 D1B1 所成角的大小为．
π
【答案】
【解析】
## 90
2
【分析】根据正四棱台特征得出 OO1  平面 A1B1C1D1 ，再结合线面垂直判定定理得出
B1D1  平面 A1C1CA ，进而得出异面直线所成的角.
【详解】
取 AC 中点O ，取 A1C1 中点O1 ，连接OO1, B1D1 .因为四棱台 ABCD  A1B1C1D1 是正四棱台，
所以OO1  平面 A1B1C1D1 ， B1D1  平面 A1B1C1D1 ，所以OO1  B1D1 ，
又因为 A1B1C1D1 是正方形，所以 A1C1  B1 D1 ，
且 A1C1  OO1  O1 , A1C1 ,OO1  平面 A1C1CA ，所以 B1D1  平面 A1C1CA ，
AA1  平面 A1C1CA ，所以 AA1  B1D1 ，
所以异面直线 AA 与 D B 所成角的大小为 π .
11 12
π
故答案为： .
2
若函数 y 
a  2x 1
x
a  R  是偶函数，则实数
a  ．
2 1
【答案】 1
【解析】
【分析】由偶函数定义建立方程，解得实数 a .
【详解】函数的定义域为 R ，
由题意可知
a  2x 1 
a  2x 1
，即
a  2x 1 
a  2x
，
2x 12x 1
所以a 1 2x  a 1 ，
2x 11 2x
因该等式对定义域内的任意 x 都成立，故 a 1  0 ，解得 a  1
故答案为： 1
5
若复数 z 满足 z ， z 1  Rez 1 ，则复数 z  ．
【答案】 z  1 2i 或 z  1 2i ．
【解析】
【分析】先设复数，再计算得出 a, b 即可求解.
【详解】设复数 z  a  bi,a, b  R ，
5
复数 z 满足 z ， z 1  Rez 1 ，
a2  b2  5
a 12  b2
所以

，
 a 1
所以 a2  4a  5  0 ， a  1或 a  5(当a  5时， b2  4a  20  0 ，与b R 矛盾，
故舍去)，

a  1
所以，
b  2
则复数 z  1 2i 或 z  1 2i ．
故答案为： z  1 2i 或 z  1 2i ．
已知两个非负实数 a 、b 满足 a  2b  2 ，则a 12  b  42 的最小值是．
【答案】10
【解析】
【分析】由 a  2  2b ，代入结合二次函数单调性即可求解.
【详解】因为两个非负实数 a 、b ， a  2b  2 ，所以 a  2  2b  0 ， 0  b  1 ，
所以a 12  b  42  1 2b2  b  42  5b2 12b 17 ，
令 y  5b2 12b 17 ，对称轴为b  6 ，
5
由二次函数单调性可知当b  1时，取得最小值 10，
故答案为：10

在平面中， e1 和 e2 是互相垂直的单位向量，向量 a 满足 a  6e1
 1 ，向量 b 满足

b  6e1  b  8e2
【答案】16
【解析】
 20 ，则 a  b
的最大值是．
【分析】根据模长值得出圆的轨迹，再根据模长关系得出椭圆，最后应用圆与椭圆的位置关系得出最值即可.
【详解】因为e1 和e2 是互相垂直的单位向量，所以设e1  1, 0, e2  0,1 ，

向量 a 满足 a  6e1  1 ，表示以6, 0 为圆心，半径为 1 的圆，
 
36  64  96e1·e2

6e1  8e2

 10 ，向量b 满足 b  6e1  b  8e2
 20 ，
表示长轴为 2a  20 ，焦距2c  10 的椭圆，且6, 0 为椭圆的一个焦点，

因为 a  b 表示以6, 0 为圆心，半径为 1 的圆上的点到椭圆上的点距离，

则 a  b a  c 1  10  5 1  16 .
max
故答案为：16．
运动员关心的是在足球场上的哪些位置射门命中的角度较大．在真实的射门过程中，我们做一些假定：
将足球看成一个质点；
接近球门时，足球运动的轨迹与地面平行；
射门时，足球与球门之间无防守员；
足球场平面图是一个矩形；
标准足球场的长度为 105 米，宽度为 68 米，球门的宽度为 7.32 米；
如图，以线段 AB 所在直线为 y 轴，以线段 AB 的垂直平分线为 x 轴建立平面直角坐标系，
O 是球门中心，两门柱位置分别为点 A 、 B ，两个角球点为C 、 D ， EF 是半场分界线．
对于区域CDEF 内，射门点 P  x, y ，
对于每一个确定的横坐标 x ，可以找到唯一的 y ，可以证明横坐标不变时，y  0 时，APB最大．此时，点 P 在 x 轴上是最佳射门点．
对于每一个确定的纵坐标 y 3.66  y  34 ，同样可以找到唯一的 x ，当 x  时，
APB 最大．此时，点 P 是最佳射门点．
y2  3.662
【答案】
【解析】
【分析】作 ABP 的外接圆Q ，得到圆心Q 所在直线，由圆的圆心角和圆周角的关系找到
APB 最大时 P,Q 两点的位置关系，即可求得 x 的值.
【详解】如图 A0, 3.66 ， B 0, 3.66 ，设 P  x, y0 
作 ABP 的外接圆Q ，∵ A0, 3.66 ， B 0, 3.66 ，∴圆心Q 在 x 轴正半轴上.
则APB  1 AQB  OQB ，
2
BQ 2  3.662
∴当OQB 最大时，APB 取最大值，
BQ 2  BO 2
QO 
，
BQ2  3.662
BQ2
3.662
1
BQ2
OQ
∴ csOQB ，
BQ
∴当 BQ 取最小值时， csOQB 取得最小值，∵ OQB  0, π  ，所以OQB 取最大
2 

值，
又∵ BQ  PQ ，点 P 为直线 y  y0 上动点，
∴当 PQ  x 时， BQ  PQ 取得最小值 y0 ，
BQ2  3.662
此时QO 

，即 x  QO .
y2  3.662
0
y 2  3.662
0
y2  3.662
故答案为：.
二、选择题（本题共 4 小题，13-14 每小题 4 分，15-16 每小题 5 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
设a 、b 为实数，且 a  b  0 ，则下列不等式一定正确的是（）
a4  b2
 b c
sina  sinb
a
c  0 时，    1

lna  lnb
【答案】D
【解析】
【分析】应用特殊值法计算判断 A，B，C，应用对数函数单调性判断 D.
【详解】因为 a 、b 为实数，且 a  b  0 ，
当 a  1 , b  1 ， a4  1  b2  1 ，A 选项错误；
241616
当 a  2π , b  π ， sin 2π  sin π ，B 选项错误；
3333
当 a  2, b  1, c  1时， a
 b c
 

 1  1，C 选项错误；
2
当 a  b  0 ，所以lna  lnb ，D 选项正确；故选：D.
设， ，是互不重合的平面，m，n 是互不重合的直线，给出四个命题：
①若 m∥， m ∥，则∥
②若 ， ，则 
③若 m ， m  ，则∥
④若 m∥， n  ，则 m  n
其中正确命题的个数是（）
B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据线面位置关系的判定定理、性质定理，以及推论，逐项判定，即可求解.
【详解】由,,是互不重合的平面， m ， n 是互不重合的直线， 对于①中，由 m//, m//，则//或与相交，所以不正确；
对于②中，由 , ，则 或//或与相交，所以不正确； 对于③中，由 m , m  ，根据垂直于同一直线的两平面平行，可得//，所以正确的；
对于④中，由 m//, n ，可得 m  n ，所以正确.
故选：B.
曲线C 的方程为 Ax2  By2  2 （ A 、 B 不同时为 0），则下列说法正确的是（）
曲线C 不可能是直线
当 A  0 ， B  0 时，曲线是椭圆
若曲线C 是双曲线，则双曲线的渐近线与无关
曲线C 是抛物线
【答案】C
【解析】
【分析】根据 A, B 的取值结合圆、椭圆、双曲线方程的特点逐项分析曲线C 的方程.
【详解】A．当
B  0, A  0, 0
时， x2
2
2
A
，所以 x  为两条直线，A 选项错
A
误；
因为 A  1, B  1, 0,C : x 2  y 2  2 ，所以曲线C 是半径为的圆，故 B 错误；
因为 Ax2  By2  2 ， A  0, B  0 ，所以曲线C 是双曲线，则 A
2
x2  B
2
y2  1，则
渐近线 y  
Ax ，故 C 正确；
B
因为曲线 Ax2  By2  2 ， A 、 B 不同时为 0，当 0 时，
当 B  0, A  0 时，曲线是两条相交直线；当 B  0, A  0 时，曲线是点；
当 B 0, A 0 时，曲线是点；
当 B  0, A  0 时，曲线是两条相交直线；当 B  0, A  0 时，曲线是直线；
当 B  0, A  0 时，曲线是直线；当 A  0, B  0 时，曲线是直线；
当 A  0, B  0 时，曲线是直线；当 0 时，
当 B  0, A  0 时，曲线是双曲线；
当 B  0, A  0 时，曲线不存在；
当 B 0, A
0, A  B 时，曲线是椭圆；
当 B  0, A  0, A  B 时，曲线是圆；当 B  0, A  0 时，曲线是双曲线；
当 B  0, A  0 时，曲线不存在；当 B  0, A  0 时，曲线是直线；当 A  0, B  0 时，曲线不存在；当 A  0, B  0 时，曲线是直线；
所以曲线C 不能是抛物线，故 D 错误；
故选：C.
已知等差数列an的公差不为零， Sn 为其前 n 项和，存在正整数 k 满足 Sk  0 ，有两
个命题：
命题①：设数列公差 d ，则 d  S1  0 ．
命题②： i 、 j 均是小于 k 的正整数，则 Si  S j  Sk i Sk  j ．以上判断正确的是（）
A. 命题①②都是真命题B. 命题①是真命题，命题②是假命题
C. 命题①②都是假命题D. 命题①是假命题，命题②是真命题
【答案】D
【解析】
【分析】命题①：利用等差数列的求和公式，将条件 S  0 整理得到 a
  (k 1)d ，又
k12
S1  a1 ，计算 d  S1 即可得解；命题②：利用等差数列的求和公式求解即可.
【详解】等差数列an的公差不为零， Sn 为其前 n 项和， Sk  0 ，
 ka  k (k 1)d  0 ， a   (k 1)d ，
1212
命题①： S1  a1 ，
 (k 1)d (k 1)d 2
d  S1  d  2  2，
 d  0 ， d 2  0 ，当 k  1时， d  S1  0 ；
当 k  1且 k  N 时， d  S1  0 ；故命题①错误；
命题②： a1
  (k 1)d ， i 、 j 均是小于 k 的正整数，
2
i(k 1)di(i 1)d  j(k 1)dj( j 1)d ijd 2(i  k )( j  k )
Si  S j  22 22 4，
 
 SS  (k  i)a  (k  i)(k  i 1)d   (k  j)a  (k  j)(k  j 1)d 
k i k  j1
2 12
 
ijd 2 (k  i)(k  j)ijd 2 (i  k )( j  k )
，
44
 Si  S j  Sk i Sk  j ，故命题②正确.故选：D.
三、解答题（本题共 5 小题，17-19 题每题 14 分，20-21 题每题 18 分，共 78 分．解
答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
已知函数 f  x  1 sin2x 3 cs2x ．
22
当 x   5π , 13π  时，求函数 f  x 的值域；

 612 
在ΔABC 中，角 A 、B 及C 所对边的边长分别为 a 、b 及c ，若 f C   0 ， a  2 ，
B  π ，求b ．
4
【答案】（1） 1,  1 
2



3
3
（2） b  2 2 或b  2 2
【解析】
【分析】（1）利用辅助角公式将函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数的性质计算即得；
（2）由 f C   0 计算出C ，利用两角和的正弦公式求得sin A ，再借助于正弦定理计算即得.
【小问 1 详解】
sin 2x
f  x   1 sin 2x 3 cs 2x  π  ，
223 

当 x   5π , 13π  时， 2x  π   4π , 11π  ，


 612 3 36 
则sin  2x  π  1,  1 ，即 y  f  x 的值域为1,  1  ；
3 2 2 

【小问 2 详解】
f C   sin  2C  π   0 ，则 2C  π  kπ k  Z ，即C  π  kπ k  Z ，
3 362

又C 0, π，故C  π 或C  2π ；
63
若C  π ，由 B  π ，则sin A  sin π  B  C   sin  B  C 
64
2
2
3
2  6
sin cs
 sin cs
 
ππππ1，
644622224
由正弦定理
a
sin A
b
sin B
，可得
2  2
4 2 
 2 
6
6

6 
2 
6 2 
b  a sin B  2  2 3 2 ；
sin A 2 
4
若C  2π ，由 B  π ，则sin A  sin π  B  C   sin  B  C 
3
 sin 2π cs π 
4
π2π
sin cs
3 2 
6  2
2  1 ，

344322224
由正弦定理
a
sin A
b
sin B
，可得
2  2
4 2 
 2 
2
6

6 
2 
6 2 
b  a sin B  2  2 3 2 .
sin A 6 
4
3
综上， b  2
 2 或b  2
 2 .
3
A 校高一年级共有学生 462 名，其中女生 224 名．为了解该校高一年级学生的身高和体
重情况，按分层随机抽样从中获取 66 名学生的身高（cm）和体重（kg），其中 66 名学生的
身高（从低到高排序三列，每列 22 人）汇总如左下表（隐蔽部分信息数据），身高的频率分布表如右下表（隐蔽了部分信息数据），66 名学生体重绘制茎叶图如右下图．
A 校 66 名高一年级学生身高数据
性别
身高
/cm
性别
身高
/cm
性别
身高
/cm
女
152
女
164
男
172
女
153
男
165
男
172
女
154
女
172
女
155
男
173
女
156
男
173
女
156
男
174
女
156
男
174
女
157
男
174
女
157
男
174
女
159
男
175
女
159
男
176
女
160
男
176
女
160
男
177
女
160
男
177
A 校 66 名高一年级学生身高的频率分布表
女
160
男
178
女
161
男
178
女
162
男
178
女
163
男
170
男
178
女
163
男
170
男
179
女
164
男
170
男
181
女
164
男
170
男
182
女
164
男
170
男
184
身高分组区间
频数
频率
累积频数
[151.5,154.5)
3
0.05
3
[154.5,157.5)
0.09
9
[157.5,160.5)
0.09
15
[160.5,163.5)
19
[163.5,166.5)
31
[166.5,169.5)
39
能否推算出身高 165cm 的具体人数？
求抽取的男生人数、抽取到的男生体重的中位数；
已知这 66 名学生中男生身高平均数为 173.1cm，方差为 25.9；女生身高平均数为 161.3cm，方差为 23.3．请计算该样本数据在区间x  2s, x  2s中包含样本数据的个数．
（其中 x 是样本平均数， s 是样本标准差）
【答案】（1）不能，理由见解析
抽取的男生人数为34 人，抽取到的男生体重的中位数为63
65
【解析】
【分析】（1）结合表格可得身高为165 、166 的共8 人，不能得到身高 165cm 的具体人数；
借助茎叶图可得抽取的男生人数，再利用中位数定义可得抽取到的男生体重的中位数；
借助分层抽样的平均数与方差公式，可得 x 与 s ，即可得x  2s, x  2s ，再借助身高数据表格即可得解.
【小问 1 详解】
[169.5,172.5)
47
[172.5,175.5)
54
[175.5,178.5)
8
0.12
62
[178.5,181.5)
2
0.03
64
[181.5 184.5]
2
0.03
66
由身高的频率分布表可得，身高位于163.5,166.5 的人数为3119  12 人，由身高数据表格可得身高164 的有 4 人，则身高为165 、166 的共8 人，
故不能得到身高165cm 的具体人数；
【小问 2 详解】
由茎叶图可得抽取的男生人数为34 人，
抽取到的男生体重的中位数为 63  63  63 ；
2
【小问 3 详解】
x  173.134 161.332  167.4 ，
66
34  25.9  173.1167.42 
32  23.3  161.3 167.42 
s2      59.42 ，
6666
59.42
则 s  7.7 ，
则 x  2s  167.4  2 7.7  152 ， x  2s  167.4  2 7.7  182.8 ，则由身高数据表格可得位于区间152,182.8 的人数为65 人.
如图，将直角三角形 SOA 绕直角边 SO 所在直线旋转一周形成圆锥 S  O ．已知圆锥
S  O 的底面半径为 3cm，圆锥的侧面积15πcm2 ．设 A 、B 是底面圆周上的两点，线段 AB
不经过点O ．
求圆锥 S  O 的体积；
求证：直线 SA 与直线OB 是异面直线；
2π
二面角 A  SO  B 的大小为，求直线 SA 与平面 SOB 所成角的大小．
3
【答案】（1）12πcm3
（2）证明见解析（3） arcsin 3 3
10
【解析】
【分析】（1）由侧面积公式求得母线长，进而得到圆锥高，结合体积公式即可求解；
由异面直线判定定理即可求解；
过点 A 作 AH  OB 于 H ，连接 SH ，确定ASH 为直线 SA 与平面 SOB 所成角，进而可求解.
【小问 1 详解】
设圆锥的母线长为l ，底面半径为 r ，
由题意可得： πrl  15π  3πl  15π  l  5 ，
52  32
所以 SO  4 ，
所以圆锥 S  O 的体积V  1 πr 2  SO  12πcm3
3
【小问 2 详解】
因为 SA  平面 SOB  S ， OB 平面 SOB, S OB ，所以直线 SA 与直线OB 是异面直线；
【小问 3 详解】
因为二面角 A  SO  B 的大小为 2π ，
3
由圆锥的结构可知： SO  OA, SO  OB ，
所以AOB 即为二面角 A  SO  B 的平面角，所以AOB  2π ，又OA  OB  3，
3
OA2  OB2  2OA OB cs 2π
3
3
所以 AB  3，
过点 A 作 AH  OB 于 H ，连接 SH ，
因为 AH  OB, AH  SO ， OB, SO 为平面 SOB 两条相交直线，所以 AH 平面 SOB
3 3
2
所以ASH 即为直线 SA 与平面 SOB 所成角，又 AH  AB  sin 30 ，
又 AH 平面 SOB ， SH 在平面 SOB 内，所以 AH  SH ，
所以sin ASH  AH  3 3  3 3 ，
SA510
所以ASH  arcsin 3 3 ，
10
即直线 SA 与平面 SOB 所成角大小为arcsin 3 3 .
10
x2y2
椭圆
 1a  b  0  ， P 是第一象限内椭圆上的点， A a, 0 ， B 0, b ，
a2b211
5
A B ，椭圆的离心率是 3 ． M t, 0 ， N t, 0 ， t  0 且t  a ．
1 12
求椭圆的方程并在下图 1 中作出椭圆的左焦点，写出作图依据；
如图 2，设t  1，三角形 PMN 的面积记为 S1 ，三角形 PA1B1 的面积记为 S2 ，若 S2  2S1 ，
求点 P 的坐标；
PM
MA
PN
NB
设 P  x0 , y0 ，连结 PM 与椭圆交于点 A ，连结 PN 与椭圆交于点 B ，判断
是否为定值？请说明理由．
【答案】（1）椭圆的方程为
 5 5 
（2）  8 , 3 

8  2t 2
4  t 2
（3）为定值
x2  2
y
4
 1，作图见解析
【解析】
x2
【分析】（1）根据椭圆中 a, b, c 的关系求解椭圆方程即可，利用椭圆的定义作图即可得椭圆的左焦点；
设 P  x0 , y0 ，则 0  y2  1，根据三角形面积公式即可得 S1 ，S1 关于 x0 , y0 的式子，
40
利用面积比例求解 x0 , y0 即可得所求；
设lPB
: x  my  t ，其中 m  x0  t ， l
PA
y0
: x  ny  t ，其中 n  x0  t ，分别与椭圆
y0
方程联立，根据根于系数的关系得 yB 与 y0 ， yA 与 y0 的关系，再根据线段比例关系计算验
PM
MA
5
证
是否为定值即可.
PN
NB
【小问 1 详解】
x2y2
因为椭圆
 1a  b  0  中 A a, 0 ， B 0, b ， A B ，椭圆的离心率是
a2b2
3 ，
2
111 1
a2  b2
5


则 c  3
3
，解得 a  2,b  1, c ，
a
2


a2  b2  c2

则椭圆的方程为
x2  2
y
4
 1；
如下图：以 B1 为圆心，以OA1 的长为半径在线段OA1 上画圆弧，与线段OA1 的交点即为椭
圆的左焦点 F1  3, 0；
【小问 2 详解】
x2
设 P  x0 , y0 ，则 0  y2  1①，且0  x0  2, 0  y0  1 ，
40
当t  1时， M 1, 0 ， N 1, 0
又 S  S

1
2
MN  y
 1  2 y  y ，
 PMN
0200
5
x0  2 y0  2
因为 A 2, 0 ， B 0,1 ，所以直线 A B 的方程为 x  y  1，即 x  2 y  2  0 ，
111 12
12  22
x0  2 y0  2
故点 P  x0 , y0 到直线 A1B1 的距离 dP
，
S  S

A B  d
 1 
5  x0  2 y0  2 ，
PA1B1
1P
5
x0  2 y0  2
x0  2 y0  2
222
1
2
因为 S  2S ，所以 x0  2 y0  2  2 y
，即 x  6 y
 2  0 ②，
21
联立①②，且0  x
2
 2, 0  y
000
 1 ，解得 x  8 , y
 3 ，
00
 5 5 
故点 P 的坐标为 8 , 3  ；

0505
【小问 3 详解】
x2
如图所示 M t, 0 ， N t, 0 ， t  0 且t  a ， P  x0 , y0 ，则 0  y2  1，
40
过 A 作 AJ  x 轴于 J ，过 B 作 BL  x 轴于 L ，
设lPB
: x  my  t ，其中 m  x0  t ，
y
0

x  my  t
 x2
 y2  1
 m2  4 y2  2mty  t 2  4  0 ，   0 恒成立，
 4
2mtt 2  4
所以 yB  yP  yB  y0  m2  4 , yB y0  m2  4 ，
t 2  4
y y
y0 t 2  4
y

则 B 0 x  t 2
B x  t 2  4 y2 ，
 0   400
y0
设lPA
: x  ny  t ，其中 n  x0  t ，
y0

x  ny  t
 x2
 y2  1
 n2  4 y2  2nty  t 2  4  0 ，   0 恒成立，
 4
2ntt 2  4
所以 yA  yP  yA  y0  n2  4 , yA y0  n2  4 ，
t 2  4
y y
y0 t 2  4
y

则 A 0 x  t 2
A x  t 2  4y 2 ，
 0   400
y0
PM
MA
因为

,，
所以
  y  1  1 
PK
AJ
PN
NB
PK
BL
PM
MA
PN
NB
PK
AJ
PK
BL
y0
 yA
y0
 yB
8  2t 2
4  t 2
0  yy 
  x
 t 2  4y 2
x  t 2  4y 2 
 AB 
  y 00 
00  
为定值，
2 x2
0

4
y2  2t 2 0
4  t 2
0 y t 2  4y t 2  4  
00
PM
MA
PN
NB
8  2t 2
4  t 2
所以为定值.
记 y  f  x ， y  g x 分别为函数 y  f  x 和 y  g  x  的导数，存在 x0  R ，满
足 f  x0   g  x0  且 f  x0   g x0  ，则称 x0 为 y  f  x 和 y  g  x  的一个“ Ω 点”．
若函数 f  x  ax2 1与 g  x  lnx 存在“ Ω 点”，求实数 a 的值；
证明函数 f x   sinx 与 g  x  x2  2x  2 不存在“ Ω 点”；
已知函数 f  x  x2  a ， g  x  bex ，对任意的 a  0 ，判断是否存在b  0 ，使
x
得函数 y  f  x 和 y  g  x  在区间0,  内存在“ Ω 点”，请说明理由．
【答案】（1） a  e ；
2
（2）证明见解析；（3）存在，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）求导，设“ Ω 点”为 x ，解方程组 f (x0 )  g(x0 ) ，可得结论．
0 f (x )  g(x )
00
假设存在“ Ω 点”为 x ，解方程组 f (x0 )  g(x0 ) ，应用等式无解可得结论；
0 f (x )  g(x )
00
设“ Ω 点”为 x ，由 f (x0 )  g(x0 ) ，用 x 表示出 a ，由 a  0 求得 x 的范围，利用
0 f (x )  g(x )00
00
导数求得b 的范围即可求解.
【小问 1 详解】
设 f (x)  ax 2 1 ， g(x)  lnx ，则
f (x)  2ax ， g(x)  1 ，
x
ax2 1  lnx
 f (x0 )  g(x0 )00
由题意得： x0 需同时满足：  f (x )  g(x ) ，故2ax  1  ax 2  1 ，
0
x
2
000
0
11 11
e
所以 2  1  lnx0   2  lnx0  x0  e 2 ，
2
 1 111ee
得 a   a    a  ，所以 a  .
e

2e222
【小问 2 详解】
由题意 x需同时满足：  f (x0 )  g(x0 ) ，
0 f (x )  g(x )
00
令sinx  x2  2x  2 ，
000
函数 f  x  sinx 有 f  x  csx ，函数 g  x  x2  2x  2 ，有 g x  2x  2 ，
令 2x0  2  csx0 ，所以sin2 x  cs2 x  x2  2x  2 2  2x  2 2  1 得
00000
00
 x 14  2 x 12  8  0 ，
因为Δ  4  41 8  28  0 ，所以 x0 无解，
故函数 f  x  sinx 与 g  x  x2  2x  2 不存在“ Ω 点”；
【小问 3 详解】
对任意的 a  0 ，存在b  0 ，使得函数 y  f  x 和 y  g  x  在区间0,  内存在“ Ω 点”.
bex
ex (x 1)
2
设 f ( x)   x
 a ， g(x) ，则 f
x
(x)  2x ， g (x)  b ，
x2
函数 y  f (x) 与 y  g(x) 在区间0,  内存在“ Ω 点”，
 f (x )  g(x )
 x2  a 
bex0 x

0

则 x0  0
且需同时满足： 

00
f (x0 )  g(x0 )

，即
x

2x
 b 
0
0
ex0  x
1 ，
(x2  a)x
0
得： b  00
2x3
且b  0 ，
02
0
ex0
ex0  x 1
2x3
00
联立得： 0 
x2  a x
2x3
0

 x2  a x ，
0
ex0  x
1
ex0
00
x0 1
因为 x0  0 ，
2x2
2x2
2
x  3
所以 0  x2  a  a   0  x2  x2 1   x2  0 ，
x 10
x 100
x 1
0x 1
0000
0
由 a  0 得： x2  x0  3  0 ，
x0  1
0
又因为 x  0 ，所以 x0  3  0 ，解得 x 3,   0,1 ，
0x  1
0
2x3
此时b  0 ，当b  0 ，所以 x 0,1 ，
0
ex0 (x
1)
x  3
0
2x3  3x2  3
2x3  31  x2 
当 x  0,1 ，设 s  x   x2 ， s x   0 ，
x 1
 x 12
x 12
故 s  x 在0,1 为增函数，且 s 0  0 ，而 x  1 时， s  x   ，
2x2
2
故对于任意 a  0 ，总存在 x0 0,1 ，使得 0  x0  a ，
x0 1
令 h  x  
2x3
ex (x 1)
, 0  x  1 ，

求导得 h x   
6x2 ex (x 1)  2x3 ex (x 1)  2x3 ex
ex (x 1) 2，
2x2 ex  3x  3  x2 
 2
2x2 ex   x 


3 2
2
 

2
3 

4 
0 ，
ex (x 1)ex (x 1)
故函数 h  x 在0,1 单调递增，故 x 0,1, h  x  h 0  0 ，
所以存在b  0 满足题意；
所以存在b  0 ，使得函数 y  f  x 和 y  g  x  在区间0,  内存在“ Ω 点”.